北京市西城区2013年高三一模试卷
高三数学（理科） 2013.4
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项． 1．已知全集U?R，集合A?{x|0?x?2}，B?{x|x2?1?0}，那么A?eUB?
（A）{x|0?x?1} （B）{x|0?x?1} （C）{x|1?x?2} （D）{x|1?x?2}
a?i的实部与虚部相等，则实数a? 2i（A）?1 （B）1 （C）?2 （D）2
2．若复数
3．执行如图所示的程序框图．若输出y??角?3，则输入
?
π 6π（B）?
6π（C）
3π（D）?
3 （A）
4．从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A，B，C，D四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A工作，则不同的工作分配方案共有
（A）60种 （B）72种 （C）84种 （D）96种 5．某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视 图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是 （A）6?
（C）12?2
6．等比数列{an}中，a1?0，则“a1?a3”是“a3?a6”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
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3 （B）12?3 3 （D）24?23 7．已知函数
f(x)?log2x?2log2(x?c)，其中c?0．若对于任意的x?(0,??)，都有
f(x)?1，则c的取值范围是
（A）(0,1111] （B）[,??) （C）(0,] （D）[,??) 44888．如图，正方体ABCD?ABC111D1中，P为底面ABCD 上的动点，PE?AC1于E，且PA?PE，则点P的 轨迹是
（A）线段 （B）圆弧
（C）椭圆的一部分 （D）抛物线的一部分
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
?x?2cos?9．已知曲线C的参数方程为?（?为参数），则曲线C的直角坐标方程为 ．
y?1?2sin??
10．设等差数列{an}的公差不为0，其前n项和是Sn．若S2
?S3，Sk?0，则k?______．
????????11．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则AC?DB?
______．
12．如图，已知AB是圆O的直径，P在AB的延长线上，PC
切圆O于点C，CD?OP于D．若CD?6，CP?10， 则圆O的半径长为______；BP?______．
13．在直角坐标系xOy中，点B与点A(?1,0)关于原点O对称．点P(x0,y0)在抛物线y且直线AP与BP的斜率之积等于2，则x0
14．记实数x1,x2,?,xn中的最大数为max{x1,x2,?,xn}，最小数为min{x1,x2,?,xn}.设△ABC
2?4x上，
?______．
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的三边边长分别为a,b,c，且a?b?c，定义△ABC的倾斜度为tabca?max{,,}?min{,
bcabbc,}． ca（ⅰ）若△ABC为等腰三角形，则t?______；
（ⅱ）设a?1，则t的取值范围是______．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）
πf(x)?sinx?acosx的一个零点是．
4（Ⅰ）求实数a的值；
已知函数（Ⅱ）设g(x)?
16．（本小题满分13分）
某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下：
现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名同学进行学业检测．
（Ⅰ）求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；
（Ⅱ）记X为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
17．（本小题满分14分）
在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB?2BC，
f(x)?f(?x)?23sinxcosx，求g(x)的单调递增区间．
?ABC?60?，AC?FB．
（Ⅰ）求证：AC?平面FBC；
（Ⅱ）求BC与平面EAC所成角的正弦值；
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（Ⅲ）线段ED上是否存在点Q，使平面EAC?平面QBC？ 证明你的结论．
18．（本小题满分13分）
已知函数（Ⅰ）求
f(x)?ax?lnx，g(x)?eax?3x，其中a?R．
f(x)的极值；
f(x)和g(x)在区间M上具有相同的单调性，求a的取值范围．
（Ⅱ）若存在区间M，使 19．（本小题满分14分）
x2y2如图，椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点．当直
ab线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60． （Ⅰ）求该椭圆的离心率；
（Ⅱ）设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D,E两点．记△GFD的面积为S1，△OED（O为原点）的面积为S2，求
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?S1的取值范围． S2 20．（本小题满分13分）
已知集合Sn?{X|X?(x1,x2,?,xn),xi?N*,i?1,2,?,n}(n?2)．
????对于A?(a1,a2,?,an)，B?(b1,b2,?,bn)?Sn，定义AB?(b1?a1,b2?a2,?,bn?an)；
?(a1,a2,?,an)?(?a1,?a2,?,?an)(??R)；A与B之间的距离为d(A,B)??|ai?bi|．
i?1n（Ⅰ）当n?5时，设A?(1,2,1,2,a5)，B?(2,4,2,1,3)．若d(A,B)?7，求a5；
??????B??BC，（Ⅱ）（ⅰ）证明：若A,B,C?Sn，且???0，使A则d(AB,)d?(BC,)d(?AC,)????B?B?C（ⅱ）设A,B,C?Sn，且dAB．是否一定???0，使A(,)dBC?(,)dA(C,?)说明理由；
（Ⅲ）记I
； ？
?(1,1,?,1)?Sn．若A，B?Sn，且d(I,A)?d(I,B)?p，求d(A,B)的最大值．
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北京市西城区2013年高三一模试卷
高三数学（理科）参考答案及评分标准
2013.4
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1． B； 2．A； 3．D； 4．B； 5．C； 6．B； 7．D； 8．A．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．x2?y2?2y?3?0； 10．5； 11．?3 212．
151?5，5； 13．1?2； 14．1，[1,)． 22注：12、14题第一问2分，第二问3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：依题意，得
πf()?0， ??????1分 4 即
ππ22a ??????3分 sin?acos???0，
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解得
a?1． ??????5分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得
f(x)?sinx?cosx． ??????6分
g(x)?f(x)?f(?x)?23sinxcosx
?(sinx?cosx)(?sinx?cosx)?3sin2x ??????7分
?(cos2x?sin2x)?3sin2x ??????8分
?cos2x?3sin2x ??????9分 π?2sin(2x?)． ??????10分
6πππ由 2kπ??2x??2kπ?，
262ππ得 kπ??x?kπ?，k?Z． ??????12分
36ππ所以 g(x)的单调递增区间为[kπ?,kπ?]，k?Z． ??????13分
3616．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：依题意，甲、乙两组的学生人数之比为 (3?5):(2?2)?2:1， ?????1分
所以，从甲组抽取的学生人数为
21?3?2；从乙组抽取的学生人数为?3?1．???2分 33设“从甲组抽取的同学中恰有1名女同学”为事件A， ??????3分
1C1153?C5则 P(A)?， ?2C828故从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率为
15． ??????5分 28（Ⅱ）解：随机变量X的所有取值为0,1,2,3． ??????6分
2112C5?C1C1C5?C152523?C5?C22， P(X?0)?21?， P(X?1)???221C8?C428C8?C1C?C564842112C3?C1C1C3?C19323?C5?C22， ．?????10分 P(X?2)?21??P(X?3)??221C8?C4C8?C128C?C56484所以，随机变量X的分布列为:
X P 0 5 281 25 562 9 283 3 56第 7 页 共 13 页
??????11分
EX?0?
525935?1??2??3??． ??????13分 28562856417．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为AB?2BC，?ABC?60，
在△ABC中，由余弦定理可得 所以
?AC?3BC，
AC?BC． ??????2分 AC?FB，
又因为
所以AC?平面FBC． ??????4分 （Ⅱ）解：因为AC?平面FBC，所以AC?FC．
因为CD?FC，所以FC?平面ABCD． ??????5分 所以CA,CF,CB两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系C?xyz． ??????6分在等腰梯形ABCD中，可得
CB?CD．
设BC?1，所以C(0,0,0),A(3,0,0),B(0,1,0),D(3131,?,0),E(,?,1)． 222231,?,1)，CA?(3,0,0)，CB?(0,1,0)． 22??????n?CE?0,设平面EAC的法向量为n=(x,y,z)，则有???? ???n?CA?0.所以
CE?(?31?x?y?z?0,所以 ?2 取z?1，得n?(0,2,1)． ??????8分 2?3x?0.?????????|CB?n|25??设BC与平面EAC所成的角为?，则 sin??|cos?CB,n?|????，
5|CB||n|所以
BC与平面EAC所成角的正弦值为
25． ??????9分 5（Ⅲ）解：线段ED上不存在点Q，使平面EAC?平面QBC．证明如下： ??????10分
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3131,?,t) (0?t?1)，所以CQ?(,?,t)． 2222??????m?CB?0,设平面QBC的法向量为m?(a,b,c)，则有? ??????m?CQ?0.假设线段ED上存在点Q，设
Q(?b?0,2?所以 ?3 取 ，得(?t,0,1)． ??????12分 c?1m?1??2a?2b?tc?0.3要使平面EAC?平面QBC，只需m?n?0， 即 ?23t?0?0?2?1?1?0， 此方程无解． 所以线段ED上不存在点Q，使平面EAC?平面QBC．
18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：
f(x)的定义域为(0,??)， 且
f?(x)?a?1x?ax?1x． ① 当a?0时，f?(x)?0，故f(x)在(0,??)上单调递减．
从而
f(x)没有极大值，也没有极小值． ② 当a?0时，令
f?(x)?0，得x?1a．
f(x)和f?(x)的情况如下：
x (0,11a) a (1a,??) f?(x) ? 0 ? f(x) ↘ ↗ 故
f(x)的单调减区间为(0,11a)；单调增区间为(a,??)．
从而f(x)的极小值为f(1a)?1?lna；没有极大值． （Ⅱ）解：g(x)的定义域为R，且
g?(x)?aeax?3． 第 9 页 共 13 页
??????13分 ??????14分 ??????1分
??????2分
??????3分
??????5分
??????6分
③ 当a?0时，显然 由（Ⅰ）得，此时
g?(x)?0，从而g(x)在R上单调递增．
1f(x)在(,??)上单调递增，符合题意． ??????8分
a ④ 当a?0时，g(x)在R上单调递增，
⑤ 当a?0时，令g?(x)?0，得x0f(x)在(0,??)上单调递减，不合题意．??9分
g(x)和g?(x)的情况如下表：
x 13?ln(?)． aa(x0,??) ? ↗ (??,x0) ? ↘ x0 g?(x) g(x) 0 当?3?a?0时，x0?0，此时g(x)在(x0,??)上单调递增，由于f(x)在(0,??)上单调
递减，不合题意． ??????11分
当a??3时，x0?0，此时g(x)在(??,x0)上单调递减，由于f(x)在(0,??)上单调递
减，符合题意．
综上，a的取值范围是(??,?3)?(0,??)． ??????13分 19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：依题意，当直线AB经过椭圆的顶点(0,b)时，其倾斜角为60． ??????1分
设 则 将
?F(?c,0)，
b?tan60??3． ??????2分 cb?3c 代入 a2?b2?c2，
a?2c． ??????3分
c1所以椭圆的离心率为 e??． ??????4分
a2解得
x2y2（Ⅱ）解：由（Ⅰ），椭圆的方程可设为2?2?1． ??????5分
4c3c设A(x1,y1)，B(x2,y2)．
依题意，直线AB不能与x,y轴垂直，故设直线AB的方程为y?k(x?c)，将其代入
3x2?4y2?12c2，整理得 (4k2?3)x2?8ck2x?4k2c2?12c2?0． ??????7分
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?8ck2?4ck23ck6ck,)． 则 x1?x2?，y1?y2?k(x1?x2?2c)?，G(24k2?34k?34k2?34k2?3 ??????8分 因为
GD?AB，
3ck2?ck24k?3?k??1，xD?2所以 ． ??????9分 2?4ck4k?3?x4k2?3D因为 △GFD∽△OED，
?4ck2?ck223ck2(?)?()2222S1|GD|4k?3 ??????11分 所以 ??4k?34k?322?ckS2|OD|(2)24k?3(3ck2)2?(3ck)29c2k4?9c2k29???9??9． ??????13分 22242(ck)ckk所以
S1的取值范围是(9,??)． ??????14分 S2 20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：当n?5时，由d(A,B)??|a?b|?7，
iii?15得 由
|1?2|?|2?4|?|1?2|?|2?1|?|a5?3|?7，即 |a5?3|?2．
a5?N*，得 a5?1，或a5?5． ??????3分
（Ⅱ）（ⅰ）证明：设A?(a1,a2,?,an)，B?(b1,b2,?,bn)，C?(c1,c2,?,cn)．
????????AB??BC因为 ???0，使 ，
所以 即
???0，使得 (b1?a1,b2?a2,?,bn?an)??((c1?b1,c2?b2,?,cn?bn)，
???0，使得 bi?ai??(ci?bi)，其中i?1,2,?,n．
所以
bi?ai与ci?bi(i?1,2,?,n)同为非负数或同为负数． ??????5分
所以 d(A,B)?d(B,C)??|a?b|??|b?c|
iiiii?1i?1nn第 11 页 共 13 页
??(|bi?ai|?|ci?bi|)
i?1n??|ci?ai|?d(A,C)． ??????6分
i?1n（ⅱ）解：设A,B,C?Sn，且d(A,B)?d(B,C)?d(A,C)，此时不一定???0，使得
????????AB??BC． ??????7分
反例如下：取A?(1,1,1,?,1)，B?(1,2,1,1,?,1)，C(2,2,2,1,1,?,1)， 则
d(A,B)?1，d(B,C)?2，d(A,C)?3，显然d(A,B)?d(B,C)?d(A,C)．
????????因为AB?(0,1,0,0,?,0)，BC?(1,0,1,0,0,?,0)，
????????所以不存在???，使得AB??BC． ??????8分
（Ⅲ）解法一：因为
设bid(A,B)??|bi?ai|，
i?1n不妨设i?1,2,?,m时?ai(i?1,2,?,n)中有m(m?n)项为非负数，n?m项为负数．
bi?ai?0；i?m?1,m?2,?,n时，bi?ai?0．
所以 d(A,B)??|b?a|
iii?1n ?[(b1?b2???bm)?(a1?a2???am)]?[(am?1?am?2???an)?(bm?1?bm?2???bn)]
因为 d(I,A)?d(I,B)?nnp，
nnii所以
?(a?1)??(b?1)， 整理得 ?a??b．
iii?1i?1i?1i?1所以 d(A,B)??|b?a|?2[b?b???bii12i?1nm?(a1?a2???am)]．?????10分
因为 b1?b2???bm?(b1?b2???bn)?(bm?1?bm?2???bn)
p?m；
?(p?n)?(n?m)?1?又 a1?a2???am?m?1?m，
所以 d(A,B)?2[b1?b2???bm?(a1?a2???am)] ?2[(p?m)?m]?2p．
即 d(A,B)?2p． ?????12分 对于
有 A，B?Sn，且d(I,A)?d(I,B)?p， A?(1,1,?,1,p?1)，B?(p?1,1,1,?,1)，
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d(A,B)?2p．
综上，d(A,B)的最大值为2p． ?????13分 解法二：首先证明如下引理：设x,y?R，则有 证明：因为 所以 即
|x?y|?|x|?|y|．
?|x|?x?|x|，?|y|?y?|y|，
?(|x|?|y|)?x?y?|x|?|y|，
|x?y|?|x|?|y|．
所以 d(A,B)??|b?a|??|(b?1)?(1?a)|
iiiii?1i?1nnn??(|bi?1|?|1?ai|)
i?1n??|ai?1|??|bi?1|?2p． ?????11分
i?1i?1n 上式等号成立的条件为ai对于
?1，或bi?1，所以 d(A,B)?2p． ?????12分
有 A，B?Sn，且d(I,A)?d(I,B)?p， A?(1,1,?,1,p?1)，B?(p?1,1,1,?,1)，
d(A,B)?2p．
综上，d(A,B)的最大值为2p． ?????13分
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