绝密★启用前
2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数 学（理工类）
本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号码条粘贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选凃其它答案标号。答在试卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定位置用统一提供的2B铅笔涂黑。考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的. 1．在复平面内，复数z=
2i（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于 1?iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
22．已知全集为R，集合A=?x()2?1?，B=xx?6x?8?0，则A∩?RB=
??12????A.xx?0 B. x2?x?4 C. xx?0＜2或x＞4? D. x0＜x≤2或x≥4?
3．再一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A.（－p）∨（－q） B. p∨（－q） C. （－p）∧（－q） D.p∨q
4.将函数y=3cosx+sinx（x∈R）的图像向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是
??????
A.
???5? B. C. D
6126322?xy2yx2??1与C2: 2??1的 5.已知0＜?＜，则双曲线C1:
4cos2?sin2?sin?sin2?tan2?A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等
6.已知点A（－1，1）、B（1,2）、C（－2,1）、D（3,4），则向量AB在CD方向上的投影为 A.
7.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)=7-3t+
3231532315 B. C. －D.－ 222225（t的单位：1?ts，v的单位：m/s）行驶至停止。在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是 A.1+25㏑5 B.8+25㏑
11 C.4+25㏑5 D4+50㏑2 38.一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1V2V3V4，若上面两个几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有： A. V1 ＜V2＜V4 ＜V3 B. V1 ＜V3＜V2＜V4 C. V2＜V1＜V3＜V4 D. V2＜V3 ＜V1＜V4
9.如图，将一个各面都凃了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均E(X)= A.
12661687 B. C. D 1251255510.已知a为常数，函数f(x)?x(lnx?ax)有两个极值点x1,x2(x1?x2)，则
11 B. f(x1)<0, f(x2)<－ 2211C. f(x1)>0, f(x2)<－ D. f(x1)<0, f(x2)>－
22A.f(x1)>0, f(x2)>－
填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答
题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。
（一）必考题（11-14题）
11.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示
（Ⅰ）直方图中x的值为
（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100,250]内的户数为
12.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i= 13.设x，y，z∈R，且满足：x+y+z=1,x+2y+3z=14,则x+y+z=
2
2
2
14.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角型数为
n(n?1)121?n?n，记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k222121n?n， 222
边形数中第n个数的表达式： 三角形数 N(n,3)=
正方形数 N(n,4)=n， 五边形数 N(n,5)=
321n?n， 222六边形数 N(n,6)=2n?n，
………………………………………
可以推测N(n,k)的表达式，由此计算N(10,24)=
（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请现在答题卡指定位置将你所选的题目序号后方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分。） 15.（选修4-1：几何证明选讲）
如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E，若AB=3AD,则的值为
CEEO
16.（选修4-4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为错误！未找到引用源。 (错误！未找到引用源。为参数，a>b>0)，在
极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴 为极轴）中，直线l 与圆O的极坐标方程分别为错误！未找到引用源。m（m为非零数） 与错误！未找到引用源。。若直线l经过椭圆C的焦点，且与员O相切，则椭圆C的离心率为___________________.
三、解答题：本题共6小题，共75分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分12分） 在△ABC只已知A，B，C对应的边分别是 a，b，c。已知错误！未找到引用源。. （I） 求角A的大小
（II） 若△ABC的面积错误！未找到引用源。,b=5,求错误！未找到引用源。的值 18.（本小题满分12分）
已知等比数列??n?满足： |a2?a3|?10,a1a2a3?125. （Ⅰ）求数列??n?的通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数m，使得
111??....?1？若存在，求m的最小值；若不a1a2an存在，说明理由.
19.（本小题满分12分）
如图，AB是园O的直径，点C是圆O上异于A,B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点.
（Ⅰ）在平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明。
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足DQ?记直线PQ与平面ABC所成的角为?，异面直线 E-L-C的大小为?，求证： sin??sin?sin?
20.（本小题满分12分）
1CP,2
假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，502）的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0。
（1） 求p0的值；
（参考数据：若X?N(?,?2)，有P(????X????)?0.6826,
P(??2??X???2?)?0.9544,P(??3??X???3?)?0.9974.
（2）某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次。A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆。若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？
21.（本小题满分13分）
如图，已知椭圆C1与C2 的中心坐标原点O，长轴均为MN且在X轴上，短轴长分别 为2m，2n（m>n）,过原点且不与x轴重合的直线l与C1， C2的四个交点按纵坐标从 大到小依次为A，B，C，D。记λ =错误！未找到引用源。，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.。
（I） 当直线l与Y轴重合时，若S1=λ S2 ，求λ（II）
的值；
当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λ S2？并说明理
由
22（本小题满分14分）
设n是正整数，r为正有理数。 （Ⅰ）求函数f?x?=(1?x)r?1
?(r?1)x?1(x??1)的最小值；
nc?1?(n?1)r?1(n?1)r?1?nr?1（Ⅱ）证明： r?1r?1（Ⅲ）设x?R,记[x]为不小于的最小整数，例如[2]=2，[?]=4，[-令 3]=-1. 2S=381?382?383?…3125，求[S]的值。 43434343（参考数据：80≈344.7，81≈350.5，124≈618.3，126≈631.7）
