几何证明题
1、（2015 福州）如图①，在锐角△ABC中，D、E分别为AB、BC中点，F为AC上一点，且∠AFE＝∠A，DM∥EF交AC于点M．
（1）求证：DM＝DA；
（2）点G在BE上，且∠BDG＝∠C，如图②，求证：△DEG∽△ECF; （3）在图②中，取CE上一点H，使∠CFH＝∠B，若BG＝1，求EH的长． A Ｍ D F B E C 第25题图①
A Ｍ D F B G E C 第25题图② 1
几何证明题
2、（2015?益阳）已知点P是线段AB上与点A不重合的一点，且AP＜PB．AP绕点A逆时针旋转角α（0°＜α≤90°）得到AP1，BP绕点B顺时针也旋转角α得到BP2，连接PP1、PP2．
（1）如图1，当α=90°时，求∠P1PP2的度数；
（2）如图2，当点P2在AP1的延长线上时，求证：△P2P1P∽△P2PA；
（3）如图3，过BP的中点E作l1⊥BP，过BP2的中点F作l2⊥BP2，l1与l2交于点Q，连接PQ，求证：P1P⊥PQ．
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6、（10分）（2015?无锡）如图，C为∠AOB的边OA上一点，OC=6，N为边OB上异于点O的一动点，P是线段CN上一点，过点P分别作PQ∥OA交OB于点Q，PM∥OB交OA于点M．
（1）若∠AOB=60°，OM=4，OQ=1，求证：CN⊥OB．
（2）当点N在边OB上运动时，四边形OMPQ始终保持为菱形． ①问：理由．
②设菱形OMPQ的面积为S1，△NOC的面积为S2，求
的取值范围．
﹣
的值是否发生变化？如果变化，求出其取值范围；如果不变，请说明
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8、（2015 丹东）
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1、（2015 福州）
解：（1）证明：∵DM∥EF， ∴∠AMD＝∠AFE．
∵∠AFE＝∠A，∴∠AMD＝∠A． ∴DM＝DA．
（2）证明：∵∠DGB＝180o－∠B－∠BDG， ∠A＝180o－∠B－∠C， ∠BDG＝∠C， ∴∠DGB＝∠A． ∵∠A＝∠AFE， ∴∠DGB＝∠AFE． ∵∠DGE＝180o－∠DGB， ∠EFC＝180o－∠AFE， ∴∠DGE＝∠EFC．
又∵DE是中位线，∴DE∥AC．∴∠DEB＝∠C．∴△DEG∽△ECF． （3）提示：如答图，
由△BDG∽△BED，得BD2?BG?BE， 由△EFH∽△ECF，得EF2?EH?EC． 由BD＝DA＝DM＝EF，且BE＝EC， 得EH＝BG＝1．
A Ｍ D F B G E H C 第25题答图 10
几何证明题
2、（12分）（2015?益阳）已知点P是线段AB上与点A不重合的一点，且AP＜PB．AP绕点A逆时针旋转角α（0°＜α≤90°）得到AP1，BP绕点B顺时针也旋转角α得到BP2，连接PP1、
PP2．
（1）如图1，当α=90°时，求∠P1PP2的度数；
（2）如图2，当点P2在AP1的延长线上时，求证：△P2P1P∽△P2PA；
（3）如图3，过BP的中点E作l1⊥BP，过BP2的中点F作l2⊥BP2，l1与l2交于点Q，连接PQ，求证：P1P⊥PQ．
考点：几何变换综合题． 分析：（1）利用旋转的性质以及等腰直角三角形得出∠APP1=∠BPP2=45°，进而得出答
案；
（2）根据题意得出△PAP1和△PBP2均为顶角为α的等腰三角形，进而得出∠P1PP2=∠PAP2=α，求出△P2P1P∽△P2PA；
（3）首先连结QB，得出Rt△QBE≌Rt△QBF，利用∠P1PQ=180°﹣∠APP1﹣∠QPB求出即可． 解答：（1）解：由旋转的性质得：AP=AP1，BP=BP2．
∵α=90°，
∴△PAP1和△PBP2均为等腰直角三角形， ∴∠APP1=∠BPP2=45°，
∴∠P1PP2=180°﹣∠APP1﹣∠BPP2=90°；
（2）证明：由旋转的性质可知△PAP1和△PBP2均为顶角为α的等腰三角形，
∴∠APP1=∠BPP2=90°﹣
，
）=α，
∴∠P1PP2=180°﹣（∠APP1+∠BPP2）=180°﹣2（90°在△PP2P1和△P2PA中，∠P1PP2=∠PAP2=α， 又∵∠PP2P1=∠AP2P， ∴△P2P1P∽△P2PA．
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几何证明题
（3）证明：如图，连接QB．
∵l1，l2分别为PB，P2B的中垂线， ∴EB=BP，FB=BP2． 又BP=BP2， ∴EB=FB．
在Rt△QBE和Rt△QBF中，
，
∴Rt△QBE≌Rt△QBF， ∴∠QBE=∠QBF=∠PBP2=由中垂线性质得：QP=QB， ∴∠QPB=∠QBE=
，
，
）
=90°，
，
由（2）知∠APP1=90°﹣
∴∠P1PQ=180°﹣∠APP1﹣∠QPB=180°﹣（90°﹣即 P1P⊥PQ．
点评：此题主要考查了几何变换综合以及相似三角形的判定和全等三角形的判定与性
质等知识，得出Rt△QBE≌Rt△QBF是解题关键．
28．（10分）（2015?无锡）如图，C为∠AOB的边OA上一点，OC=6，N为边OB上异于点O的一动点，P是线段CN上一点，过点P分别作PQ∥OA交OB于点Q，PM∥OB交OA于点M．
（1）若∠AOB=60°，OM=4，OQ=1，求证：CN⊥OB．
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几何证明题
（2）当点N在边OB上运动时，四边形OMPQ始终保持为菱形． ①问：﹣
的值是否发生变化？如果变化，求出其取值范围；如果不变，请说明
理由．
②设菱形OMPQ的面积为S1，△NOC的面积为S2，求
的取值范围．
解答：解 ：（1）过P作PE⊥OA于E， ∵PQ∥OA，PM∥OB， ∴四边形OMPQ为平行四边形， ∴PM=OQ=1，∠PME=∠AOB=60°， ∴PE=PM?sin60°=，ME=， ∴CE=OC﹣OM﹣ME=， ∴tan∠PCE==， ∴∠PCE=30°， ∴∠CPM=90°， 又∵PM∥OB， ∴∠CNO=∠CPM=90°， 则CN⊥OB； （2）①﹣的值不发生变化，理由如下： 设OM=x，ON=y，
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几何证明题 ∵四边形OMPQ为菱形， ∴OQ=QP=OM=x，NQ=y﹣x， ∵PQ∥OA， ∴∠NQP=∠O， 又∵∠QNP=∠ONC， ∴△NQP∽△NOC， ∴=，即=， ∴6y﹣6x=xy．两边都除以6xy，得﹣=，即﹣=． ②过P作PE⊥OA于E，过N作NF⊥OA于F， 则S1=OM?PE，S2=OC?NF， ∴=． ∵PM∥OB， ∴∠MCP=∠O， 又∵∠PCM=∠NCO， ∴△CPM∽△CNO， ∴==， ∴==﹣（x﹣3）2+， ∵0＜x＜6， 则根据二次函数的图象可知，0＜≤． 14
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