株洲市二中2013年高中新生综合素质测试
数 学 试 题
本卷共20小题 时量：120分钟 分值：150分
一、选择题（本大题满分40分，每小题5分，在各题的四个选项中，只有一个是正确的）
1．设xy?0，x?|y|，则x?y的值是
A. 负数 B. 0 C. 正数 D. 非负数
22．若(x?3)(x?n)?x?mx?15，则m等于
A. -2 B. 2 C. -5 D. 5
3．若a?|a|?0，则化简(a?1)2?a2的结果为
A．1 B．-1 C．2a?1 D．1?2a
4．已知m为任意实数，则直线y?x?m与y??x?4的交点不可能在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．从1～9这九个自然数中随机取出一个数，取出的数是2的倍数的概率是
A．
2 9 B．
4 9 C．
59 D．
2 36. 图1是李老师早晨出门散步时，离家的距离(y)与时间(x)之间的函数图象．若用黑点表示李老师家的位置，则李老师散步行走的路线可能是
O 图1
x A.
B.
C.
D.
y 7．如图2，AB是铅直地竖立在坡角为30°的山坡上的电线杆，当阳光与水平线成60°角时，电线杆的影子BC的长度为4米，则电线杆AB的高度为
A．4米 B．6米 C．8米 D．10米 8．如图3，菱形ABCD中，点O是对角线AC上一点，OA = AD，且OB = OC = OD = 1，则该菱形的边长为 A．
5?11?5 B． C．1 D．2 22A 光 线 D O A 图3
B
C
C B 30° 图2
水平线 1
二、填空题（本大题共7小题，每小题6分，满分42分）
9． 若n（n?0）是关于x的方程x2?mx?2n?0的根，则m?n的值为 .
ba2?2ab?b210．若a?3b?0(b?0)，则(1?)?? ． 22a?2ba?4b11．图4是30名初三女学生1分钟内仰卧起坐次数的频数分布直方图（每组次数只含最小
值而不含最大值），则仰卧起坐次数在25~45次的频率是________．
12 9
5 3 1
0 15 25 35 45 55 60 人数 次数 图4
12．如图5，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为
________．
C 图5
?24?A
B
11? 且图象与x轴的负半轴的交点到原点的13．已知二次函数的图象经过原点及点??，??，?距离为1，则该二次函数的解析式为
14．图6中的两个滑块A、B由一个连杆连接，分别可以在两条互相垂直的滑道上滑动．开始时，
滑块A距O点20 cm，滑块B距O点15 cm．则当滑块A向下滑到O点时，滑块B滑动了_________cm．
O B 图6
A 15．如图7，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转36°后得到的图形，点C恰好在AB
上，∠AOD的度数是90°，则∠B的度数是_________．
A
C
B
O 图7
D
2
三、解答题(本大题满分68分) 16. （本题满分12分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y??2x的图象与反比例函数y?象的一个交点为A(?1,n)．
k的图xk的解析式； x（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA?OA，直接写出点P的坐标．
（1）求反比例函数y?
17. （本题满分13分）
如图，在?ABC中，?ACB?90，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，
?CE=4，求四边形ACEB的周长．
18. （本题满分13分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，我把由两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C（注：不含AB线段）．已知A（﹣1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上． （1）求两条射线AE，BF所在直线的距离；
（2）当一次函数y?x?b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围； 当一次函数y?x?b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围.
3
19．（本题满分15分）
如图，正方形ABCD的边长为1，对角线AC与BD相交于点O，点P是AB边上的 一个动点（点P不与点A、B重合），CP与BD相交于点Q． （1）若CP平分∠ACB，求证：AP =2QO． （2）先按下列要求画出相应图形，然后求解问题.
① 把线段PC绕点P旋转90°，使点C落在点E处，并连接AE．设线段BP的长 度为x，△APE的面积为S. 试求S与x的函数关系式；
② 求出S的最大值，判断此时点P所在的位置．
20．（本题满分15分）
O Q P
备用图
B
A
O Q P
B
D C
D C
A
A地某校准备组织学生及学生家长到B地进行社会实践，为便于管理，所有人员必须
乘坐在同一列火车上；根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需11220元；已知学生家长与教师的人数之比为2∶1，从A到B．．．．．的火车票价格（部分）如下表所示： 运行区间 上车站 下车站 公布票价 一等座 81（元） 二等座 68（元） 学生票 二等座 51（元） A B （1）参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？
（2）由于各种原因，二等座火车票单程只能买x张（x小于参加社会实践的人数），其 余的须买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位坐的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式．
（3）请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花多 少钱？最多要花多少钱？
4
— – — – —— – — – — – — – — – ：—号 位线 座– — – — – — – — – — ：– 名—姓 –生 学— – — 封 – — – ： —级– 班— – — – — – — – — ：– 号—场 考密 — – — – — ––
株洲市二中2013年高中新生综合素质测试
座位号 数 学 答 题 卡
（满分：150分，时量：120分钟）
一、选择题（本大题满分40分，每小题5分，在各题的四个选项中，只有一个是正确的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 二、填空题（本大题共7小题，每小题6分，满分42分）
9． 10． 11．
12． 13.
14． 15. 三、解答题(本大题满分68分) 16. （本题满分12分） 解：
5
17. （本题满分13分） 解： 18. （本题满分13分） 解：
6
19．（本题满分15分） 解：
备用图 A
P
B
O Q D C
A
P
D C
O Q B
7
20．（本题满分15分） 解：
8
株洲市二中2013年高中新生综合素质测试
数 学 试 题（答案）
（满分：150分，时量：120分钟）
一、选择题（本大题满分40分，每小题5分）
题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 A 5 B 6 D 7 C 8 A
1．设xy?0，x?|y|，则x?y的值是（ C ）
A. 负数 B. 0 C. 正数 D. 非负数
22．若(x?3)(x?n)?x?mx?15，则m等于（ A ）
A. -2 B. 2 C. -5 D. 5
解： ∵3n=-15，∴n=-5，m=3+(-5)=-2. 故选A. 3．若a?|a|?0，则化简(a?1)2?a2的结果为（ D ）
A．1 B．-1 C．2a?1 D．1?2a 解： ∵a+|a|=0, ∴|a|=-a, ∴a≤0，进而a-1≤0
∴(a?1)2?a2=|a-1|+|a|=-(a-1)-a=1-2a. 故选D.
4．已知m为任意实数，则直线y?x?m与y??x?4的交点不可能在（ A ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：∵直线y=-x-4不经过第一象限，∴无论m为何实数，直线y=x+m与y=-x-4的交点不可能在第一象限，故选A.
5．从1～9这九个自然数中随机取出一个数，取出的数是2的倍数的概率是（ B ）
A．
2 9 B．
4 9 C．
59 D．
2 36. 图1是李老师早晨出门散步时，离家的距离(y)与时间(x)之间的函数图象．若用黑点表示李老师家的位置，则李老师散步行走的路线可能是（ D ）
7．如图2，AB是铅直地竖立在坡角为30°的山坡上的电线杆，当阳光与水平线成60°角
9
y O 图1
x A.
B.
C.
D.
时，电线杆的影子BC的长度为4米， 则电线杆AB的高度为（ C ） A．4米； B．6米 ； C．8米； D．10米 解：如图2，由题意可知， ∠ACB=90°，∠ABC=60°， 则AB=2BC=8米,所以选择C.
8．如图3，菱形ABCD中，点O是对角线AC上一点，OA = AD，且OB = OC = OD = 1，则该菱形的边长为 （ A ） A．
B 30° A 光 线 A 光 线 C B 水平线 C 30° 60° 图2 图2
水平线 5?11?5 B． C．1 D．2 22D O A 图3
B
C
可得AC?BC，即BC2=AC·OC.
BCOC解：如图3，由已知可知△ABC与△BOC相似，
设OA=BC=x，可得方程x=x+1，解这个方程得：
2
x1?
1?51?5，x2?（不合题意，舍去）.故选A. 22二、填空题（本大题共7小题，每小题6分，满分42分）
9． 若n（n?0）是关于x的方程x2?mx?2n?0的根，则m?n的值为?2
解：因为n是关于x的方程x?mx?2n?0的根，所以n?mn?2n?0，
所以n(n?m?2)?0，又n?0，则m?n?2?0，所以则m?n的值为－2.
225ba2?2ab?b210．若a?3b?0(b?0)，则(1?)?? 222a?2ba?4bba2?2ab?b2a?b(a?2b)(a?2b)a?2b解：(1?， )????a?2ba2?4b2a?2b(a?b)2a?b又a?3b?0 ，所以a??3b ， 所以原式=?3b?2b?5.
?3b?b2
11．图4是30名初三女学生1分钟内仰卧起坐次数的频数分布直方图（每组次数只含最小
值而不含最大值），则仰卧起坐次数在25~45次的频率是0.7
解：由频率分布直方图可知，“25~45”
的学生人数有21人，所以仰卧起坐次 数在25~45次的频率是0.7.
12 9
5 3 1
0 15 25 35 45 55 60 人数 次数 ?图4 12．如图5，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为45
10
解：如图5，连接AC可知△ABC是等腰直角三角形，所以∠ABC=45°.
11? 且图象与x轴的负半轴的交点到原点的13．已知二次函数的图象经过原点及点???，??，?24?2A
B
C 图5
A
B
C 图5
距离为1，则该二次函数的解析式为y?x?x
解：与原点的距离为1的交点（－1，0），由此可求得该二次函数的解析式为：y?x?x.
14．图6中的两个滑块A、B由一个连杆连接，分别可以在两条互相垂直的滑道上滑动．开始时，
滑块A距O点20 cm，滑块B距O点15 cm．则当滑块A向下滑到O点时，滑块B滑动了10 cm
解：如图6，由AB?AO?OB?20?15?25，
A 2222222可知连杆AB的长度等于25cm，当滑块A向下滑到 O点时，滑块B距O点的距离是25 cm，故滑块B 滑动了25－15 =10 cm.
15．如图7，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转36°后得到的图形，点C恰好在AB上，
∠AOD的度数是90°，则∠B的度数是 54°
解：△COD是△AOB绕点O顺时针旋转36°后得到
的图形，点C恰好在AB上，所以可知OA=OC， ∠AOC=∠BOD=36°, ∴∠ACO=72°， 又∠AOD= 90°，∴∠BOC= 18°, ∴∠B= 54°.
三、解答题(本大题共68分) 16. （本题满分12分）
11
O B 图6
A
C
B
O 图7
D
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y??2x的图象与反比例函数y?象的一个交点为A(?1,n)．
k的图xk的解析式； x（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA?OA，直接写出点P的坐标．
（1）求反比例函数y? 解：（1）∵点A（-1，n）在一次函数y=-2x的图象上．
∴n=﹣2×（﹣1）=2
∴点A的坐标为（﹣1，2） ∵点A在反比例函数的图象上． ∴k=﹣2
∴反比例函数的解析式是y=﹣． （2）点P的坐标为（﹣2，0）或（0，4）．
17. （本题满分13分）
如图，在?ABC中，?ACB?90，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，
12
?
CE=4，求四边形ACEB的周长．
解：∵∠ACB=90°，DE⊥BC，
∴AC∥DE．
又∵CE∥AD，
∴四边形ACED是平行四边形． ∴DE=AC=2．
在Rt△ADE中，由勾股定理得CD?CE?DE?23 ． ∵D是BC的中点， ∴BC=2CD=43．
在△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得AB=∵D是BC的中点，DE⊥BC， ∴EB=EC=4．
∴四边形ACEB的周长=AC+CE+EB+BA=10+213．
18. （本题满分13分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，我把由两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C（注：不含AB线段）．已知A（﹣1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上． （1）求两条射线AE，BF所在直线的距离；
（2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围； 当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围. 解：（1）分别连接AD、DB，则点D在直线AE上， ∵点D在以AB为直径的半圆上， ∴∠ADB=90°， ∴BD⊥AD，
在Rt△DOB中，由勾股定理得，BD=2， ∵AE∥BF，
∴两条射线AE、BF所在直线的距离为2．
（2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，b的取值范围是
b=2或﹣1＜b＜1；
当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，b的取值范围是1＜b＜2 19．（本题满分15分）
如图，正方形ABCD的边长为1，对角线AC与BD相交于点O，点P是AB边上的一 个动点（点P不与点A、B重合），CP与BD相交于点Q．
13
22=213．
（1）若CP平分∠ACB，求证：AP = 2QO． （2）先按下列要求画出相应图形，然后求解问题.
① 把线段PC绕点P旋转90°，使点C落在点E处，并连接AE．设线段BP的长度 为x，△APE的面积为S. 试求S与x的函数关系式；
② 求出S的最大值，判断此时点P所在的位置．
A
P O Q B
E 3 D C D 1 2 C
O M Q G E
P F
A
B （1）证明：过点O作OM//AB交PC于点M，则∠COM=∠CAB.
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ OA=OC，∠CAB=∠CBD=∠COM=45°, ∴ AP=2OM. 又∵ ∠1=∠2, ∴ ∠1+∠COM=∠2+∠CBD,
即 ∠OMQ=∠OQM. ∴ OM=OQ ∴ AP=2OQ． （本小题也可以过点A作直线平行于OQ证明） （2）根据题意作出图形，如图所示
①ⅰ、当PC绕点P逆时针旋转90°时，作EF⊥AB交BA延长线于点F,
则∠EFP=∠PBC=90°，∠3+∠CPB=90°. 又∠2+∠CPB=90°,∴∠3=∠2. 又PE由PC绕点P旋转形成 ∴PE=PC ∴△EPF≌△CPB.
11AP?EF?(1?x)x. 22121∴△APE的面积S与x的函数关系式为S??x?x （0?x?1）.
22∴EF=BP=x, ∴AP=1－x ∴S?APE?ⅱ、当PC绕点P顺时针旋转90°时，作EG⊥AB交AB延长线于点G,
则同理可得△EPG≌△CPB，EG=BP=x.
121x?x 22121由ⅰ、ⅱ可得△APE的面积S与x的函数关系式为S??x?x，（0?x?1）
22121② 由①知S与x的函数关系式为S??x?x，（0?x?1）
22112111即S??(x?)?，（0?x?1）. ∴当x?时S的值最大，最大值为．
22828∴△APE的面积S与x的函数关系式为S??此时点P所在的位置是边AB的中点处． 20．（本题满分15分）
A地某校准备组织学生及学生家长到B地进行社会实践，为便于管理，所有人员必须
乘坐在同一列火车上；根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座
14
单程火车票且花钱最少，则需11220元；已知学生家长与教师的人数之比为2∶1，从A到B．．．．．的火车票价格（部分）如下表所示： 运行区间 上车站 下车站 公布票价 一等座 81（元） 二等座 68（元） 学生票 二等座 51（元） A B （1）参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？
（2）由于各种原因，二等座火车票单程只能买x张（x小于参加社会实践的人数），其 余的须买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位坐的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式．
（3）请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花多 少钱？最多要花多少钱？ 解：（1）设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，若都买二等座
单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座学生票，依题意得： ．．．．．
?81(3m?n)?17010?m?10解得? 则2m?20 ?68?3m?51n?11220??n?180答：参加社会实践的老师、家长与学生各有10、20与180人．
（2）由（1）知所有参与人员总共有210人，其中学生有180人，
①当180?x＜210时，最经济的购票方案为：
学生都买学生票共180张，（x?180）名成年人买二等座火车票，(210?x)名成年人买一等座火车票．
∴火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：
y?51?180?68(x?180)?81(210?x)
即y??13x?13950 （180?x＜210）
②当0?x?180时，最经济的购票方案为：
一部分学生买学生票共x张，其余的学生与家长老师一起购买一等座火车票共(210?x)张．
∴火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：
y?51x?81(210?x) 即y??30x?17010 （0?x?180）
（3）由（2）小题知，
当180?x＜210时，y??13x?13950，由此可见，当x?209时，y的值最小，最小值为11233元，当x?180时，y的值最大，最大值为11610元．
当0?x?180时，y??30x?17010，由此可见，当x?179时，y的值最小，最小值为11640元，当x?1 时，y的值最大，最大值为16980元．
所以可以判断按（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花11233元，最多要花16980元．
15
16
