9．1平面的基本性质
一、知识点
1、 平面的表示法 2、 平面的基本性质 3、 公理的推论
4、 空间图形在平面上的表示法
二、能力点
1、掌握平面的基本性质
2、直观地了解空间图形在平面上的表示法 4、培养学生的空间想象能力
三、重点与难点
重点：平面的基本性质
难点： 平面的基本性质的掌握与应用
第一课时 平面的基本性质
教学目标
1、理解平面的概念，掌握平面的画法与表示法 2、掌握平面的基本性质：公理1、公理2、公理3 3、能利用这三个公理解决有关实际问题
教学过程 设置情境
大至金字塔、三峡大坝、宇宙飞船，小至桌椅门窗、机械零件，它们的设计，仅仅依靠平面几何的知识是不够的，因此，我们必需学习一门新的数学知识――立体几何。 立体几何是平面几何的发展，平面几何主要研究平面图形的性质，立体几何则重点研究空间图形的画法、性质，平面图形是由同一平面内的点、线所构成的图形，空间图形就是由空间的点、线、面所构成的图形。
当我们把研究的范围扩大到空间后，一些平面图形的基本性质，在空间仍然成立，有些性质就不一定成立。哪些性质仍然成立？空间图形的角度、距离应该如何度量？??这些都是本章研究的对象。
探索研究
1、平面的表示方法 ⑴平面的概念
平面是最基本的几何概念，与初中平面几何中的直线、点一样，对它只加以描述而不
1
定义。如：常见的桌面、地面、平静的水面都是平面的局部形象。
几何中的平面是无限伸展的，平面与平面无大小、厚薄之分，仅有位置上的不同。 注： 一个平面将空间分成两部分。 ⑵平面的画法
常用平行四边形表示平面。（不过要把它想象成无限延伸的）
β β β α α α
几点说明：
①所画的平行四边形表示它所在的整个平面，需要时可以把它延展出来。有时根据需要也用其它平面图形（三角形、圆等）表示平面。
②当平面是水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45°，横边画成邻边的两倍；画直立平面时，要有一组对边为铅垂线。
③当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把遮住部分的线段画成虚线（或不画），这与平面几何中添加的辅助线应画成虚线不同。
④立体几何中，添加的辅助线未被平面遮住时，仍画成实线，而被另一个平面遮住的部分才画成虚线。 ⑶平面的表示方法
一般地用一个希腊字母α、β、γ、??来表示，还可以用表示平行四边形的对角顶点字母来表示。 注：
①点是构成空间图形的最基本的元素，直线、平面、几何体、球等都是点的集合。 ②几何中许多符号的规定都出自将图形看成点集。例如：点A在直线l上，记为A∈∈l；点A在平面α内，记为A∈α；直线l在平面α内，记为lα(或l不在平面α内，记为lα；点A不在平面α内，记为A α。
③数学语言是在数学思维中产生和发展的，它是数学思维不可缺少的工具，在对数学语言的研究中，通常按数学语言所使用的主要词汇，分为：文字语言、符号语言、图形语言。
α)；直线l
2
练习：下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50cm，宽是25cm；④平面是绝对的平、无厚度、可以无限延伸的抽象的数学概念。其中正确命题的个数是（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4 2、平面的基本性质
公理1：（文字语言）如果一条直线的两个点
B 在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这 A · 个平面内。 · 符号语言：A?l,B?l?l??
α 公理1是研究直线和平面的关系，公理1的作用：⑴判断直线或点是否在平面内；⑵
检验平面。
例1 一条直线经过不闻平面内一点与平面外一点，它和这个平面有几个公共点？为什么？
分析：由本题的结论知，说明理由必须依据所学的定义、公理、定理，对于证明含有“只有”、“不可能”、“至多”、“至少”语句的命题，一般考虑反证法。
解：这条直线和这个平面只有一个公共点。
假如这条直线和这个平面只有二个公共点，根据公理1可得，这条直线上的所有点都在这个平面内，推得这条直线过平面外的一点也在这个平面内，这与已知矛盾，所以，这条直线与这个平面只有一个公共点。
C 练习：如图ΔABC，若边AB、BC在平面α内，
判断边AC是否在平面α内。
B 解：∵边AB在平面α内，∴A∈α，同理C∈α， α A 根据公理1知，边AC在平面α内。
公理2：（文字语言）如果两个平面有一个公 β 共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的 集合是一条直线。
符号语言：A??,A???????l,A?l
α A · l 公理2是研究平面和平面关系的基础，以后说到两 个平面，如不特别说明，都是指两个不重合的平面。
对于两个平面，只要它们有公共点，它们就是相交的位置关系，交线是经过公共点的一条直线。
公理2的作用：⑴判断两个平面是否的公共点；⑵判断点是否在直线上。
3
例2 画相交的两个平面。
分析：两个相交平面的图形有三种――人字形、丁字形、十字形，其中人字形是最简单的，十字形最复杂，如果没有必要，应尽可能从简。 B B B n n n n A m A m A m A m 公理3（文字语言） 经过不在同一直线上的三个点有且只有一个平面。 B 符号语言：A、B、C三点不共线
A · · ?有且仅有一个平面?，使A??、· C α B??、C?? 公理3是研究有关平面的条件，公理3中的“三点”是条件的骨干，不会忽视，但“不
在同一直线上”这一附加条件则易被遗忘，如舍去结论就不成立了，因此绝对不能遗忘。同时，还应认识到经过一点、二点或在同一直线的有三点可有无数个平面；过不在同一直线上的四点，不一定有平面。
公理3中的“有且只有一个”强调的是存在和惟一两个方面。 公理3的作用：⑴确定平面；⑵证明点线共面。 例3 为什么有的自行车后轮旁只安装一只撑脚？
分析：解答实际问题的关键是建模，将实际问题抽象为数学问题。
解：根据公理3知道：不共线的三点确定一个平面。将自行车的前后轮占地面接触的部分看作两个点，自行车的撑脚看成是第三个点，由这不共线三个点可以确定一个平面。因此自行车只安装一只撑脚就够了。
A 练习：空间不全共线的四个点可以确定几个平面？1或4个 反思应用
例4 已知ΔABC在平面α外，
直线AB∩α＝P，直线AC∩α＝R， 直线BC∩α＝Q，求证：P、Q、R 三点共线。
分析：根据公理2，只要证明这 三个点都是某两个平面的公共点，即 可推出三点在两个平面的交线上。
C B P α Q R 4
证明：∵直线AB∩α＝P，∴P∈α，P∈直线AB，又直线AB 平面ABC，∴P∈ABC 由公理2知点P在平面ABC与平面α的交线上，同理R、Q在平面ABC与平面α的交线上， ∴P、Q、R三点共线。 练习：P5 练习1－7 归纳总结
知识点：平面的表示方法、平面的基本性质 思想方法：空间想象力
①画空间图形的过程，是培养我们空间想象力的过程，一定要认真对待，绝不可以掉以轻心。
②画好两个相交平面的图形，是画好一切立体图形的基础。 ③相交的两个平面的图形千变万化，根据需要可适当选择。 作业：P11 习题9.1 3、4 画两个相交平面。
教学过程 复习回顾
1、平面的基本性质 2、练习
⑴点P在直线l上，而直线l在平面内，用符号表示为（C ）
A.P?l?? B.P?l?? C.P?l?? D.P?l?? ⑵若一直线a在平面α内，则正确的图形是（A ）
A B C D ⑶下列推理，错误的是（C ）
A.A?l,B?l,A??,B???l?? B.A??,B??,A??,B???????AB C.l??,A?l?A??
5
D.A、B、C??，A、B、C??，且A、B、C不共线??与?重合
⑷下列是四个命题的叙述语（其中A、B表示点，a表示直线，α表示平面）：
?1??A??,B??,?AB?? ?3??A??,a??,?A?a
?2??A??,B??,?AB??
?4??A?a,a??,?A??
其中命题叙述方法和推理过程都正确的命题的序号是_______。⑷ ⑸三个平面，它们将空间分成几部分？
分析：充分利用教室进行思考。三个平面互相平行，分为4部分；二个平面互相平行，另一个与它们相交，分为6部分；三个平面两两相交（三条交线互相平行，如三棱镜），分为7部分；三个平面两两相交（三条交线交于一点），分为8部分。 情境设置
尽可能把立体几何问题转化为平面几何问题，是我们解决立体几何问题的常见思路，公理3为我们确定平面提供了理论依据和具体方法，但这还不够，这节课我们学习公理3的三个推论，为确定平面提供更多的依据。 探索研究
B 我们一起看公理3的图形语言，
A · 连结AB得到直线l，则l与平面α
· 的关系是l??，点C与直线l的 α ·C 关系是C?l，点C与直线l都在 平面α内；再连结AC得到直线m， 则直线l与m的位置关系是相交，直线l与m都在平面α内；若过点C作直线n平行于直线l，则直线n与平面α的关系是n??，直线l与n都在平面α内。从而得到： 推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面。 B 推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面。 A ·l 推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面。 · α ·C
B B
A · A ·
· · α ·C α ·C
推论1的证明过程
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已知：直线l，点A是直线l外的一点。 求证：过直线l和点A有且只有一个平面。
证明：点A是直线l外的一点，在直线l上任取两点B、C，根据公理3，经过不共线的三点A、B、C有且只有一个平面α。因为点B、C在平面α内，所以根据公理1，直线l在平面α内，即平面α是经过直线l和点A的平面。又因为B、C在l上，所以经过点A和直线l的平面一定经过点A、B、C，于是再根据公理3，经过不共线的三点A、B、C只有一个平面，所以经过l和点A的平面只有一个。
小结：与平面几何中证明一样，证明立体几何问题的一般步骤是：第一步：根据已知作图，写出已知、求证；第二步写出证明过程。
请同学们证明推论2、3
已知：直线a、b，且a∩b=P。 求证：过a、b有且只有一个平面。
证明1：在直线a、b上分别不同于点P的点A和点B，点A、B、P是不在同一直线上的三点（否则与a、b是相交直线矛盾），由公理3，过A、B、P三点有一个平面α。因为a、b各有两个点在α内，所以a、b在α内，因此过a、b有平面α。
因为点A、B、P分别在直线a、b上，所以它们在经过a、b的平面内，又由公理3，过点A、B、P的平面只有一个，所以经过a、b的平面只有一个。 证明2：在直线b上取不同于点Q，点Q不在直线a上（否则与a、b是相交直线矛盾），由公理3的推论1，过点Q和直线a有一个平面α，因为点P在直线a上，所以点P在平面α内，又直线b上有两个点P、Q在平面α内，由公理1知直线b在平面α内，所以a、b在α内，因此过a、b有平面α。
因为点Q在直线b上，所以它们在经过a、b的平面内，又由公理3推论1，过点Q、和直线a的平面只有一个，所以经过a、b的平面只有一个。 已知：a∥b
求证：过a、b的平面有且只有一个。
证明：在直线b上任取一点Q，点Q不在直线a上（否则与a、b是平行直线矛盾），由公理3的推论1，过点Q和直线a有一个平面α，过点Q在平面α内作直线c∥a，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，又b∥a，所以直线b、c重合，所以a、b在α内，因此过a、b有平面α。
因为点Q在直线b上，所以它们在经过a、b的平面内，又由公理3推论1，过点Q、和直线a的平面只有一个，所以经过a、b的平面只有一个。 反思应用
例1 过直线l外一点P引两条直线PA、PB的直线l分别交于A、B两点，求证：三条直线PA、PB、l共面。
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分析：根据直线l和直线l外一点P确定一个平面α，再证PA、PB也在平面α内；根据不共线的三点P、A、B确定的平面α，然后证明PA、PB、l在平面α内。
?A?l,l??,?A??，又B∈α， 证明：?P?l,?P、l确定一个平面?。?PA??,同理PB??.从而三条直线PA、PB、l共面。
例2 已知a、b、c、d是两两相交且不共点的四条直线，求证：a、b、c、d共面。
分析：首先考虑两两相交且不共点的四条直线有两种情况：⑴没有三线共点；⑵有三线共点。然后分类证明，也可以分两种情况画图，采用统一的证明。
证明：如图∵a∩b＝A，∴a、b确定一个平面α。∵a∩c＝B，∴B∈a，从而B∈α。 同理D∈α，?B?c,D?c,?c??，同理d??。∴a、b、c、d共面。
例3 已知空间四点A、B、C、D不在同一个平面内，求证：直线AB、CD既不平行也不相交。
分析：直接证明比较困难，考虑用反证法。
证明：假设AB、CD平行或相交，则AB、CD确定一个平面α。于是AB??,CD?? ∵A、B∈AB，∴A、B∈α，同理C、D∈α，这与已知A、B、C、D不在同一个平面内矛盾，所以直线AB、CD既不平行也不相交。 练习：
1、共点的三条直线可以确定几个平面？ 1或3个 2、三条两两平行且不共面，可以确定几个平面？ 3个
3、下列命题：①有三个公共点的两个平面重合；②梯形的四个顶点在同一个平面内；③三条互相平行的直线必共面；④两组分别相等的四边形是平行四边形。其中正确命题的个数是（A ）
A、1 B、2 C、3 D、4 4、空间四点中“三点共线”是“四点共面”的（A ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
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C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
5、已知a∥b，在a上取三点，在b上取四点，由这7个点能确定＿＿平面。1个 6、怎样检查桌子的四条腿的下端是否在同一个平面内？
将桌面朝下放在地面上，再把两条细绳拉紧分别按在对角两腿的上端，如果这两条细绳相交于一点，那么这四条腿的下端在同一平面内。
7、已知a∥b∥c，a∩l＝A，b∩l＝B，c∩l＝C，求证：a、b、c共面。 有三位同学的证明如下，请判断正误。
甲：证明：∵a∩l＝A，∴a与l共面。同理b与l共面，c与l共面，∴a、b、c共面。 乙：证明：∵a∥b，∴a、b确定一个平面α，∵A∈a，B∈b∴A∈α，B∈α, 又∵A∈l，B∈l ?l??,又C∈l，∴C∈α，?C?a∴α也是C和a确定的平面，∵C∈c，且a∥c，∴?c??∴a、b、c都在一个平面α内，即a、b、c共面。
丙：证明：∵a∥b，∴a、b确定一个平面α，∵A∈a，B∈b∴A∈α，B∈α, 又∵A∈l，B∈l ?l??，同理a、c确定平面β，?l??；因为a、l既在α内，又在β内，而过两条相交直线有且只有一个平面，所以α与β重合，故a、b、c共面。
点评：甲的错误明显，a与l共面α，同理b与l共面β，c与l共面γ，但α、β、γ未必是同一个平面。
乙的错误在于“∵C∈c，且a∥c，∴?c??”这一步的推理的理由未表述清楚，应改为“∵a∥c，a、c确定平面β，又C∈c，∴β必过点C和直线a，故α与β重合，
。 ?c??”
丙的证明很好。 归纳总结
知识点：公理3的三个推论
思想方法：证明三点共线通常证明这三个点分别在两个平面内，然后利用公理2；证明多点共面（多线共面），先利用公理3或它的三个推论造不共线的三点（或一直线和直线外一点，两条相交直线，两条平行直线）确定一个平面α，再证其余各点（线）都在这个平面α内；或者先证这些点（线）分别在两个或多个平面内，再证这些平面重合（证明两个平面重合的依据仍然是公理3及其推论）。
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