吉林省延边二中2018～2018学年度高三第一次阶段性测试数学试卷(理科) 第I卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
2i31．i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在
1-i （ D ） D．第四象限
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限
22．已知集合M?xx?4x?3?0,N?x2x?1?5，则M?N等于（ B ）
???? A．x1?x?3 B．x1?x?2 C．xx?3 D．x2?x?3 3．如果将一组数据中的每一个数都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数和方差的变化情
况是 （ C ） Ａ．平均数和方差都不变 Ｃ．平均数改变，方差不变
Ｂ．平均数不变，方差改变 Ｄ．平均数和方差都改变
????????4．若双曲线x2?ky2?1的离心率为2，则实数k的值为 （ D ）
A．3
B．
1 3 C．-3 D．-
1 35.已知两条直线a,b，两个平面?,?，则下列结论中正确的是 （ A ） A．若a??，且?//?，则a//? C．若a//?，?//?，则a//?
B．若b??，a//b，则a//? D．若b//?，a//b，则a//?
6.某电视台连续播放５个不同的广告，其中有３个不同的商业广告和２个不同的奥运传 广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且两个奥运宣传广告不能连续播放，则不 同的播放方式有 （ C ） A．120种 B．48种 C．36种 D．18种 7．已知a,b?R，且ab?0，则下列不等式不正确的是 ．．．
A．|a?b|?a?b C．2ab?|a?b|
（ B ）
B．|a?b|?|a|?|b| D．
ba??2 ab8．若半径为1的球与120°的二面角的两个半平面切于M、N两点，则两切点间的球面距离是（ D ）
A．
4?2?? B．? C． D． 333
9. 设a?R，函数f(x)?x3?ax2?(a?3)x的导函数是f?(x),若f?(x)是偶函数，则曲线
y?f(x)在原点处的切线方程为 （ A ）
A．y??3x 10.过抛物线y=
B．y??2x
C．y?3x D．y?2x
1ax2（a＞0）焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF、FQ的长度3q，则分别为p、11
?等于 （ C ） pq
2343a B． C．a D．
2a4a331211、若m,n均为正数，且4m+5n=20,则?的最小值为 （ C ）
mnA．A．
7 5 B．
7?10 10C．
117?210 D．
1010y212.过双曲线M:x?2?1的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相
b2交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是 ( A ) A.10 B.5 C.D B C D A C B D A C C A
105 D. 32第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
考生注意事项：
请用在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
xx?3?2)? .2
x?1x?1x?11614．(x?)的展开式中的常数项为 ．15
x13．lim(?x?02y?345?15．设x,y满足约束条件?y?x，则的取值范围是[,11] 。
x?119?4x?3y?12?216．设随机变量?服从正态分布N(1,?)(??0)，若P(0???1)?0.4，则P(??2)=
.0.1
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题10分)解关于x的不等式ax2?(a?1)x?1?0．
18．(本小题12分)每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6）. （I）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率； （II）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；
（III）连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率.
19.(本小题12分)三棱锥P?ABC中，PC、AC、BC两两垂直，BC?PC?1，AC?2，E、F、G分别是AB、AC、AP的中点.
P
EFGPBC（Ⅰ）证明平面∥平面；
（Ⅱ）求二面角B?AP?C的大小；
（Ⅲ）求直线PF与平面PAB所成角的大小.
G
C
B
F E A 20.(本小题12分)已知O为坐标原点, 点F的坐标为?1,0? ，点P是直线m:x??1上一动点,点M为PF的中点，点Q满足
yPQM?PF，且QP?m.
（Ⅰ）求点Q的轨迹方程； -1O（Ⅱ）设过点?2,0?的直线 l与点Q的轨迹交于A、B两点， 且?AFB??.试问角?能否等于
21.(本小题12分)设函数f(x)?(1?x)?2ln(1?x). （Ⅰ）求f(x)的单调区间；
2Fx2?？若能，求出相应的直线 l的方程；若不能，请说明理由． 3（Ⅱ）若当x?[?1,e?1]时，不等式f(x)?m恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若关于x 的方程f(x)?x?x?a在区间[0, 2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围.
21e
，2，3，…． 22.(本小题12分)已知数列?an?中a1?2，an?1?(2?1)(an?2)，n?1（Ⅰ）求?an?的通项公式； （Ⅱ）若数列?bn?中b1?2，bn?1?3bn?4，2，3，…，，2，3，…．，n?1证明：2?bn≤a4n?3，n?1
2bn?3
附加题.(本题10分)
排球单循环赛, 南方球队比北方球队多9支,南方球队总得分是北方球队的9倍.求证冠军是一支南方球队（胜得1分 败得0分）.
D B C D A C B D A C C A
17.解关于x的不等式ax2?(a?1)x?1?0．
分析：本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法，因为含有字母系数，所以还考查分类思想．
解：分以下情况讨论
(1)当a?0时，原不等式变为：?x?1?0，∴x?1 (2)当a?0时，原不等式变为：(ax?1)(x?1)?0 ①
11．
aa1②当a?0时，①式变为(x?)(x?1)?0． ②
a11?a111∵?1?，∴当0?a?1时，?1，此时②的解为1?x?．当a?1时，?1，解集aaaaa1为空集，当a>1时②的解为?x?1．
a①当a?0时，①式变为(x?)(x?1)?0，∴不等式的解为x?1或x?
18．每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6）. （I）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率； （II）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；
（III）连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率.
65=； 6?6611?1?2C2?15（II）设“连续抛掷2次，求向上的数之和为6”的事件为B，则：P (B) ==；
6?636解：（I）设“连续抛掷2次，求向上的数不同”为事件A，则：P (A ) = 1－（III）设“连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次”的事件为C，则：
3 P (C) =C5?()3(1?)2=
12125. 16
19.三棱锥P-ABC中，PC、AC、BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E、F、G分别是AB、AC、AP的中点.
P
（Ⅰ）证明平面GFE∥平面PCB； （Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小；
（Ⅲ）求直线PF与平面PAB所成角的大小.
G
C
B
F E （Ⅰ）证明：因为E、F、G分别是AB、AC、AP的中点， A
所以EF∥BC，GF∥CP. …………………………………………………1分 因为EF、GF?平面PCB，
所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB. 又EF∩GF= F，
所以平面GFE∥平面PCB. …………………………………3分 （Ⅱ）解：过点C在平面PAC内作CH⊥PA，垂足为H.
连结HB.
因为BC⊥PC，BC⊥AC，且PC∩AC=C， 所以BC⊥平面PAC. 所以HB⊥PA.
所以∠BHC是二面角B-AP-C的平面角. ………6分
P H G
C B
F
A
所以tan∠BHC=
E
2依条件容易求出CH=. 515=. 225所以∠BHC=arctan
5. 25. …………………………………8分
P 2k
G M F A
C B
E
所以二面角B-AP-C的大小是arctan
（Ⅲ）解法1：如图，设PB的中点为K，
连结KC，AK，
因为△PCB为等腰直角三角形， 所以KC⊥PB.
又AC⊥PC，AC⊥BC，且PC∩BC=C， 所以AC⊥平面PCB. 所以AK⊥PB. 因为AK∩KC=K，
