2-1 （a） 解：（1）求指定截面上的轴力 N1?1?2F
N2?2??2F?2F?0 （2）作轴力图
N3?3?F?2F?2F?F 轴力图如图所示。 （b）
解：（1）求指定截面上的轴力 N1?1?F
N2?2??2F?qa?F??2F?（2）作轴力图
中间段的轴力方程为： N(x)?F?Fa?x x?(a,0]
Fa?a?F??2F
轴力图如图所示。
[习题2-3] 石砌桥墩的墩身高l?10m，其横截面面尺寸如图所示。荷载F?1000kN，材料的密度??2.35kg/m，试求墩身底部横截面上的压应力。 解：墩身底面的轴力为：
N??(F?G)??F?Al?g
??1000?(3?2?3.14?1)?10?2.35?9.8??3104.942(kN)23 ??1000?(3?2?3.14?1)?10?2.35?9.8
??3104.942(kN)
2墩身底面积：A?(3?2?3.14?1)?9.14(m)
因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。 ??NA??3104.942kN9.14m222??339.71kPa??0.34MPa
[习题2-5] 图示拉杆承受轴向拉力F?10kN，杆的横截面面积A?100mm2。如以?表示斜截面与横截面的夹角，试求当??0o,30o,45o,60o,90o时各斜截面上的正应力和切应力，并用图表示其方向。
解：斜截面上的正应力与切应力的公式为：
2????0cos?
????02sin2?
NA10000N100mm2式中，?0? ??100MPa，把?的数值代入以上二式得：
轴向拉/压杆斜截面上的应力计算 题目 编号 习题2-5 N(N) A(mm)2 ?()o ?0(MPa) ??(MPa)??(MPa)100.0 75.0 50.0 25.0 0.0 0.0 43.3 50.0 43.3 0.0 10000 10000 10000 10000 10000 100 100 100 100 100 0 30 45 60 90 100 100 100 100 100 [习题2-6] 一木桩受力如图所示。柱的横。截面为边长200mm的正方形，材料可认为符合
胡克定律，其弹性模量E?10GPa。如不计柱的自重，试求：
（1）作轴力图；
（2）各段柱横截面上的应力； （3）各段柱的纵向线应变； （4）柱的总变形。 解：（1）作轴力图
NAC??100kN
NCB??100?160??260(kN)
轴力图如图所示。 （2）计算各段上的应力 ?NACA?100?10N200?200mm23AC????2.5MPa。
?CB?NCBA??260?10N200?200mm23??6.5MPa，
（3）计算各段柱的纵向线应变
?AC??ACE??2.5MPa10?10MPa?6.5MPa10?10MPa33??2.5?10?4
?CB??CBE???6.5?10?4
（4）计算柱的总变形
?lAC??AC?lAC??CB?lCB?(?2.5?1500?6.5?1500)?10?4?1.35(mm)
[习题2-10] 受轴向拉力F作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该材料的弹性常数为E,?，试求C与D两点间的距离改变量?CD。 解：????????'F/AE???FEA
式中，A?(a??)2?(a??)2?4a?，故： ???
?aa'F?4Ea?'
F?4Ea?F?' ?a?a?a??
4E?a?a?'????
F?4E?2
14512CD?(2a)?(3a)342?a
CD?''(2a')?(3a')3422?14512a'
?(CD)?CD?CD?''14512(a?a)??'14512?F?4E???1.003?F?4E?
[习题2-16] 简易起重设备的计算简图如图所示。已知斜杆AB用两根
63mm?40mm?4mm不等边角钢组成，钢的许用应力[?]?170MPa。试问在起重量P?15kN的重物时，斜杆AB是否满足强度条件？
解：（1）计算AB杆的工作应力
以A结点为研究对象，其受力图如图所示。由其平衡条件可得：
?Y?0
0NABsin30NABsin30?F?P?0 ?2P?0
0NAB?4P?4?15?60(kN)
查型钢表得：单个63mm?40mm?4mm不等边角钢 的面积为：4.058cm2?405.8mm2 。两个角钢的总 面积为2?405.8?811.6(mm2)
故AB杆的工作应力为：
?max?60000N811.6mm2?74MPa
（2）强度校核
因为 [?]?170MPa，?max?74MPa 即：?max?[?
所以AB杆符合强度条件，即不会破坏。
第三章 扭转 习题解
[习题3-1] 一传动轴作匀速转动，转速n?200r/min，轴上装有五个轮子，主动轮II输入的功率为60kW，从动轮，I，III，IV，V依次输出18kW，12kW，22kW和8kW。试作轴的扭图。
解：（1）计算各轮的力偶矩（外力偶矩） Te?9.55Nkn
外力偶矩计算(kW换算成kN.m) 题目编号 习题3-1 轮子编号 I II III IV V
(2) 作扭矩图
轮子作用 从动轮 主动轮 从动轮 从动轮 从动轮 功率(kW) 18 60 12 22 8 转速r/min 200 200 200 200 200 Te（kN.m） 0.859 2.865 0.573 1.051 0.382
T图(kN.m)
[习题3-3] 空心钢轴的外径D?100mm，内径d?50mm。已知间距为l?2.7m的两横截面的相对扭转角??1.8o，材料的切变模量G?80GPa。试求： （1）轴内的最大切应力；
（2）当轴以n?80r/min的速度旋转时，轴所传递的功率。 解；（1）计算轴内的最大切应力
Ip?Wp?132116?D(1??)??D(1??)?3444132116?3.14159?100?3.14159?1004?(1?0.5)?9203877(mm)。
443?(1?0.5)?184078(mm)
43式中，??d/D。
??T?lGIp，
T??GIlp?1.8?3.14159/180?80000N/mm2700mm2?9203877mm4
?8563014.45N?mm
?8.563(kN?m)
TWp8563014.45N?mm184078mm3?max???46.518MPa
（2）当轴以n?80r/min的速度旋转时，轴所传递的功率 T?Me?9.549Nkn?9.549?Nk80?8.563(kN?m)
Nk?8.563?80/9.549?71.74(kW)
[习题3-2] 实心圆轴的直径d?100mm，长l?1m，其两端所受外力偶矩Me?14kN?m，材料的切变模量G?80GPa。试求：
（1）最大切应力及两端面间的相对转角；
（2）图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向；
（3）C点处的切应变。
解：（1）计算最大切应力及两端面间的相对转角 ?max?TWp?MeWp116。
116式中，Wp??d3?6?3.14159?1003?196349(mm)。故：
3?max?MeWp?14?10N?mm196349mm3?71.302MPa
??T?lGIp
132式中，Ip??d4?132?3.14159?1004?9817469(mm)。故：
4??T?lGIp?14000N?m?1m80?10N/m?9817469?1092?12m4?0.0178254(rad)?1.02
o（2）求图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向 ?A??B??max?71.302MPa 由横截面上切应力分布规律可知：
?C?12?B?0.5?71.302?35.66MPa
A、B、C三点的切应力方向如图所示。
（3）计算C点处的切应变 ?C??CG?35.66MPa80?10MPa3?4.4575?10?4?0.446?10?3
o[习题3-7 图示一等直圆杆，已知d?40mm，a?400mm，G?80GPa，?DB?1。试
求：
（1）最大切应力； （2）截面A相对于截面C的扭转角。 解：（1）计算最大切应力 从AD轴的外力偶分布情况可知：
TAB?TCD?Me，TBC?0。
?DB??GITilip?TDC?lDCGIp?TCB?lCBGIp?Me?aGIp?0?aGIp?MeaGIp
Me?GIp?a
式中，Ip?GIp?aMe132?d4?132?3.14159?4024?251327(mm)。故：
44 Me??80000N/mm?251327mm400mm?3.14159180?877296N?mm
?max?Wp
116116式中，Wp? ?max?Me?d3??3.14159?403?12566(mm)。故：
3Wp?877296N?mm12566mm3?69.815MPa
（2）计算截面A相对于截面C的扭转角 ?AC??GITilip?TAB?lABGIp?TBC?lBCGIp?Me?2apGI?0?aGIp?2MeaGIp?2?DB?2o
[习题3-12] 已知实心圆轴的转速n?300r/min，传递的功率p?330kW，轴材料的许用切应力[?]?60MPa，切变模量G?80GPa。若要求在2m长度的相对扭转角不超过1o，试求该轴的直径。 解：??T?lGIP?MelGIp?1??180
式中，Me?9.549180MelNkn?9.549?330300?10.504(kN?m)；Ip?132?d。故：
4Ip??G4
132??d?180Mel?G
d?432?180Mel?G2?432?180?10.504?10N?mm?2000mm3.14?80000N/mm226?111.292mm
取d?111.3mm。
[习题3-14] 阶梯形圆杆，AE段为空心，外径D?140mm，内径d?100mm；BC段为实心，直径d?100mm。外力偶矩MA?18kN?m，MB?32kN?m，MC?14kN?m，
'o许用切应力[?]?80MPa，许可单位长度扭转角[?]?1.2/m，切变模G?80GPa。试
校核该轴的强度和刚度。
解：（1）AB段的强度与刚度校核 TAB??M ?max,AB?A??18kN?m
TABWp116
116100140 式中，Wp??D(1??)?634?3.14159?1403?[1?()]?398533(mm)
43?max,AB??l|TAB|Wp??18?10N?mm398533mm1803?45.166MPa?[?]?80MPa 符合度条件。
?'AB?|TAB|GI4?p?4
132100140式中，Ip??'AB132?D(1??)?180?3.14159?1404?[1?()]?27897319(mm)
44??l?|TAB|GIp???18000N?m?18080?10N/m?27897319?1092?12m?3.144?0.462(/m)?[?]?1.2/mo'o 符合刚度条件。
（2） BC段的强度与刚度校核 TBC?MC?14kN?m ?max,BC?TBCWp116
1166 式中，Wp??d3??3.14159?1003?196349(mm)
3?max,AB??lTBCWp??14?10N?mm196349mm1803?71.302MPa?[?]?80MPa 符合度条件。
?'BC?TBCGI4?p?1
式中，Ip??'BC132?d?32?3.14159?1004?9817469(mm)
4??l?TBCGIp?180??14000N?m?18080?10N/m?9817469?1092?12m?3.144?1.02(/m)?[?]?1.2/mo'o 符合刚度条件。 综合（1）、（2）可知，该轴符合强度与刚度条件。
第4章 弯曲应力
[习题4-22] 图示一由16号工字钢制成的简支梁承受集中荷载F。在梁的截面C-C处下边缘上，用标距s?20mm的应变仪量得纵向伸长?s?0.008mm。已知梁的跨长l?1.5m，a?1m，弹性模量E?210GPa。试求F力的大小。 解：（1）求支座反力 RA?RB?F2 （↑）
（1） 求C-C截面的弯矩 MC?RB(l?a)?F(l?a)2
（2） 求F的大小
??E??E?ss?MWZ?F(l?a)2WZ
查型钢表，16号工字钢的WZ?141cm3?141?10?6m3
F?2E??s?WZ(l?a)s?2?210?10kN/m?0.008mm?141?10(1.5?1)m?20mm62?6m3?47.376kN
[习题4-24] 一简支木梁受力如图所示，荷载F?5kN，距离a?0.7m，材料的许用弯曲应力[?]?10MPa，横截面为 解力
hb?3的矩形。试按正应力强度条件确定梁横截面的尺寸。
：（1）求支座反
RA?RB?F （↑） （2）求最大弯矩 Mmax?RAa?5?0.7?3.5(kN?m)
（3）由正应力强度条件确定截面尺寸 ?max?MmaxWz?6Mbh1max2?6Mmax2b(3b)?2M3bmax3?[?]
b?(2Mmax3[?])3?32?3.5?10N?mm3?10N/mm26?61.564mm
b?3?61.564?184.492mm
可取：b?h?62mm?185mm
[习题4-25] 由两根28a号槽钢组成的简支梁受三个集中力作用，如图所示。已知该梁材料为Q235钢，其许用弯曲正应力[?]?170MPa。试求梁的许可荷载F。 解：（1）求支座反力
由对称性可知（左支座为A，右反座为B）： RA?RB?3F2 （↑）
（2）求最大弯矩
设从左至右三个集中力的作用点为C、D、E，则： M MC?M?E?3F2?2?3F
3F2D?4?F?2?4F（最大弯矩）
（3）求最大弯曲正应力，并代入强度条件求[F] ?max?MmaxWZ?4FWZ?[?]
[F]?WZ[?]4。查型钢表，两根28a号槽钢的WZ?2?340.328cm3，故许可荷载：
?6332 [F]?2?340.328?10m?170?10kN/m4?28.928kN
[习题4-32] 一矩形截面面木梁，其截面尺寸及荷载如图，q?1.3kN/m。已知
[?]?10MPa，[?]?2MPa。试校核梁的正应力和切应力强度。
解：（1）求支座反力 由AC梁的平衡条件得：
?MA?0
12?1.3?4.252RB?3??0
（ RB?3.914(kN) （↑）
?MB?0
?RA?3?(1.3?4.25)(3?4.25/2)?0
（ RA?1.611(kN)（↑）
（2）求最大弯矩和最大剪力
AB段：
Q(x)?1.611?1.3x QAB?1.611kN
QBA?1.611?1.3?3??2.289(kN) M(x)?1.611x?12?1.3x2?1.611x?0.65x
2 令 MdM(x)dxmax1?Q(x)?1.611?1.3x?0得：当x?1.611/1.3?1.2392m时，
2?1.611?1.2392?0.65?1.2392?0.9982(kN?m)
BC段：
Q(x)?1.3x1 Qc?0
QBC?1.3?1.25?1.625(kN)
M(x)??12?1.3?x1??0.65x1
222 M MB??0.65?1.25??1.016(kN?m)
c?0
?|M|?1.016(kN?m)
故 Qmax?|QBA|?2.289(kN) M（3）强度校核
?max?MmaxmaxBWz?1.016?10N?mm16?60?120mm236 ?7.056MPa?[?]?10MPa，符合正应力强度条件。
?max?1.5Qmaxbh?1.5?2.289?10N60?120mm23 ?0.477MPa?[?]?2MPa，符合切应力强度条件。
[习题4-34] 图示木梁受一可移动的荷载
。木梁的横截面为矩形，其高度比
作用。已知
，
。试选择梁的截面尺寸。
解：（1）求最大弯矩和最大剪力
当荷载F移至跨中时，在跨中截面得梁的最大弯矩值为：
当荷载无限接近A支座（或B支座时）在A端（或B端）截面，得梁的最大剪力值：
（2）由正应力强度条件确定截面尺寸
得：
相应：
（3）由切应力强度条件选择截面尺寸
两者相比较，截面尺寸取为宽139mm，高208mm。
[习题4-36] 外伸梁AC承受荷载如图所示， 曲正应力
，许用切应力
。材料的许用弯
。试选择工字钢的号码。
解：（1）求支座反力
（2）绘剪力图，弯矩图 从剪力图、弯矩图中得
，
（3）由弯曲正应力强度条件确定截面尺寸
得：
查型钢表，20a号工字钢的弯曲截面系数 强度条件。
（4）校核它是否满足切应力强度条件 查型钢表得：
满足正应力
。
由此可知，20a号工字钢亦能满足切应力强度条件。
第七章 应力状态和强度理论
[习题7-7] 各单元体面上的应力如图所示。试利用应力圆的几何关系求： （1）指定截面上的应力； （2）主应力的数值；
（3）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向] [习题7-8（a）]
解：坐标面应力：X（20，0）；Y（-40，0）??600。根据以上数据作出如图所示的应
力圆。图中比例尺为1cm代表10MPa。按比例尺量得斜面的应力为：
?120??25MPa， ?120?26MPa；?1?20MPa，?3??40MPa；?0?00。
00?3?1
单元体图
应力圆（O.Mohr圆）
主单元体图
[习题7-7（b）]
解：坐标面应力：X（0，30）；Y（0，-30）??30。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为1cm代表10MPa。按比例尺量得斜面的应力为：
?60??26MPa ，?60?15MPa；?1?30MPa，?3??30MPa； ?0??450。
000
单元体图
[习题7-7（c）]
应力圆（O.Mohr圆）
主单元体图
解：坐标面应力：X（-50，0）；Y（-50，0）??300。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为1cm代表20MPa。按比例尺量得斜面的应力为：
?60??50MPa ，?60?0；?2??50MPa，?3??50MPa。
00?3?2
单元体图
[习题7-7（d）]
解：坐标面应力：X（0，-50）；Y（-20，50）??0。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为1cm代表20MPa。按比例尺量得斜面的应力为：
0'?45?40MPa ，?45?10；?0?3935。?3??61MPa； ?1?41MPa,?2?0MPa，
00
应力圆（O.Mohr圆）
主单元体图
0
单元体图
应力圆（O.Mohr圆）
主单元体图
[习题7-8] 各单元体如图所示。试利用应力圆的几何关系求： （1）主应力的数值；
（2）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。
[习题7-8（a）]
解：坐标面应力：X（130，70）；Y（0，-70）。根据以上数据作出如图所示的应
力圆。图中比例尺为1cm代表20MPa。按比例尺量得斜面的应力为：
0'?1?160.5MPa,?2?0MPa，?3??30.5MPa；?0??2356。
单元体图
应力圆（O.Mohr圆）
主单元体图
[习题7-8（b）]
解：坐标面应力：X（-140，-80）；Y（0，80）。根据以上数据作出如图所示的应
力圆。图中比例尺为1cm代表40MPa。按比例尺量得斜面的应力为：
0?1?36.0MPa,?2?0MPa，?3??176MPa；?0?65.6。
单元体图
应力圆（O.Mohr圆）
主单元体图
[习题7-8（c）]
解：坐标面应力：X（-20，-10）；Y（-50，10）。根据以上数据作出如图所示的应
力圆。图中比例尺为1cm代表10MPa。按比例尺量得斜面的应力为：
0?1?0MPa,?2??16.25MPa，?3??53.75MPa；?0?16.1。
单元体图
[习题7-8（d）]
应力圆（O.Mohr圆）
主单元体图
解：坐标面应力：X（80，30）；Y（160，-30）。根据以上数据作出如图所示的应
力圆。图中比例尺为1cm代表20MPa。按比例尺量得斜面的应力为：
0?1?170MPa,?2?70MPa，?3?0MPa；?0??71.6。
单元体图
应力圆（O.Mohr圆）
主单元体图
[习题7-12] 一焊接钢板梁的尺寸及受力情况如图所示，梁的自重略去不计。试示m?m上
a,b,c三点处的主应力。
解：（1）求
Iz?点的主应力
?12IzymaxMWz?1bh3?112?120?2203?112?110?200?3314666.76(mm)
34 Wz??33146666.71106?301333.3336(mm)
3 ?a?160?0.4?10N?mm301333.3336mm3?212.390MPa
因a点处于单向拉伸状态，故?1????212.39MPa，?2??3?0。 （2）求b点的主应力 ?b?MyIz?160?0.4?10N?mm?100mm33146666.7mm36?193.081MPa
在m?m的左邻截面上，Q?160kNQS*z3
3 ?b?Izd?160?10N?(120?10)?105mm33146666.7mm4?10mm?60.821MPa
即坐标面应力为X（193.081,60.821）,Y(0,-60.821). ?1???z??2y?1212(?x??y)?4?x
222193.0812?193.081?4?60.8212?210.64MPa
?2?0
?3???z??2y?121(?x??y)?4?x
222193.08122（3）求c点的主应力
?193.081?4?60.8212??17.56MPa
?c?0 ?c?QS*zIzd?160?10N?(120?10?105?10?100?50)mm33146666.7mm433?10mm?84.956MPa
即坐标面应力为X（0,84.956）,Y(0,-84.956). ?1???z??212y?12(?2x??y)?4?x
224?84.956?84.956MPa
?2?0
?3???12?z??22y?12(?x??y)?4?x
224?84.956??84.956MPa
