一、 子弹大木块
【例2】如图所示，质量为M的木块固定在光滑的水平面上，有一质量为m的子弹以初速度v0水平射向木块，并能射穿，设木块的厚度为d，木块给子弹的平均阻力恒为f.若木块可以在光滑的水平面上自由滑动，子弹以同样的初速度水平射向静止的木块，假设木块给子弹的阻力与前一情况一样，试问在此情况下要射穿该木块，子弹的初动能应满足什么条件？
【解析】若木块在光滑水平面上能自由滑动，此时子弹若能恰好打穿木块，那么子弹穿出木块时(子弹看为质点)，子弹和木块具有相同的速度，把此时的速度记为v，把子弹和木块当做一个系统，在它们作用前后系统的动量守恒，即
mv0＝(m＋M)v 对系统应用动能定理得
121fd＝mv0－(M＋m)v2
22由上面两式消去v可得 121mv02fd＝mv0－(m＋M)()
22m＋M
m＋M1
整理得mv2＝fd
20M1m即mv20＝(1＋)fd 2M
1据上式可知，E0＝mv2就是子弹恰好打穿木块所必须具有的初动能，也就是说，子弹恰
20
能打穿木块所必须具有的初动能与子弹受到的平均阻力f和木块的厚度d(或者说与f·d)有关，还跟两者质量的比值有关，在上述情况下要使子弹打穿木块，则子弹具有的初动能E0
m
必须大于(1＋)f·d.
M
72、如图所示，静止在光滑水平面上的木块，质量为、长度为。—颗质量为的
子弹从木块的左端打进。设子弹在打穿木块的过程中受到大小恒为好从木块的右端打出，则子弹的初速度
的阻力，要使子弹刚
应等于多大？涉及子弹打木块的临界问题
分析：取子弹和木块为研究对象，它们所受到的合外力等于零，故总动量守恒。由动量守恒定律得：
①
②
要使子弹刚好从木块右端打出，则必须满足如下的临界条件：
根据功能关系得：③
解以上三式得：
二、 板块
1、 如图1所示，一个长为L、质量为M的长方形木块，静止在光滑水平面上，一个质量为m的物块（可视为质点），以水平初速度v0从木块的左端滑向右端，设物块与木块间的动摩擦因数为?，当物块与木块达到相对静止时，物块仍在长木块上，求系统机械能转化成内能的量Q。
图1
解析：可先根据动量守恒定律求出m和M的共同速度，再根据动能定理或能量守恒求出转化为内能的量Q。
对物块，滑动摩擦力Ff做负功，由动能定理得：
?Ff(d?s)?1212mvt?mv0 22即Ff对物块做负功，使物块动能减少。
对木块，滑动摩擦力Ff对木块做正功，由动能定理得Ffs?功，使木块动能增加，系统减少的机械能为：
1Mv2，即Ff对木块做正212121mv0?mvt?Mv2?Ff(d?s)?Ffs?Ffd222?1?
本题中Ff??mg，物块与木块相对静止时，vt?v，则上式可简化为：
?mgd?121mv0?(m?M)vt222?2?
又以物块、木块为系统，系统在水平方向不受外力，动量守恒，则：
mv0?(m?M)vt联立式<2>、<3>得：
2Mv0 d?2?g(M?m)?3?
故系统机械能转化为内能的量为：
22Mv0Mmv0 Q?Ffd??mg??2?g(M?m)2(M?m)
【例10】如图所示，—质量为M、长为l的长方形木板B放在光滑的水平地面上，在其右端放一质量为m的小木块A，m＜M．现以地面为参照系给A和B以大小相等、方向相反的初速度(如图)，使A开始向左运动、B开始向右运动，但最后A刚好没有滑离B板．以地面为参照系，
(1)若已知A和B的初速度大小为
，求它们最后的速度的大小和方向．
(2)若初速度的大小未知，求小木块A向左运动到达的最远处(从地面上看)离出发点的距离．
【分析与解】(1)A刚好没有滑离B板，表示当A滑到B板的最左端时，A、B具有相同的速度.设此速度为V，根据m＜M，可知 即向右．A和B的初速度的大小为
，判断出V的方向应与B板初速度同向，
，则由动量守恒可得：
解得：
方向向右
(2)本题应着重理解物理过程的定性分析方法，在此基础上形成正确的物理图景．注意以下说理分析：A在B板的右端时初速度向左，而到达B板左端时的末速度向右，若以地面为参考，可见A在运动过程中必经历先向左受摩擦力作用而作减速运动，直到相对地面速度为零的阶段，而后经历因B板速度方向向右，A相对B板向左，故A所摩擦力方向向右，A向右作初速度为零的加速运动直到有共同速度为
的阶段，如下图所示．在前一阶段，摩
为A开始运动到
擦力阻碍A向左运动，在后一阶段，摩擦力为动力，使A向右加速．设
速度变为零过程中向左运动的过程， 为A从速度为零增加到速度
过程中向右运动的路
程，L为A从开始运动到刚到达B的最左端的过程中B运动的路程．设A与B之间的滑动摩擦力为
，则由功能关系可知：
对于B:
对于A:
由几何关系
由以上四式解得
三、 弹簧
11．(8分)如图2所示，质量M＝4 kg的滑板B静止放在光滑水平面上，其右端固定一根轻质弹簧，弹簧的自由端C到滑板左端的距离L＝0.5 m，这段滑板与木块A(可视为质点)之间的动摩擦因数μ＝0.2，而弹簧自由端C到弹簧固定端D所对应的滑板上表面光滑．小木块
A以速度v0＝10 m/s由滑板B左端开始沿滑板B表面向右运动．已知木块A的质量m＝1 kg，g取10 m/s2.求：
(1)弹簧被压缩到最短时木块A的速度 ； 2 m/s (2)木块A压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能． 39 J
★ 4、（09·山东·38）（2）如图所示，光滑水平面轨道上有三个木块，A、B、C，质量分别为mB=mc=2m,mA=m，A、B用细绳连接，中间有一压缩的弹簧 (弹簧与滑块不栓接)。开始时A、B以共同速度v0运动，C静止。某时刻细绳突然断开，A、B被弹开，然后B又与C发生碰撞并粘在一起，最终三滑块速度恰好相同。求B与C碰撞前B的速度。
解析：（2）设共同速度为v，球A和B分开后，B的速度为vB,
由动量守恒定律有(mA?mB)v0?mAv?mBvB,mBvB?(mB?mC)v,联立这两式得B和C碰撞前B的速度为vB?
例2. 在原子核物理中，研究核子与核子关联的最有效途径是“双电荷交换反应”。这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似，两个小球A和B用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态，在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P，右边有一小球C沿轨道以速度v0射向B球，如图1所示，C与B发生碰撞并立即结成一个整体D，在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变，然后，A球与挡板P发生碰撞，碰后A、D都静止不动，A与P接触而不粘连，过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除锁定均无机械能损失），已知A、B、C三球的质量均为m。
v0
9v0。 5
图1
（1）求弹簧长度刚被锁定后A球的速度。
（2）求在A球离开挡板P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。
解析：（1）设C球与B球粘结成D时，D的速度为v1，由动量守恒得mv0?(m?m)v1当弹簧压至最短时，D与A的速度相等，设此速度为v2，由动量守恒得2mv1?3mv2，由以上两式求得A的速度v2?1v0。 3（2）设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为EP，由能量守恒，有
112?2mv12??3mv2?EP撞击P后，A与D的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到2212自然长度时，势能全部转弯成D的动能，设D的速度为v3，则有EP?(2m)?v3
2以后弹簧伸长，A球离开挡板P，并获得速度，当A、D的速度相等时，弹簧伸至最长，设此时的速度为v4，由动量守恒得2mv3?3mv4
当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为EP'，由能量守恒，有
111222?2mv3??3mv4?EP'解以上各式得EP'?mv0。 2236
例4. 用轻弹簧相连的质量均为2kg的A、B两物块都以v?6m/s的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，质量为4kg的物体C静止在前方，如图3所示，B与C碰撞后二者粘在一起运动。求：在以后的运动中，
图3
（1）当弹簧的弹性势能最大时物体A的速度多大？ （2）弹性势能的最大值是多大？ （3）A的速度有可能向左吗？为什么？
解析：（1）当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大，由于A、B、C三者组成的系统动量守恒，有
(mA?mB)v?(mA?mB?mC)vA
解得：vA?3m/s
（2）B、C碰撞时B、C组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B、C两者速度为v'，则
mBv?(mB?mC)v'，v'?2m/s
设物块A速度为vA时弹簧的弹性势能最大为EP，根据能量守恒
EP?1112(mB?mC)v'2?mAv2?(mA?mB?mC)vA?12J 222（3）由系统动量守恒得
mAv?mBv?mAvA?(mB?mC)vB
设A的速度方向向左，vA?0，则vB?4m/s 则作用后A、B、C动能之和
Ek?1122mAvA?(mB?mC)vB?48J 22实际上系统的机械能
12E'?EP?(mA?mB?mC)vA?48J
2根据能量守恒定律，Ek?E'是不可能的。故A不可能向左运动。
四、 曲面与摆球
1
(1)(a)图中B是半径为R的圆弧轨道，A、B最初均处于静止状态，现让A自由下滑，
4求A滑离B时A和B的速度大小之比.
1
(2)(b)图中B也是半径为R的圆弧轨道，初态时B静止不动，滑块A以速度v0沿轨道
4
上滑，若滑块已滑出轨道B，求滑出时B的速度大小.
(3)(c)图中B为一半径为R的半圆形轨道，开始时B静止不动，滑块A以一初速度v0
使其沿轨道下滑，若A能从轨道的另一端滑出，求滑出时B的速度为多大？
(4)(d)图中小球来回摆动，求小球摆至最低点时A、B速度大小之比.
【答案】(1)vA∶vB＝M∶m (2)vB＝(4)vA∶vB＝M∶m
【拓展2】如图所示，一不可伸长的轻质细绳，静止地悬挂着质量为M的木块，一质量为m的子弹，以水平速度v0击中木块，已知M＝9m，不计空气阻力.问：
(1)如果子弹击中木块后未穿出(子弹进入木块时间极短)，在木块上升的最高点比悬点O低的情况下，木块能上升的最大高度是多少？(设重力加速度为g)
v0(2)如果子弹以水平速度v0击中木块，在极短时间内又以水平速度穿出木块，
4
则在这一过程中子弹、木块系统损失的机械能是多少？
【解析】(1)因为子弹与木块作用时间极短，子弹与木块间的相互作用力远大于它们的重力，所以子弹与木块组成的系统水平方向动量守恒，设子弹与木块开始上升时的速度为v1，则mv0＝(m＋M)v1
1
因不计空气阻力，所以系统上升过程中机械能守恒，设木块上升的最大高度为h，则(m＋
2
mv0 (3)vB＝0 M＋m
M)v21＝(m＋M)gh
v20h＝ 200g
(2)子弹射穿木块前后，子弹与木块组成的系统水平方向动量守恒，设子弹穿出时木块速度为v2，
v0则mv0＝m()＋Mv2，在这一过程中子弹、木块系统损失的机械能为
411v021272
ΔE＝mv2mv 0－m()－Mv2＝2242160
【例4】光滑的水平面上有A、B两辆小车，mB＝1 kg，原来静止.小车A连同支架的质量为mA＝1 kg，现将小球C用长为L＝0.2 m的细线悬于支架顶端，mC＝0.5 kg.开始时A车与C球以v0＝4 m/s的共同速度冲向B车，如图所示.若A、B发生正碰后粘在一起，不计空气阻力，取g＝10 m/s2.试求细线所受的最大拉力.
【正解】小车A与小车B相碰的瞬间，C的速度保持v0不变，A、B组成的系统动量守恒：
mAv0＝(mA＋mB)vAB
mAv01×4
解得vAB＝＝ m/s＝2 m/s
mA＋mB1＋1方向与v0相同.
A、B结合成整体的瞬间，C的速度仍为v0，所以C相对于A、B整体的相对速度为v相
＝v0－vAB＝2 m/s
A、B碰后，C2相对于悬点做圆周运动，在最低点时绳子的拉力最大，由牛顿第二定律
mCv相
可得F－mCg＝，即
L2mCv相0.5×22
F＝mCg＋＝(0.5×10) N＋ N＝15 N
L0.2
4、（2012新课标）（2）（9分）如图，小球a、b用等长细线悬挂于同一固定点O。让球a静止下垂，将球b向右拉起，使细线水平。从静止释放球b，两球碰后粘在一起向左摆动，此后细线与竖直方向之间的最大偏角为60°。忽略空气阻力，求 （i）两球a、b的质量之比；
（ii）两球在碰撞过程中损失的机械能与球b在碰前的最大动能之比。
O b a
解：（i）设球b的质量为m2，细线长为L，球b下落至最低点，但未与球a相碰时的速度为v，由机械能守恒定律得m2gL?1m2v2 ① 2式中g是重力加速度的大小。设球a的质量为m1；在两球碰后的瞬间，两球共同速度为v′，以向左为正。有动量守恒定律得 m2v?(m1?m2)v?②
设两球共同向左运动到最高处，细线与竖直方向的夹角为θ，由机械能守恒定律得
1(m1?m2)v?2?(m1?m2)gL(1?cos?)③ 2联立①②③式得
m11??1 m21?cos?代入数据得
m1?2?1 m2（ii）两球在碰撞过程中的机械能损失是 Q?m?(2gL联立①⑥式，Q与碰前球b的最大动能Ek（Ek=
m1?m2)g(L1?c?os )1m2v2）之比为 2m?m2Q?1?1(1?cos?)⑦ Ekm2联立⑤⑦式，并代入题给数据得
Q2 ⑧ ?1?Ek270、如图5所示，甲、乙两完全一样的小车，质量均为的小球，当乙车静止时，甲车以速度
，乙车内用细绳吊一质量为
与乙车相碰，碰后连为一体，当小球摆到最高点时，
甲车和小球的速度各为多大？涉及摆的临界问题
分析：甲车与乙车发生碰撞，由于碰撞时间很短，当甲、乙两车碰后速度相等时，乙车发生的位移可略去不计，这样，小球并未参与碰撞作用，取甲、乙两车为研究对象，运用动量守恒定律得：
①接着，甲、乙两车合为一体并通过绳子与小球发生作用，车将
向右做减速运动，小球将向右做加速运动并上摆。当小球和车的速度相同时，小球到达最高
点。对两车和小球应用动量守恒定律得：②
解以上①②两式得：
例3、. 如图所示，光滑水平面上质量为m1=2kg的物块以v0=2m/s的初速冲向质量为m2=6kg静 止的光滑圆弧面斜劈体。求：
（1）物块m1滑到最高点位置时，二者的速度； （2）物块m1从圆弧面滑下后，二者速度；
（3）若m1= m2物块m1从圆弧面滑下后，二者速度; (1) 0.5m/s； （2）-1m/s; 1m/s; (3) 0; 2m/s;
m1 v0 m2
