17． （1）因为a?b?2，所以a?b?4，即a?2a?b?b?4，…… 2分
2224?a?b3?m2?又a?1，b?m，所以a?b?．…… 3分 22由a?2b?3，所以a?2b?9，即a?4a?b?4b?9，
222223?m2所以1?4??4m2?9，解得m??1，…… 6分
2又b?m≥0，所以m?1．…… 7分
3?m2（2）因为a?1，b?m，a?b?，
23?m2所以a?b?a?2a?b?b?1?2??m2?2m2?2，a?b?2m2?2．…… 9分
2222又因为a?b与a?b的夹角为
即a?b?a?b?a?b?cos222π2π，所以a?b?a?b?a?b?a?b?cos，
33????2π2π，所以1?m2?2?2m2?2?cos，解得m??3，… 13分 33又b?m≥0，所以m?3．……14分
18． （1）过点P作PD⊥AC，垂足为D，连结PA． 在Rt△MAN中，sin??NANA，故NA?2sin?，……1分 ?MN2PDPDNDND，cos??， ??PN1PN1C D P 在Rt△PND中，?PND??，sin??故PD?sin?，ND?cos?．……3分 在Rt△PDA中，PA?PD2?AD2，
N ?PD2??AN?NC??sin?2??2sin??cos??，
22所以l????sin?2??2sin??cos??，……6分 π函数l???的定义域为0，．……8分
22A θ M （第18题图）
B ??（2）由（1）可知，l????sin?2??2sin??cos??，
即l????sin?2?4sin2??4sin?cos??cos2??4sin?2?4sin?cos??1 ?4?1?cos2?π?2sin2??1?2sin2??2cos2??3?22sin2???3．……11分 242??ππππ3πππ3π又??0，，故2????，，所以当2???，即??时，sin2??取最大值1，
42444428
6
??????l???max?22?3?1?2．……14分
答：当??3π时，l???有最大值，最大值为1?2．……16分 8219． （1）因为t?sinx?cosx，故t2??sinx?cosx??sin2x?cos2x?2sinxcosx?1?2sinxcosx，
所以sinxcosx?t2?12．……2分
??4sinxcosx?mt?4?t2所以f?x??m?sinx?cosx?12??2t2?mt?2．
所以g?t???2t2?mt?2．……3分 由于t?sinx?cosx?2sin?x?π4?，x????0，π?2??， 所以x?π4??π?4，3π?4??，sin?x?π4????2，1??π?2?，所以t?2sin?x????1，2?．……?4??5分
（2）因为关于x的不等式f?x?≥0对所有的x???π??0，2??恒成立，
据（1）可知f?x??g?t?，x???π??0，2??，t???1，2??， 所以g?t???2t2?mt?2≥0对所有的t???1，2??恒成立，……6分
?所以?g?1?≥0，?解得m≥2．所以实数m的取值范围是2，+?．……10分 ??g?2?≥0，???（3）因为关于x的方程f?x??2m?4?0在??π??0，2??上有实数解，
据（1）可知f?x??g?t?，x????0，π?2??，t???1，2??， 所以关于t的方程?2t2?mt?2?2m?4?0在t???1，2??上有实数解， 即关于t的方程2t2?mt?2m?6?0在t???1，2??上有实数解，……11分
所以??m2?16?m?3?≥0，即m≤4或m≥12． 令h?t??2t2?mt?2m?6，开口向上，对称轴t?m4， ①当m≥12时，对称轴t?m4≥3，函数h?t?在??1，2??上单调递减， ??h?1?≥0，故???h?2?≤0，解得m不存在．……13分
7
②当m≤4时，对称轴t?m4≤1，函数h?t?在??1，2??上单调递增， ??h?1?≤0，故???解得2?2≤m≤4．……??h2≥0，15分
综上所述，实数m的取值范围是??2?2，4??．……16分 20． （1）【证明】设x1，x?22是区间0，2?上的任意两个实数，且x1?x2． 则f?x11??f?x2???2x1?x???2x1??x?112??2?x12??x?? 1x21x2?2?xx2?x1??x??2?1??1?x2??2x1x2?1?1?x2???xx1?x2， 1x2x1x2x1x2因为0?x1?x2?22，所以x11?x2?0，0?x1x2?2，故2x1x2?1?0， 所以f?x1??f?x2??0，即f?x1??f?x2?．所以函数f?x?在?0，22?上单调递减．……4分函数f?x?的单调递增区间为
?22，???．……5分 （2）【解】①当a?4时，4x?2?4x?3，
（ⅰ）当x≥0时，4x?2?4x?3，即4x?1，所以x?0．……6分
（ⅱ）当x?0时，4?x?2?4x?3，即2??4x?2?3?4x?1?0，解得4x?1或4x?12． 所以x??12或0（舍去）．……8分
综上所述，方程g?x??3的解为x?0或x??12．……9分
②（ⅰ）当x≥0时，g?x??3ax，其中a?1，
所以g?x?在?0，???上单调递增，g?x?min?g?0??3， 所以g?x?在?0，???上的值域为?3，???．……10分 （ⅱ）当x???1，0?时，g?x??a?x?2ax，其中a?1， 令t?ax，则t??1??a，1?，g?x??2t?1t?f?t?．
（ⅰ）若1?a≤2，则12a≥2，
据（1）可知，f?t??2t?11t在???a，1?上单调递增，
8
所以f?1a?≤f?t??f?1?，且f?1a??a?2a，f?1??3， 此时，g?x?在??1，0?上的值域为?2??a?a，3?．……11分
（ⅱ）若a?2，则12a?2， 据（1）可知，f?t??2t?112??2t在???a，2上单调递减，在
2，1?上单调递增，
所以f?t??2min?f2??22，又f?1a??a?2a，f?1??3， 当f?1?≥f?1?时，g?x?在??1，0?上的值域为?2?a??22，a?a??；
当f?1a??f?1?时，g?x?在??1，0?上的值域为??22，3?，……14分
综上所述，当1?a≤2时，函数g?x?在??1，???上的值域为???a?2a，???；
当a?2时，函数g?x?在??1，???上的值域为??22，???．……16分
9
江苏省如皋市2016-2017学年高一数学上学期期末考试试题（扫描版）
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2
3
4
2016～2017学年度高一年级第一学期期末调研测试
数学试题 参 考 答 案 及 评 分 标 准
一 填空题：本小题共14题，每小题5分，共70分．请把答案直接写在答题卡相应位置上．
3π5π70?4．4，5．1．?2?2．3，3．???，6．?7．8．1，9．10． 3，
， ，4， 2， 6，9，5 11．，12．?0，1?3??2?13．π，14．??，? ?1，，162??11二 解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时写出文字说明、证明
过程或演算步骤．
?x?1?0，15．（1）由f?x??lg?x?1??2?x可得，?解得1?x≤2，故A??x1?x≤2?；… 2分
?2?x≥0，若a?33335，则y?2x?a?2x?，当x≤0时，0?2x≤1，?2x?≤， 22222?35?故B??y?y≤?； …… 5分
2??2所以A?5?B??x1?x≤?． …… 7分
2??（2）当x≤0时，0?2x≤1，a?2x?a≤a?1，故B??ya?y≤a?1?， …… 9分
因为AB??，A??x1?x≤2?，所以a≥2或a?1≤1， …… 12分
即a≥2或a≤0，所以实数a的取值范围为a≤0或a≥2． …… 14分
16． （1）据函数y?f?x?的解析式及其图象可知A?2， …… 2分
12ππ且T????π，其中T为函数y?f?x?的最小正周期，故T?2π， …… 4分 233??所以
2π??2π，解得??1，所以f?x??2sinx??π． …… 6分 6?（2）由f????π255ππ25?，可知2sin???，即sin??， ?655665???π5因为??0，，所以cos??1?sin2??1?25?????2?25． …… 8分 5由f??2π3102ππ310π310????，可知2sin??，即sin??， 35365210????π310310故cos??，因为??0，，所以sin??1?cos2??1?10210????2?10，……10分 10于是cos??????cos?cos??sin?sin??253105102????．…… 12分 5105102ππ因为?，??0，，所以?????0，π?，所以????．…… 14分
42
5
??
