2015年高考泄露天机
数学
一、选择题
1.(文)已知集合A?{?1,2}，B?x?Z0?x?2，则A??B=（ ）
（A）{0} （B）{2} （C）{0,1,2} （D）?
1，2?知A1.B由B?x?Z0?x?2?B??0，（理）若集合A?{xx?0}，且A??B??2?.
B?B，则集合B可能是（ ）
（A）?1,2? （B）{xx?1} （C）{?1,0,1} （D） R 1.A 由AB?B知B?A,故选A.
z1z2等于（ ） i2.已知复数z1?1?i,z2?1?i，则
（A）2i （B）?2i （C）2?i （D）?2?i
z1?z2(1?i)(1?i)1?i22?????2i. 2.B iiiix3.已知命题p:?x?R，x?2?lgx，命题q:?x?R，e?1，则（ ）
（A）命题p?q是假命题 （B）命题p?q是真命题 （C）命题p???q?是真命题 （D）命题p???q?是假命题
x3.D 因为命题p:?x?R，x?2?lgx是真命题，而命题q:?x?R，e?1，由复合命
题的真值表可知命题p???q?是真命题.
4.已知?2,a1,a2,?8成等差数列，?2,b1,b2,b3,?8成等比数列，则
a2?a1等于（ ） b2（A）
11111 （B） （C）? （D）或? 42222?8?(?2)??2.又?2,b1,b2,b3,?83成等比数列，所以b22??8?(?2)?16,b2?4（舍去），b2??4，所以a2?a1?21??. b2?424.B 因为?2,a1,a2,?8成等差数列，所以a2?a1?5.已知log1a?log1b，则下列不等式一定成立的是（ ）
221111（A）()a?()b （B）? （C）ln(a?b)?0 （D）3a?b?1
ab431115.A由log1a?log1b得，a?b?0，所以()a?()b?()b.
443226.已知m,n是两条不同直线，?,?,?是三个不同平面，下列命题中正确的为 ( ) （A）若???,???,则?∥? （B）若m??,n??,则m∥n （C）若m∥?,n∥?，则m∥n （D）若m∥?,m∥?,则?∥?
6.B A中?,?可以是任意关系；B正确；C中m,n平行于同一平面，其位置关系可以为
任意．D中平行于同一直线的平面可以相交或者平行． 7.（文）“x?0”是“ln(x?1)?0”的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
7.B ∵ln(x?1)?0??1?x?0，∴“x?0”是“ln(x?1)?0”的必要不充分条件．
（0，+?）（理）已知m?R，“函数y?2x?m?1有零点”是“函数y?logmx在上为减
函数”的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
x7.B函数y?2?m?1有零点时，m?1?0,m?1，不满足0?m?1，所以“函数
（0，+?）（0，+?）上为减函数”不成立；反之，如果“函数y?logmx在上y?logmx在
为减函数”，则有0?m?1，m?1?0,所以，“函数y?2?m?1有零点”成立，故选
B.
x?x??)（其中|?|?8.函数f(x)?sin(?2）的图象如图所示，为了得到y?sin?x的图
象，只需把y?f(x)的图象上所有点（ ）
（A）向左平移
??个单位长度 （B）向右平移个单位长度
126（C）向右平移
??个单位长度 （D）向左平移个单位长度
1268.C由图可知
?T7??2?2??)?，0结合???T?? 则???2 ，又sin(?34123??3 ，即f(x)?sin(2x?|?|??2可知???3)，为了得到y?sin2x的图象，只需把
???????y?f(x)?sin(2x?)?sin?2?x???的图象上所有点向右平移个单位长度.
636????9.某工厂对一批新产品的长度（单位：mm）进行检测，如图是检测结果的频率分布直方
图，据此估计这批产品的中位数为（ ）
（A）20 （B）25 （C）22.5 （D）22.75
9.C产品的中位数出现在概率是0.5的地方．自左至右各小矩形面积依次为0.1,0.2,0.4,设中位数是x，则由0.1?0.2?0.08?(x?20)?0.5得，x?22.5．
x2y210. 如图，F1、F2分别是双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点，以坐标原点O为
ab圆心，OF1为半径的圆与该双曲线左支交于A、B两点，若?F2AB是等边三角形，则双
曲线的离心率为 （ ）
（A）3 （B）2 （C）3?1 （D）3?1
10.D 依题AF2?3AF1?1F2?2AF1，所以2a?AF2?AF1，2c?F?3?1AF1，
?e?c?a?2AF13?1AF1??3?1.
11.如图，在6?6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a,b,c满足
c?xa?y,b(,x?y，则)Rx?y?（ ）
（A）0 （B） 1 （C）55 （D）13 5，4由(3, 11.D 设方格边长为单位长1.在直角坐标系内，a?(1,2),b?(2,?1),c?得，(3,4)?x(1,2)?y(2,?1),(3,4)?(x?2y,2x?y), c?xa?yb,(x,y?R)11?x???x?2y?313?5所以?，解得?，所以，x?y?，选D.
252x?y?4??y??5?12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）
（A）
256 （B） （C） （D）3
22212.B 由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，平面AED?平面BCDE，四棱锥的
高为1，四边形BCD是边长为1的正方形，则
151112. SAED??1?1?,SABC?SABE??1?2?,SACD??1?5?222222
13.(文) 在区间[?π,π]内随机取两个数分别记为a,b，则使得函数f(x)?x2?2ax?b2??2 有零点的概率为（ ） （A）
7 8（B）
3 4（C）
1 2（D）
1 413.B若使函数有零点，必须??(2a)2?4(?b2??2)?0，即a2?b2??2．在坐标轴上将a,b的取值范围标出，如图所示当a,b满足函数有零点时，坐标位于正方形内圆外的部
?23分，因此概率为1?2?．
4?4b2?2?-2?-?O-2??a
2（理）(x?1?2)3展开式中的常数项为（ ） 2x（A）-8 （B）-12 （C）-20 （D）20
213.C ∵(x?1161r3r6?r?2)?(x?)T?Cx(?)?C6r(?1)rx6?2r， ，∴r?162xxx3令6?2r?0，即r?3，∴常数项为C6(?1)3??20.
14. 若程序框图如图示，则该程序运行后输出k的值是（ ）
（A）5 （B）6 （C）7 （D）8
k?114.A 第一次循环运算：n?3?5?16,；第二次：n?n?16?8,k?2；第三次：2842?4,k?3；第四次：n??2,k?4；第五次：n??1,k?5，这时符合条件222输出k?5.
15.已知{an}是首项为32的等比数列，Sn是其前
n项和，且
S665?,则数列S364{|log2an|} 前10项和为（ ）
（A）58 （B）56 （C）50 （D）45 15.A 根据题意
11S6-S31==q3，所以q=，从而有an=32?n-144S36427-2n，所以
log2an=7-2n，所以有log2an=2n-7，所以数列的前10项和等于
2(5+1)2(1+13)5+3+1+1+3+5+7+9+11+13=+=58.
2216.若G是?ABC的重心，a，b，c分别是角A,B,C的对边，若
aG??bG??3cGC?0，则角A?（ ） 3（A）90 （B）60 （C）45 （D）30 16.D 由于G是?ABC的重心，?GA?GB?GC?0，?GC??GB?GA，代入得
??aGA?bGB??a?b???3c?3c?3ca?GA?b?GB?0，GA?GB?0，整理得????????3?3?3????3c 322?3??3?2c?c?c????2223?b?c?a?3??3，因此A?300.
???cosA?2bc232cc317.(文)函数f?x??sinx的图象大致为（ ） 2x?1
17.A
函数f?x?定义域为R,又
f??x??sin??x???x?2?1??sinx??f?x?,?函数f?x?x2?1为奇函数.其图像关于原点对称.故排除C、D，又当0?x?π时，sinx?0,所以f(x)?0可排除B，故A正确.
（理）如图所示, 医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后x分钟, 瓶内液面与进气管的距离为h厘米，已知当x?0时，h?13．如果瓶内的药液恰好156分钟滴完． 则函数h?f(x)的图像为（ ）
17.C由题意得，每分钟滴下药液的体积为?cm 当4?h?13时，x????4?(13?h),即h?13?23x,此时0?x?144； 16当1?h?4时，x????42?9???22?(4?h),即h?40?x,此时144?x?156 4所以，函数在?0,156?上单调递减，且144?x?156时，递减的速度变快，所以应选（C） 18 已知抛物线C：y?8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C 的一个交点，若PF?3QF，则QF=（ ） （A）
258 （B） （C） 3 （D） 6 23218.B 如下图所示，抛物线C：y?8x的焦点为F?2,0?，准线为l:x??2，准线与x轴的交点为N??2,0? ，|FN|?4
过点Q 作准线的垂线，垂足为M，由抛物线的定义知|QM|?|QF|
又因为PF?3QF，所以，|PQ|?2|QF|?2|QM| 所以，
QMFN?PQ28?QM??4? PF338 3所以，QF?QM??x?y?22?0,??19.已知不等式组?x?22,表示平面区域?,过区域?中的任意一个点P,作圆
???y?22x2?y2?1的两条切线且切点分别为A,B,当?APB最大时, PA?PB的值为（ ）
（A）2 （B）
35 （C） （D）3 2219.B 如图所示，画出平面区域?，当?APB最大时，?APO最大，故
AO1?最大，故OP最小即可，其最小值为点O到直线x?y?22?0OPOP1?2?AP60?O0，且的距离d?2，故sin?APO?，此时?APB23，故PA?P?B41??3PA?PB?PA?PBcos?APB?．
2sin?APO?432yA–4–3–2–1P12341O–1–2–3–4xB
20.设函数f(x)在R上存在导数f?(x)，?x?R，有f(?x)?f(x)?x，在(0,??)上f?(x)?x，若f(4?m)?f(m)?8?4m，则实数m的取值范围为（ ）
（A） [?2,2] （B） [2,??) （C） [0,??) （D）(??,?2][2,??)
220.B 设g?x??f?x??12x 22因为对任意x?R,f??x??f?x??x ， 所以，g??x??g?x??f??x??所以，函数g?x??f?x??112??x??f?x??x2=f??x??f?x??x2?0 2212x为奇函数； 2又因为，在(0,??)上f?(x)?x，
所以，当时x?0 ，g??x??f??x??x?0 即函数g?x??f?x??12x在(0,??)上为减函数， 212x为奇函数且在R上存在导数， 212x在R上为减函数， 2因为函数g?x??f?x??所以函数g?x??f?x??所以，g?4?m??g?m??f?4?m??112?4?m??f?m??m2 22?f?4?m??f?m???8?4m??0
所以，g?4?m??g?m??4?m?m?m?2 所以，实数m的取值范围为[2,??). 二、填空题
21.（文）已知直线3x?4y?3?0，6x?my?14?0平行，则m? ． 21.8 由题意得6?m,m?8.
34（理）已知直线3x?4y?3?0，6x?my?14?0平行，则它们之间的距离是 ． 21. 2 由题意得6?m,m?8，即6x?8y?14?0?3x?4y?7?0，所以它们之间的距离
34|7?(?3)|?2 是223?422. 执行如图所示的程序框图，如果输入?2，那么输出的结果是 ．
开始 输入x 是 x?0 否 y?2log2x y?3?x?1 输出y 结束
??222.10 若输入?2 ，则x?0不成立，所以y?3???1?32?1?10，所以输出的值为10．
23.（文）采用系统抽样方法从600人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为001,002,,600，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003，抽到的50人中，编号落入区间[001,300]的人做问卷A,编号落入区间[301,495]的人做问卷B,编号落入区间[496,600]的人做问卷C,则抽到的人中，做问卷C的人数为 ．
600?12，抽到的号码构成以3为首项，以12为公差的等差数列，因此得等50,600?的人做问卷C满足差数列的通项公式为an?a1??n?1?d?12n?9，落在区间?49619496?12n?9?600，得42?n?50，由于n是正整数，因此43?n?50，人数
121223.8 由于为8人.
（理）2014年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席
会议的有21个国家和地区的领导人或代表．其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有 种（用排列组合表示）．
21823. A2A18 先安排美俄两国领导人：中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人
站在与中国领导人相邻的两侧，所以美俄两国领导人的安排有A2种不同方法；再安排其余
18218人员，有A18种不同方法；所以，共有A2A18种不同方法.
224.函数f(x)?lg(a?2)为奇函数，则实数a? . 1?x2)为奇函数，所以f??x???f?x?， 1?x24.-1 因为函数f(x)?lg(a?即lg(a?2221 )??lg(a?)?a??1?x1?x1?xa?21?x?a?21?x??1?x2?(a?2)2?a2x2?a??1 1?xa(1?x)?225.已知正实数x,y,z满足2x?x????11?1??1????yz，则?x???x??的最小值为 . yz?y??z??25.2 由题知2x?x???xxyz11?于是可将给定代数式 ???yz即x2???yz2yz?化简得?x???1??1?xx1yz1yz12x??x??????2?2 ???y??z?yzyz2yz2yz当且仅当yz?2时取等号.
26. 如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从M点测得A点的俯角?NMA?30,C点的仰角?CAB?45?以及?MAC?75?；从C点测得
?MCA?60?已知山高BC?200m，则山高MN? m．
?
26.300 在?ABC中,
?BAC?45?,?ABC?90?,BC?200
?AC?200?2002，在?AMC中，?MAC?75?,?MCA?60?,
sin45?AMACAM1002?,即?,
sin?ACMsin?AMCsin60?sin45? ??AMC?45?,由正弦定理可得解得AM?2003, 在Rt?AMN中MN?AM?sin?MAN?2003?sin60??300(m)．
27.（文）如下图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，
3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列?an?（n???）的前12项，如下表所示：
按如此规律下去，则a2013?a2014?a2015? ．
27. 1007 a1?1，a2?1，a3??1，a4?2，a5?2，a6?3，a7??2，
?2,3,?3,偶数项为1,2,3,，故a8?4， ，这个数列的规律是奇数项为1,?1,2,a2013?a201?50，a2014?1007，故a2013?a2014?a2015?1007．
（理）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,，第
n(n?1)121?n?n.记第n个k边形数为N?n,k?（k?3），以下列出222了部分k边形数中第n个数的表达式：
n个三角形数为
三角形数 N?n,3??五边形数 N?n,5??121n?n 正方形数 N?n,4??n2 22321n?n 六边形数 N?n,6??2n2?n 22可以推测N?n,k?的表达式，由此计算N?10,24?? . 7.1000 N?n,3??1?2?3??n?121n?n， 22，
N?n,4??1?3?5?N?n,5??1?4?7???2n?1??n2321n?n22??4n?3??2n2?n，??3n?2??N?n,6??1?5?9?
从中不难发现其中的规律：
N?n,k?就是表示以1为首相，?k?2?为公差的等差数列前n项的和， 即有N?n,k??1???1??k?2??????1?2??k?2???????1??n?1???k?2???
n?1?1??n?1???k?2???， ??2所以N?10,24??10??1?1??10?1???24?2???2?1000.
28.已知矩形ABCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体
积最大时，它的外接球的表面积为 ．
28.13? 设正六棱柱的的底面边长为x，高为y，则6x?y?9，所以0?x?棱柱的体积V(x)?6?3，正六23233xy?(9x2?6x3)，V'(x)?273(x?x2)，令4232得1?x?，V'(x?)27x?32(x?，解得)0?x?1，令V'(x)?273(x?x)?023即函数V(x)在(0,1)是增函数，在(1,)是减函数，所以V(x)在x?1时取得最大值，此
2时y?3.易知正六棱柱的外接球的球心是其上下中心连线的中点，如图所示，外接球的半
径为OE?y13x2?()2?,所以外接球的表面积为S?4?R2?13?.
22
x2y25?129.我们把离心率e?的双曲线2?2?1?a?0,b?0?称为黄金双曲线．如图是
ab2x2y222双曲线2?2?1a?0,b?0,c?a?b的图象，给出以下几个说法：
ab??2y2?1是黄金双曲线； ①双曲线x?5?122②若b?ac，则该双曲线是黄金双曲线；
③若F1,F2为左右焦点，A1,A2为左右顶点，B1（0，b），B2（0，﹣b）且
?F1B1A2?900，则该双曲线是黄金双曲线；
④若MN经过右焦点F2且MN?F1F2，?MON?90，则该双曲线是黄金双曲线．
0其中正确命题的序号为 _________ ．
29.①②③④对于①，a2?1,b2?225?15?3，则c2?a2?b2?，22c5?3?5?1?2?，?e?5?1，所以双曲线是黄金双曲线；对于②，e?2????2?a22??b2?c2?a2?ac，整理得e2?e?1?0
解得
2e?21?52，所以双曲线是黄金双曲线；对于③
222F1B1?c?b2,B1A2?b2?a2,F1A2??a?c?，由勾股定理得
1?5所以双曲线是黄金双曲2c2y2b2线；对于④由于F2?c,0?，把x?c代入双曲线方程得2?2?1，解得y??，
aabb2b22NF2?，由对称关系知?ONF2为等腰直角三角形，?c?，即b?ac，由①可知
aa1?5所以双曲线是黄金双曲线. e?22c2?b2?b2?a2??a?c?，整理得b2?ac由②可知e?30.设函数y?f(x)的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x?D，都有f(x?T)?T?f(x)，则称函数y?f(x)是“似周期函数”，非零常数T为函数y?f(x)的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：
①如果“似周期函数”y?f(x)的“似周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数； ②函数f(x)?x是“似周期函数”； ③函数f(x)?2是“似周期函数”；
④如果函数f(x)?cos?x是“似周期函数”，那么“??k?,k?Z”． 其中是真命题的序号是 ．（写出所有满足条件的命题序号） ．．30.①③④
①如果“似周期函数”y?f(x)的“似周期”为-1，则f(x?1)??f(x)，则f(x?2)??f(x?1)?f(x)，所以它是周期为2的周期函数；
-x
②假设函数f(x)?x是“似周期函数”，则存在非零常数T，使f(x?T)?Tf(x)对于
x?R恒成立，即
x?T?Tx，即(T?1)x?T?0恒成立，则T?1且T?0,显然不成立；
③设2?(x?T)?T?2?x，即2?T?T,易知存在非零常数T，使2?T?T成立，所以函数
f(x)?2-x是“似周期函数”；
④
f(x?)?co是x“似周期函数”，则
，由诱导公式，得，当T?1时，c?o(xs?T)?co?x?s?T()?Tc?oxs??2k?,k?Z,当k??1时，??(2k?1)?,k?Z,所以“??k?,k?Z”；
如
果
函
数
故选①③④. 三、解答题
31.设函数f(x)?4cosxsin(x?)?3，x?R.
π3（Ⅰ）当x?[0,]时，求函数f(x)的值域；
（Ⅱ）已知函数y?f(x)的图象与直线y?1有交点，求相邻两个交点间的最短距离. 解析：（Ⅰ）解：因为f(x)?4cosx(sinx?π2123cosx)?3 2?2sinxcosx?23cos2x?3 ?sin2x?3cos2x
=2sin(2x?)，
π3因为 0≤x≤π， 2π2π≤， 33所以?≤2x?π3所以 ?3π≤sin(2x?)≤1， 23即?3≤f(x)≤2， 其中当x?5π时，f(x)取到最大值2；当x?0时，f(x)取到最小值?3， 12所以函数f(x)的值域为[?3,2].
（Ⅱ）依题意，得2sin(2x?ππ1)?1，sin(2x?)?， 332所以2x?πππ5π??2kπ 或 2x???2kπ， 3636所以x?π7π?kπ 或 x??kπ(k?Z)， 412π. 3所以函数y?f(x)的图象与直线y?1的两个相邻交点间的最短距离为
32. (文)某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示.已知两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为10.
甲组乙组870n9m201012
（1）分别求出m，n的值；
22（2）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差s甲和s乙，并由此分析
两组技工的加工水平；
[来源:gkstk.Com]
（3）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件个数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率.
222（注：方差s=[(x1?x)?(x2?x)?1n?(xn?x)2]，其中x为数据x1,x2,,xn的平
均数）.
解析：（1）根据题意可得：x甲?1(7?8?10?12?10?m)?10，∴m?3，51x乙?(9?n?10?11?12)?10，∴n?8；
5（2）根据题意可得：
12s甲?[(7?10)2?(8?10)2?(10?10)2?(12?10)2?(13?10)2]?5.2，
512s乙?[(8?10)2?(9?10)2?(10?10)2?(11?10)2?(12?10)2]?2，
5∵x甲?x乙，s甲?s乙，∴甲乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些；
（3）质监部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，设两人加工的合格零件数分别为(a,b)，则所有的(a,b)有(7,8)，(7,9)，(7,10)，
22(7,11)，(7,12)，(8,8)，(8,9)，(8,10)，(8,11)，(8,12)，(10,8)，(10,9)，(10,10)，
8)，(13,9)，(10,11)，(10,12)，(12,8)，(12,9)，(12,10)，(12,11)，(12,12)，(13，(13,10)，(13,11)，(13,12)，共计25个，而a?b?17的基本事件有(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,8)，(8,9)，共计5个基本事件，故满足a?b?17的基本事件共有25?5?20，即该车间“质量合格”的基本事件有20个，故该车间“质量合格”的概率204?. 为
255（理）在科普知识竞赛前的培训活动中，将甲、乙两名学生的6次培训成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图：
(Ⅰ)若从甲、乙两名学生中选择1人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；
(Ⅱ)若从学生甲的6次培训成绩中随机选择2个，记选到的分数超过87分的个数为?，求?的分布列和数学期望． 解析：(Ⅰ)学生甲的平均成绩x甲?学生乙的平均成绩x乙?68?76?79?86?88?95?82，
671?75?82?84?86?94?82，
61又s2甲?[(68?82)2?(76?82)2?(79?82)2?(86?82)2?(88?82)2?(95?82)2]?77，
61167， s2乙?[(71?82)2?(75?82)2?(82?82)2?(84?82)2?(86?82)2?(94?82)2]?63则x甲?x乙，s2甲?s2乙，
说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，则乙发挥更稳定，故应选择学生乙参加知识竞赛.
(Ⅱ)?的所有可能取值为0，1，2，则
2112C4C4C28C221P(??0)?2?，P(??1)?2?，P(??2)?2?，
C65C615C615?的分布列为 ? P 0 2 51 8 152 1 152812所以数学期望E(?)?0??1??2??．
51515333.(文) 如图，已知三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱与底面垂直，且?ACB?90，
?BAC?30，BC?1，AA1?6，点P、M、N分别为BC1、CC1、AB1的中点．
（1）求证：PN//平面ABC； （2）求证：A1M?面AB1C1；
（1）证明：连接CB1，
P是BC1的中点 ，?CB1过点P，
N为AB1的中点，?PN//AC，
又
AC?面ABC，PN?面ABC，?PN//平面ABC；
（2）证明：连结AC1，连接AC1，在直角?ABC中，
BC?1，?BAC?30，
?AC?AC11?3，
CC1AC?11?2，?Rt?AC11M~Rt?C1CA， ACMC111??AMC1??CAC1，??AC1C??CAC1??AC1C??AMC11?90，
即AC1?A1M，
B1C1?C1A1，CC1?B1C1，且C1A1CC1?C1， ?B1C1?平面AAC11C，?B1C1?A1M，又AC1B1C1?C1，故A1M?平面AB1C1；
(理) 如图，已知四棱锥P?ABCD的底面为菱形，?BCD?120，AB?PC?2，
AP?BP?2.
PABD
C
（Ⅰ）求证：AB?PC；
（Ⅱ）求二面角B?PC?D的余弦值.
解析：（Ⅰ）证明：取AB的中点O，连接PO,CO，AC． ∵AP?BP，∴PO?AB
又四边形ABCD是菱形，且?BCD?120?， ∴VACB是等边三角形，∴CO?AB 又COIPO?O，∴AB?平面PCO， 又PC?平面PCO，∴AB?PC
（Ⅱ）由AB?PC?2，AP?BP?2，易求得PO?1，OC?3，
222∴OP?OC?PC，OP?OC
以O为坐标原点，以OC，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直坐标系O?xyz，
则B(0,1,0)，C(3,0,0)，P(0,0,1)，D(3,?2,0)， ∴BC?(3,?1,0)，PC?(3,0,?1)，DC?(0,2,0)
（2）因为点N是线段CD上的一点，可设DN??DC??(1,2,0)
AN?AD?DN?(1,0,0)??(1,2,0)?(1??,2?,0) MN?AN?AM?(1??,2?,0)?(0,1,1)?(1??,2??1,?1)
又面PAB的法向量为错误！未找到引用源。 设MN与平面PAB所成的角为? 则sin??(1??,2??1,?1)?(1,0,0)(1??)?(2??1)?11??22?1??5??2??32 ?5(1??)?12(1??)?102
?5??当11212?10()1??1???10(1137?)2?1??55
213? 时， 即5?3?3?，??时，sin?最大， 1??53所以MN与平面PAB所成的角最大时??2 39. （文）每年5月17日为国际电信日，某市电信公司在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元电信日当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率
(1) 求某人获得优惠金额不低于300元的概率；
(2) 若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出两人，求这两人获得相等优惠金额的概率
解析：(1) 设事件A=“某人获得优惠金额不低于300元”，则P(A)?150?1005?
50?150?1006(2) 设事件B=“从这6人中选出两人，他们获得相等优惠金额”，由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的1人，获得优惠500元的3人，获得优惠300元的2人，
分别记为a1,b1,b2,b3,c1,c2，从中选出两人的所有基本事件如下：a1b1，a1b2，a1b3，a1c1，a1c2，b1b2，b1b3，b1c1，b1c2，b2b3，b2c1，b2c2，b3c1，b3c2，c1c2，共15个， 其中使得事件B成立的为b1b2，b1b3，b2b3，c1c2，共4个， 则P(B)?4 15（理）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,按照题目要求独立完成规定:至少正确完成其中2道题的便可通过已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成,2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是每题正确完成与否互不影响
（1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列,并计算其数学期望； （2）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？
解:（1）设甲正确完成面试的题数为?, 则?的取值分别为1,2,3
12C4C1P(??1)?32?；
C6521C4C3P(??2)?32?；
C6530C4C21P(??3)??； 3C652,且3考生甲正确完成题数?的分布列为
131E??1??2??3??2
555设乙正确完成面试的题数为?，则?取值分别为0,1,2,3
1013()?； P(??0)?C3327612112P(??1)?C3()()?,
3327122221P(??2)?C3()()?, 33278323P(??3)?C3()?
327考生乙正确完成题数?的分布列为:
E??0?16128?1??2??3??2 272727272（2）因为D??(1?2)?1312?(2?2)2??(3?2)2??, 5555D??(0?2)2?161282?(1?2)2??(2?2)2??(3?2)2?? 2727272732） 3（或D??npq?所以D??D?（10分） (或：因为P(??2)?31128??0.8,P(??2)???0.74, 552727所以P(??2)?P(??2) )
综上所述，从做对题数的数学期望考查,两人水平相当； 10. 已知函数f(x)??x?2lnx, 函数
2f(x)与g(x)?x?a有相同极值点． x（1）求函数f(x)的最大值； （2）求实数a的值；
（3）若?x1,x2?[,3]，不等式解析:（1）f?(x)??2x?1ef(x1)?g(x2)?1恒成立，求实数k的取值范围．
k?1[来源:学优高考网gkstk]2?2(x?1)(x?1)?(x?0)，xx
?f?(x)?0?f?(x)?0由?得0?x?1；由?得x?1．
x?0x?0???f(x)在?0,1?上为增函数，在(1,??)上为减函数． ?函数f(x)的最大值为f(1)??1．
（2）因为g(x)?x?aa，所以g?(x)?1?2． xxa有相同极值x由（1）知，x?1是函数f(x)的极值点．又因为函数f(x)与g(x)?x?点，
?x?1是函数g(x)的极值点．?g?(1)?1?a?0，解得a?1．
经检验，当a?1时，函数g(x)取到极小值，符合题意(6分) （3）因为f()??1e1?2，f(1)??1，f(3)??9?2ln3， e2??9?2ln3??11，即f(3)?f()?f(1)， ?2??12ee1??x1?[,3]， f(x1)min?f(3)??9?2ln3，f(x1)max?f(1)??1，
e由（2）知g(x)?x?11，?g?(x)?1?2． xx1?g(x)在[,1)上，g?(x)?0；当x?(1,3]时，g?(x)?0．
e1?g(x)在[,1)上为减函数，在(1,3]上为增函数．
e11110110，而2?e??， ?g()?e?，g(1)?2，g(3)?3??ee33e31?g(1)?g()?g(3)．
e101??x2?[,3]，g(x2)min?g(1)?2，g(x2)max?g(3)?，
3e①当k?1?0，即k?1时，对于?x1,x2?[,3]，不等式即k?[f(x1)?g(x2)]max?1，
1ef(x1)?g(x2)?1恒成立，
k?1?f(x1)?g(x2)?f(1)?g(1)??1?2??3，?k??3?1??2，
由??k?1得k?1．
?k??2②当k?1?0时，即k?1，对于?x1,x2?[,3]，不等式即k?[f(x1)?g(x2)]min?1，
1ef(x1)?g(x2)?1恒成立，
k?1?f(x1)?g(x2)?f(3)?g(3)??9?2ln3?1037???2ln3， 33?k??34?2ln3． 334?2ln3]?(1,??)． 3综上所述，所求的实数k的取值范围为(??,?
