课题：必修⑤3.4基本不等式（二）三维目标：
1、 知识与技能
（1）在上一节的基础上再通过各种运用，进一步理解、掌握基本不
等式的本质，熟练运用此性质的等价形式灵活地解决相关问题，提高解决此类问题的技能；
（2）能用不等式的基本性质论证简单的不等式，并进一步运用基本
不等式解决生活中的应用问题。 2、过程与方法
（1）在熟悉基本不等式性质的基础上，引领学生在应用问题中进一
步合作探索，然后再通过相应的问题（尤其是相关的实际问题的最值问题）的解决，加深学生对定理的理解，并为以后解决综合问题究奠定良好的基础；
（2）通过简单得不等式的判断、论证，培养学生推理论证的逻辑性、
严密性，从而逐步培养学生良好的数学品质。
3、情态与价值观
（1）继续培养学生数形结合、等价转化、等与不等辩证的数学思想； (2) 通过对不等式知识的进一步学习，不断培养自主学习、合作交流、
善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神； （3）通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立
学生求真的勇气和自信心，激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。体验在学习中获得成功的成就感，为远大的志向而不懈奋斗。
教学重点：
基本不等式a2?b2?2ab与ab?教学难点：
a?b的进一步应用 2
理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵（a与b或许是一个式子），注意运用不等式求最大（小）值的条件 教 具：多媒体、实物投影仪
教学方法：合作探究、分层推进教学法 教学过程：
一、双基回眸 科学导入： ★上两节课，我们学习了基本不等式ab?a?b，并且体会到在实2际问题中的应用，感受到不等式在实际生活中的更广泛运用。下面，首先我们一起回顾一下这些知识和方法： 基本不等式：
一般的，如果a,b?R,那么a2?b2?2ab(当且仅当a?b时取\?\号) 特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得a?b?2ab， 简单回顾上节从实际问题中抽象出基本不等式的情景
这是北京召开的第24届国际数学家大会的会标，大家想一想,你能通过这个简单的风车造型中得到一些相等和不等关系吗? 【问题1】我们把“风车”造型抽象成图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为a、b，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？
学生答：a2?b2，a2?b2
【问题2】那4个直角三角形的面积和呢？ 学生答：2ab
【问题3】根据观察4个直角三角形的面积和与正方形的面积的大小关系，我们可得到一个怎样的不等式呢？。 学生答：a2?b2?2ab
【问题4】什么时候这两部分面积相等呢？
学生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即a?b时，正方形EFGH
变成一个点，这时有a2?b2?2ab
【
得
到
结
论
】
一
般
的
，
如
果
a,b?R,那么a2?b2?2ab(当且仅当a?b时取\?\号)
基本不等式在最值方面的主要应用：
1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，
M2且a＋b＝M，M为定值则ab≤，等号当且仅当a＝b时成立.
42.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2P，等号当且仅当a＝b时成立.
通过前面对不等式应用，同学们已经体会到了不等式的重要性和绝对性，可以说，不等式的应用体现在自然、社会、生活的方方面面，今天我们将进一步研究不等式的应用…… 二、 创设情境 合作探究 ：
【引领学生合作交流进一步探究基本不等式的应用】 学习函数时，我们曾遇到过一个著名的函数：y?x?1 ，x并运用其单调性解决了与其相关的函数的最值问题。同学们能否运用现在所学的基本不等式来求出其值域呢？下面，大家交流一下……
【通过交流、探索得到】
x?0时，x?11?2x??2xx111?2(?x)?(?)?2,即x???2xxx
x?0时，?x?0,所以?x? 综上所述：y??2或y?2
所以，函数y?x?的值域为(??,?2]?[2,??)
【评析】此种方法充分运用了基本不等式的性质并体现了转化思想的恰当运用：把负数转化为正数，方可用上基本不等式。 下面同学们再利用这种思想方法来解决一些相关问题…… 三、互动达标 巩固所学： 问题.1 已知x、y都是正数，求证：
(1)?≥2；
(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.
yxxy1x【分析】充分运用定理：
a?b?ab来逐步解决即可，注意条件a、2b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行
变形.
【解析】∵x，y都是正数 ∴＞0，＞0，x2＞0，y2＞0，
xyyxx3＞0，y3＞0
(1)?xyxyyxy?2?＝2即?≥2.
yxxyx(2)x＋y≥2xy＞0 x2＋y2≥2x2y2＞0 x3＋y3
≥2x3y3＞0
∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2xy·2x2y2·2x3y3＝８x3y3 即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.
【点评】这两个题是论证问题，从证明过程来看，主要是利用了我们刚学过的基本不等式。重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（
a?ba?b），几何平均数（ab）及它们的关系（≥ab）.22它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形或证明的基本工具，又是求函数最值的重要工具.我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤
a?b2a2?b2，ab≤（）.
2224?6m?24。 m24【分析】因为m>0,所以可把和6m分别看作基本不等式中的a和
m问题.2 已知m>0,求证
b, 直接利用基本不等式。
【解析】[证明]因为 m>0,，由基本不等式得
2424?6m?2??6m?224?6?2?12?24 mm当且仅当
24=6m，即m=2时，取等号。 m【点评】此题仍是运用基本不等式来证明的论证问题， m>0这一前
提条件和
问题.3求证:
24?6m=144为定值的前提条件。 m4?a?7. a?3【分析】 由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等
式,无法约掉字母a,而左边
44?a??(a?3)?3.这样变形a?3a?3后,在用基本不等式即可得证.
【解析】[证明]
当且仅当
444?3??(a?3)?3?2(a?3)?3?24?3?7 a?3a?3a?34=a-3即a=5时,等号成立. a?3【点评】此题虽然仍是运用基本不等式来证明的论证问题，但却需要
对式子进行恰当变形——通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.这也是今后常见的思想方法。
问题.4若x>0,y>0,且??1,求xy的最小值.
【分析】显然已知的式子与所求的式子关系不直接，不能一步就可用基本不等式求出，看能否利用基本不等式对已知的式子进行推演，得到与所求有关的式子。 【解析】因为1???2所以，xy?64 当且仅当?2x81?时，即x = 4 ,y = 16时 xy取到最小值64。 y22x8y2x8y281 ??8xyxy【点评】此题是运用基本不等式来求最值的问题，但却不是从所求的
式子直接推求，而是从已知的式子出发，进行推演，去找到所求的式子，这也是今后常见的求最值的类型。利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正.
在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。
四、思悟小结：
知识线：
（1）不等式的基本性质；
（2）基本不等式a2?b2?2ab与ab?思想方法线：
（1）证明不等式的综合法； （2）建模思想方法； （3）等价转化思想； 题目线：
（1） 利用不等式的基本性质与基本不等式ab?题；
（2）利用基本不等式用综合法证明简单的不等式。 五、针对训练 巩固提高：
a?b解决最值问2a?b及其等价形式。 2
