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2012浙江文数真题解析
一 、选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1 设全集U={1，2，3，4，5，6} ，设集合P={1，2，3，4}， Q={3，4，5}，则P∩（CUQ）=
A.{1，2，3，4，6} B.{ 1，2，3，4，5} C.{1，2，5} D.{1,2} 【答案】D
【解析】?CUQ??1,2,6?，?P?(CUQ)??1,2?.D正确. 【点评】此题主要考察集合运算. 2. 已知i是虚数单位，则
3?i= 1?iA．1-2i B.2-i C.2+i D.1+2i 【答案】D 【解析】?3+i（3+i）(1+i)2+4i?=?1?2.i故选D. 1?i(1?i)(1+i)2【点评】此题主要考察复数的代数运算以及复数的概念，是复数内容的主要考点.
3.已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是
A.1cm3 B.2cm3 C.3cm3 D.6cm3
【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形，右侧面也是一直角三角形．故体积11等于?3?1?2??1．
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【答案】A
【点评】该题主要考察空间几何体的三视图以及多面体体积 的计算，抓住其直观图的形状特点是关键.
4设a∈R ，则“a＝1”是“直线l1：ax+2y-1=0与直线l2 ：x+2y+4=0平行”的 A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】?a?1时，两直线平行，当两直线平行时，a= 1，因而C正确.
【点评】本题主要考察逻辑用语中的充分必要条件，同时联系到两直线的位置关系. 5.设l是直线，a，β是两个不同的平面.
A.若l∥a,l∥β，则a∥β B.若l∥a，l⊥β，则a⊥β C.若a⊥β,l⊥a,则l⊥β D.若a⊥β, l∥a,则l⊥β 【答案】B
【解析】因为平行于同一直线的两个平面不一定平行，所以A错误；两个平面垂直，一条直线与其中的一个平面垂直，则这条直线有可能与另一个平面平行，故C错误；两个平面垂直，一条直线与其中的一个平面平行，则这条直线有可能与另一个平面垂直，也可能在另一个平面内，故C错误；因此B正确.
【点评】此题主要考察空间平行与垂直关系的定理，从每一个平行与垂直关系出发，理解和把握是否合乎定理的内容是关键.
6. 把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是
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【解析】把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y1＝cosx＋1，向左平移1个单位长度得：y2＝cos(x—1)＋1，再向下平移1个单位长度得：y3＝cos(x—1)．令x＝0，得：y3＞0；x＝【答案】B
【点评】本题主要考察三角函数的图象变化，三角变换是三角函数图象内容的一个重要的考点.
7.设a，b是两个非零向量. A.若|a+b|=|a|-|b|，则a⊥b B.若a⊥b，则|a+b|=|a|-|b|
C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λa D.若存在实数λ，使得b=λa，则|a+b|=|a|-|b|
【解析】利用排除法可得选项C是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实 数λ，使得a＝λb．如选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D：若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立． 【答案】C
【点评】本题主要考察向量的概念和线性运算，理解向量的概念把握平行四边变形法则，三角形法则是根本.
8.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点.若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是
?2?1，得：y3＝0；观察即得答案．
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A.3 B.2 C. 【答案】B 【解析】
3 D. 2 由题意知椭圆长半轴设为a,双曲线的实半轴为a?, 1半焦距c?c?,a?2a?,?e?e?,即e?=2e.B正确.2【点评】此题主要考查椭圆和双曲线的标准方程和性质，弄清楚它们的关系是解答此类问题的关键.
9.若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 A.
2428 B. C.5 D.6 55【答案】C 【解析】
13?x?3y?5xy,两边同除以5xy得：??1，5y5x13133x12y?3x?4y?(3x?4y)?????
5y5x55y5x?133x12y?2??5.故C正确.55y5x【点评】该题主要考察限定条件下的基本不等式求最值，构造1，然后“1乘不变”得到均值不等式的形式，用之求最值是一种不错的办法. 10.设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数 A.若ea+2a=eb+3b，则a＞b B.若ea+2a=eb+3b，则a＜b C.若ea-2a=eb-3b，则a＞b D. 若ea-2a=eb-3b，则a＜b 第 4 页 共 11 页
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【解析】若ea?2a?2b?3b，必有ea?2a?eb?2b．构造函数：f?x??ex?2x，则f??x??ex?2?0恒成立，故有函数f?x??ex?2x在x＞0上单调递增，即a＞b成立．其余
选项用同样方法排除． 【答案】A
【点评】此题主要考察函数的性质和比较大小，利用单调性比大小是常用的一种方法，而单调性除了根据基本初等函数来判断之外更重要的是导数法. 二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分.
11.某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为____________. 【答案】160
【解析】按比例计算男生人数为
560?280=160.
560+420【点评】该题主要考察抽样方法中的分层抽样，按比例是分层抽样的本质所在.
12.从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点则该两点间的距离为
2的概率是___________. 22 5【答案】
【解析】从这5个点中任取2个点共有10种取法；而该两点间的距离为
2的点只有四个顶点分别和中心的距离符合条件，即事件A2422=. 的概率为P?1052有4种，于是两点间的距离为
【点评】本题主要考察随机事件的概率，分两步做即可. 13.若某程序框图如图所示，则该程序运行后___________ 【解析】T，i关系如下图： T i 【答案】
1 2 1 1201 21 61 241 1203 4 5 6 第 5 页 共 11 页
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【点评】该题主要考察算法的功能，结构、基本思想，要明确其算理掌握运算功能就要把握好以上这些基本点.
?x?y?1?0?x?y?2?0?14.设z=x+2y，其中实数x，y满足? 则z的取值范围是_______
x?0???y?0【答案】?0，?
?7??2?（0,0），（，）【解析】画出可行域知最优解分别是分别代入目标函数可得其最小值为
0，最大值为
13227?7?，因此z的取值范围是?0，?. 2?2?【点评】该题是考查基本的线性规划问题，此解法具有普遍意义.
????????15.在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则AB?AC=________.
【解析】假设?ABC是以AB＝AC的等腰三角形，如图， AM＝3，BC＝10，AB＝AC＝34． cos∠BAC＝【答案】29
【点评】本题主要考察三角形和平面向量的数量积，对于常见的一般现象用特例法是比较常见的解法.
16.设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x＋1，则
?????????????34?34?1029???．AB?AC＝AB?ACcos?BAC?29 ?2?34343
f（）=_______________ 2
3【答案】
2【解析】因为函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，所以
331113f()?f(?2)?f(?)?f()??1?. 222222【点评】此题主要考察函数的概念奇偶性、周期性等，正确利用已知把所求的自变量的取值
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转化到一直区间上去是解答这一问题的核心.
17. 定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_______
d?【解析】C2：x 2＋(y＋4) 2 ＝2，圆心(0，—4)，圆心到直线l：y＝x的距离为：
0?(?4)2?22，
故曲线C2到直线l：y＝x的距离为d??d?r?d?2?2． 另一方面：曲线C1：y＝x 2＋a，令y??2x?0，得：x?
111?(?a)?a11244y＝x的距离的点为(，?a)，d??2??42227． 41，曲线C1：y＝x 2＋a到直线l： 2?a?7【答案】
4【点评】本题主要通过新定义考查直线与圆的位置关系，创新性强，解答这类问题主要是先理解新定义，结合直线和圆的知识求解即可.
三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本题满分14分）在△ABC中，内角A,B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=3acosB. （1）求角B的大小；
（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值 【答案】a?3,c?23 【解析】（1)由正弦定理得sinAsinB?3sinAcosB,?tanB?3,?B?60?.
（2）?sinC?2sinA,?c?2a,?b?3,?由余弦定理得：3=a?(2a)?2a?(2a)?cos60?,?a?3,c?23.222
【点评】本题主要考察三角形中的三角函数，由正余弦定理化简求值是真理.
19. （本题满分14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n+n，n∈N，数列{bn}满足an=4log2bn＋3，n∈N. （1）求an，bn；
（2）求数列{an·bn}的前n项和Tn. 【答案】an?4n?1,bn?2n?1 【解析】
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（）1?当n?1时，a1?S1?3,当n?2时，an?Sn?Sn?1?2n2?n?2(n?1)2?(n?1)?4n?1. ?an?4log2bn?3,?4n?1?4log2bn?3,?bn?2n?1.（2）?anbn?(4n?1)?2n?1,?Tn?3?20?7?21?11?22???(4n?1)?2n?1.2Tn?3?21?7?22???(4n?1)?2n两式相减得：?Tn?3?4?(21?22???2n?1)?(4n?1)?2n2?(1?2n?1)?3?4??(4n?1)?2n1?2??5?(4n?5)2n,Tn?5?(4n?5)2n.【点评】本题主要考察数列求和，求通项以及公式的运用和计算能力的考查，有关数列问题有一些基本的类型，注意整理把握和运用.
20. （本题满分15分）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=2.AD=2，BC=4,AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点. （1）证明：（i）EF∥A1D1； （ii）BA1⊥平面B1C1EF；
（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值. 【答案】（3）
30 15?A1D1//B1C1，?A1D1//平面B1C1EF，【解析】（1）证明：（i）又?平面B1C1EF?平面ADD1A1?EF,
?EF//A1D1.（ii）由（i）知F为
AA1的中点，?BA1?B1F，?EF//AD,AD?平面ABB1A1，?EF?B1F，?BA1?B1C1EF.（2）由（ii）的证明可知
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?BC1F为所求角，在矩形ABB1A1中记BA1?B1F?O,4
2?24BO306则BO??.?sin?BC1F???.2222BC1564?212?(2)【点评】该题主要考查平行关系，垂直关系的证明与空间线面角的计算，是常考考点，解法不失常用性.
21.（本题满分15分）已知a∈R，函数f(x)?4x3?2ax?a. （1）求f(x)的单调区间；
（2）证明：当0≤x≤1时，f(x)+ 2?a＞0. 【答案】
【解析】（1）由题意得：
f?(x)?12x2?2a,当a?0时，f?(x)?0恒成立，此时f(x)的递增区间是（-?,+?).当a?0时，f?(x)?12(x?（?aa，）.66??aaa??a)(x?),此时增区间是????,6?,?6,????,减区间是66????（2）由于0?x?1,故当a?2时，f(x)+a?2?4x3?2ax?2?4x3?4x?2.当a?2时，f(x)+a?2?4x3+2（a1-x)?2?4x3?4(1?x)?2设g(x)?2x3?2x?1,0?x?1，?g?(x)?6ax2?2?（6x?于是有
33（)x?),33x g?(x) g(x)
0 1 3 （0，）33 3（3 ,1）31 1 ? 减 0 极小 + 增 ?g(x)?g(343)?1??0.?当x??0,1?时，2x3?2x?1?0, 39即f(x)?a?2?4x2?4x?2?0.【点评】本题考查利用导数研究函数单调性等性质、导数应用等性质，考查抽象概括能力、
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推理论证能力.
22. （本题满分14分）如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，（P＞0）的准线的距离为AB被直线OM平分.
12）到抛物线C：y=2px25.点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段4
（1）求p,t的值；
（2）求△ABP面积的最大值. 【答案】
1?2pt?1?p???（）1??p5,??【解析】2
1????24??t?1（2）设点A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点Q(m,m)由题意设AB斜率为k(k?0),2?1?y1?x1则由?2得(y1?y2)?(y1?y2)?x1?x2,?k?,?直线AB方程为：2m??y2?x21y?m?(x?m),即x?2my?2m2?m?0,和y2?x联立得：2my2?2my?2m2?m?0,????4m2?4m?0,y1?y2?2m,y1?y2?2m2?m.AB?1?d?122y?y?1?4m?4m?4m,122k1?2m?2m122,?S??1?4m?4m?4m??m?m2?1?2(m?m2），221?4m21?2m?2m21?4m21222????0即0?m?1,?S??m?m2??1?2(m?m）,设m?m=t,t?(0,),则S?t(1?2t).???26661666???6(t?S?)(t?),??(0,),?t?是最大值点，?（S?）?S()?.max?6662669【点评】本题主要考察抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系、解析几何的基本思想
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方法和运算能力.
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