高考总复习主干知识三：立体几何
主干知识三：立体几何知识点归纳
一．直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行
l方法一：用线线平行实现。
l//m??m????l//? l????方法二：用面面平行实现。
α符号表示：
αlAβl2. 线面相交
?//????l//? l???方法三：用平面法向量实现。
符号表示：
若n为平面?的一个法向量，n?l且
lαnl3. 线在面内
ααl??,则l//?。
符号表示：
3. 面面平行：
方法一：用线线平行实现。
二．平行关系： 1. 线线平行：
方法一：用线面平行实现。
l?l//l'??l????l//m ????m??
l//???m//m'????//?l,m??且相交?αl',m'??且相交??
方法二：用线面平行实现。
βl'm'ml?ml//?方法二：用面面平行实现。
lβγαm?//???????l??l//m ????m??? ?m//???//??l,m??且相交??
方法三：用向量方法：
两个平面的法向量共线
三．垂直关系： 1. 线面垂直：
方法一：用线线垂直实现。
βml α方法三：用线面垂直实现。 若l??,m??，则l//m。 方法四：用向量方法：
若向量l和向量m共线且l、m不重合， 则l//m。 2. 线面平行：
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l?AC?l?AB??lAC?AB?A??l?? ?CAC,AB????αAB方法二：用面面垂直实现。
????βl????m???l?? l?m,l???m?α方法三：用向量方法：
直线与平面的法向量共线
2. 面面垂直：
方法一：用线面垂直实现。
l???βll????????
α方法二：计算所成二面角为直角。 方法三：用向量方法： 两平面的法向量垂直
3. 线线垂直：
方法一：用线面垂直实现。
ll???m?????l?m
mα
方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO???Pl?OA???l?PA l????αAlO方法三：用向量方法：
若向量l和向量m的数量积为0，则l?m。
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三．夹角问题。 (一) 异面直线所成的角： (1) 范围：(0?,90?] (2)求法：
方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。 步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)
cos??a2?b2?c2余弦定理：2ab ac(计算结果可能是其补角) θb方法二：向量法。转化为向量的夹角
(计算结果可能是其补角)：
Ccos??AB?ACAB?AC
θAB
(二) 线面角 (1)定义：直线l上任取一点P（交点除外），作PO??于O,连结AO，
则AO为斜线PA在面?内的射影，?PAO(图中?)为直线l与面?所成的角。
(2)范围：[0?,90?]
当??0?时，l??或l//? P当??90?时，l?? αAθO(3)求法： 方法一：定义法。
步骤1：作出线面角，并证明。 步骤2：解三角形，求出线面角。 方法二：向量法。转化为向量的夹角P
sin??AP?nn AP?nαAθO2 / 8
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(三) 二面角及其平面角 (1)定义：在棱l上取一点P，两个半平面内分别作l的垂线（射线）m、n，则射线m和n的夹角?为二面角?—l—?的平面角。
???mnPl步骤二：判断?与?n1?n2?的关系， 可能相等或者互补。
四．距离问题。 1．点面距。 方法一：几何法。
P
步骤1：过点P作PO??于O，
线段PO即为所求。
步骤2：计算线段PO的长度。
(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)
方法二：向量法。
?AO(2)范围：[0?,180?] (3)求法： 方法一：定义法。
步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。 步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。
方法二：截面法。
步骤1：如图，若平面POA同时垂直于平面?和?，则交线(射线)AP和AO的夹角就是二面角。 步骤2：解三角形，求出二面角。
βPθαOAd?
AP?nn，n为平面的法向量
2．线面距、面面距均可转化为点面距。
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方法三：向量法(计算结果可能与二面角互补)。
n1θn2
步骤一：计算cos?n1?n2??n1?n2n1?n2
高考总复习主干知识三：立体几何
主干知识三 立体几何基础训练
1．在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1 的中点，G为棱A1B1上的一点，且AG??(0≤?≤1)．则点G 1到平面D1EF的距离为（ ） Ａ．3
2Ｂ．
22?Ｃ． 35Ｄ． 5D1
C1
G A1 E B1 F C
A D B
2.用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为?，则球的体积为 ( ) A.
3.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90,∠ACC1=60,∠BCC1=45, 侧棱CC1的长为1，则该三棱柱的高等于（ ） A.
4.用a,b,c表示三条不同的直线，?表示平面，给出下列命题： ①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a?b,b?c,则a?c； ③若a∥?,b∥?,则a∥b;④若a??,b??,则a∥b. 其中真命题的序号是（ ） A. ①② B.②③ C. ①④ D. ③④
5.圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球， （球的半径和圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的 球（如图所示），则球的半径是 cm.
6．设球的体积为V1,它的内接正方体的体积为V2，下列说法中最合适的是
A. V1比V2大约多一半 C. V1比V2大约多一倍
B. V1比V2大约多两倍半 D. V1比V2大约多一倍半
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0
0
0
32?8?82? B. C.82? D.
333123 B. C.222 D.
3 3高考总复习主干知识三：立体几何
7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____________.
8．在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），
（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2）. 给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为
图①
A．①和②
B．③和①
图② 图③ 图④
第7题图
C．④和③
D．④和②
主干知识三 立体几何能力提高
1．如图，在三棱锥V?ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，
π??且AC?BC?a，∠VDC???0????．
2??（I）求证：平面VAB⊥平面VCD；
Ｖ π（II）试确定角?的值，使得直线BC与平面VAB所成的角为．
A 6
Ｃ Ｄ Ｂ
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2.如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，平面A1BC?侧面A1ABB1. （1）求证： AB?BC;
（2）若AA1?AC?a，直线AC与平面A1BC所成的 角为?，二面角A1?BC?A的大小为?,求证：?????2.
3.如图，四棱锥S＝ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,
SD＝AD＝a,点E是SD上的点，且DE＝?a(0
(Ⅰ)求证：对任意的??（0、1），都有AC⊥BE: (Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小为600
C，求?的值。
4．如图，在四面体ABOC中，OC?OA，OC?OB，
?AOB?120?且OA?OB?OC?1.
(Ⅰ)设P为AC的中点，Q在AB上且AB?3AQ.
证明:PQ?OA；
(Ⅱ)求二面角O?AC?B的平面角的余弦值。
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高考总复习主干知识三：立体几何
5.如图，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长为2， 侧棱长为32，点E在侧棱AA1上，点F在侧棱BB1上， 且AE?22,BF?2. (Ⅰ)求证：CF?C1E
(Ⅱ)求二面角E?CF?C1的大小.
6.某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面
均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1-ABCD，上不是
一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2C2D2。 （1）证明：直线B1D1⊥平面ACC2A2；
（2）现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB=10，A1B1=20， AA2=30，AA1=13（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为0.20元， 需加工处理费多少元？
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7．如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2＝d1.同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B1B2＝d2，C1C2＝d3，且d1＜d2＜d3.过AB，AC的中点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1-A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中． (1)证明：中截面DEFG是梯形；
(2)在△ABC中，记BC＝a，BC边上的高为h，面积为S.在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量(即多面体A1B1C1-A2B2C2的体积V)时，可用近似公式V估＝S中·h来估算．已知V＝
1(d1＋d2＋d3)S，试判断V估
与V的大小关系，并加以证明．
8．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F，P，Q，
M，N分别是棱AB，AD，DD1， BB1，A1B1，A1D1的中点. 求证：
（Ⅰ）直线BC1∥平面EFPQ； （Ⅱ）直线AC1⊥平面PQMN.
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