第20章 数据的分析 专项训练
专训1.平均数、中位数、众数实际应用四种类型
名师点金：
利用统计量中“三数”的实际意义解决实际生活中的一些问题时，关键要理解“三数”的特征，然后根据题目中的已知条件或统计图表中的相关信息，通过计算相关数据解答．
平均数的应用
a．平均数在商业营销中的决策作用
1．一种什锦糖果是由甲、乙、丙三种不同价格的糖果混合而成的，已知甲种糖果的单价为9元/kg，乙种糖果的单价为10元/kg，丙种糖果的单价为12元/kg.
(1)若甲、乙、丙三种糖果数量按2∶5∶3的比例混合，则混合后得到的什锦糖果的单价定为每千克多少元才能保证获得的利润不变？
(2)若甲、乙、丙三种糖果数量按6∶3∶1的比例混合，则混合后得到的什锦糖果的单价定为每千克多少元才能保证获得的利润不变？
b．平均数在人员招聘中的决策作用
2．某市招聘教师，对应聘者分别进行教学能力、科研能力、组织能力三项测试，其中甲、乙两人的成绩如下表：(单位：分)
项目 人员 甲 乙 教学能力 86 81 科研能力 93 95 组织能力 73 79 (1)根据实际需要，将教学能力、科研能力、组织能力三项测试得分按5∶3∶2的比确定最后成绩，若按此成绩在甲、乙两人中录用一人，谁将被录用？
(2)按照(1)中的成绩计算方法，将每位应聘者的最后成绩绘制成如图所示的频数分布直方图(每组分数段均包含左端数值，不包含右端数值)，并决定由高分到低分录用8人．甲、乙两人能否被录用？请说明理由．
(第2题)
c.平均数在样本估计总体中的作用
3．为了估计某市空气的质量情况，某同学在30天里做了如下记录：
污染指数w 天数 40 3 60 5 80 10 100 120 140 6 5 1 其中w≤50时空气质量为优，50 4．(图表信息题)某中学为调查本校学生平均每天完成作业所用时间的情况，随机调查了50名同学，如图是根据调查所得数据绘制的统计图的一部分． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)将统计图补充完整； (2)若该校共有1 800名学生，根据以上调查结果估计该校全体学生平均每天完成作业所用总时间． (第4题) 平均数和中位数的应用 5．甲、乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛，两校参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分(满分为10分)．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图和统计表： (1)在图①中，“7分”所在扇形的圆心角等于______． (2)请你将如图②所示的统计图补充完整． (3)经计算，乙校学生成绩的平均数是8.3分，中位数是8分，请写出甲校学生成绩的平均数、中位数，并从平均数和中位数的角度分析哪个学校的成绩较好； (4)如果该教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛，为便于管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手，请你分析，应选哪所学校？ 甲校成绩统计表 成绩 人数 7分 8分 11 0 9分 10分 8 (第5题) 中位数和众数的应用 6．某厂为了解工人在单位时间内加工同一种零件的技能水平，随机抽取了50名工人加工的零件进行检测，统计出他们各自加工的合格品数是1～8这8个整数，现提供统计图的部分信息(如图所示)，请解答下列问题： (第6题) (1)根据统计图，求这50名工人加工出的合格品数的中位数； (2)写出这50名工人加工出的合格品数的众数的可能取值； (3)厂方认定，工人在单位时间内加工出的合格品数不低于3时为技能合格，否则，将接受技能再培训，已知该厂有同类工人400名，请估计该厂将接受技能再培训的人数． 平均数、中位数、众数的综合应用 7．甲、乙、丙三个家电厂家在广告中都声称，他们的某品牌节能灯在正确使用的情况下，使用寿命都不低于8年．后来质量检测部门对他们的产品进行抽查，抽查的各8个产品使用寿命的统计结果如下(单位：年)： 甲厂：6，6，6，8，8，9，9，12 乙厂：6，7，7，7，9，10，10，12 丙厂：6，8，8，8，9，9，10，10 (1)把以上三组数据的平均数、众数、中位数填入下表． 甲厂 乙厂 丙厂 平均数 众数 中位数 (2)估计这三个厂家的推销广告分别利用了哪一种统计量． (3)如果你是顾客，应该选哪个厂家的节能灯？为什么？ 专训2.方差的几种常见应用 名师点金： 用方差解决实际应用问题，主要是通过计算实际问题中数据的离散程度，从而得出哪个稳定性更好，进行“择优选用”． 工业方面的应用 1．为了比较市场上甲、乙两种电子钟每日走时误差的情况，从这两种电子钟中，各随机抽取10台进行测试，两种电子钟走时误差的数据(单位：s)如下表： 编号 甲种电 子钟 乙种电 子钟 (1)计算甲、乙两种电子钟走时误差的平均数． (2)计算甲、乙两种电子钟走时误差的方差． (3)根据经验，走时稳定性较好的电子钟质量更优．若两种类型的电子钟价格相同，请问：你会买哪种电子钟？为什么？ 农业方面的应用 2．王大伯几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽100棵杨梅树，成活率为 4 －3 －1 2 －2 1 －2 2 －2 1 1 －3 －4 4 2 －2 2 －1 －1 2 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 类型 98%，现已挂果，经济效益初步显现．为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅，每棵树的产量如折线统计图所示． (1)分别计算甲、乙两山样本的平均数，并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和； (2)试通过计算估计，哪个山上的杨梅产量较稳定． (第2题) 教育科技方面的应用 3．七年级一班和二班各推选10名同学进行投篮比赛，按照比赛规则，每人各投了10个球，两个班选手的进球数统计如下表，请根据表中数据回答下列问题． 进球数/个 一班人数/人 二班人数/人 10 1 0 9 1 1 8 1 2 7 4 5 6 0 0 5 3 2 (1)分别求一班和二班选手进球数的平均数、众数、中位数． (2)如果要从这两个班中选出一个班代表本年级参加学校的投篮比赛，争取夺得总进球数团体第一名，你认为应该选择哪个班？如果要争取个人进球数进入学校前三名，你认为应该选择哪个班？ 社会生活方面的应用 4．在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶．下图是其中的甲、乙两段台阶路的示意图．请你用所学过的有关统计知识(平均数、中位数、方差和极差)回答下列问题： (1)两段台阶路有哪些相同点和不同点？ (2)哪段台阶路走起来更舒服？为什么？ (3)为方便游客行走，需要重新整修上山的小路．对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议． 图中的数字表示每一级台阶的高度(单位：cm)，并且数据15，16，16，235 14，14，15的方差s甲2＝，数据11，15，18，17，10，19的方差s乙2＝. 33 (第4题) 专训3.分析数据作决策的三种常见类型 名师点金： 解决决策问题时，经常从数据的变化趋势及平均数、众数、中位数、方差等多个统计量进行分析，根据实际需要结合数据的特征，选择恰当的数据，作出合理的决策． 用“平均数”决策 1．某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下表所示： 测试项目 测试成绩/分 甲 教学能力 科研能力 组织能力 乙 85 70 64 丙 73 71 72 73 65 84 (1)如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由； (2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5∶3∶2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由． 用“中位数、众数”决策 2．某家电商场的一个柜组出售容积分别为268升、228升、185升、182升四种型号同一品牌的冰箱，每卖出一台冰箱，售货员就在一张纸上写出它的容积作为原始记录，到月底，柜组长清点原始记录，得到一组由10个182、18个185、66个228和16个268组成的数据． (1)这组数据的平均数有实际意义吗？ (2)这组数据的中位数、众数分别等于多少？ (3)这个商场总经理关心的是中位数还是众数，说明理由？ 3．公园里有甲、乙两群游客正在做团体游戏，甲群是同一居民小区的初中生在进行联谊游戏活动；乙群是居民小区的两位退休教师义务带领一群学前儿童在做游戏．调查这两群游客的年龄(单位：周岁)得到甲、乙两组数据： 甲：12，13，13，13，14，14，14，14，14，15，15，15，16. 乙：3，4，4，5，5，5，5，5，6，6，56，58. (1)求甲、乙两组数据的平均数、中位数、众数． (2)在各组数据的平均数、中位数和众数中，哪几个能反映各群游客的年龄特征？ 用“方差”决策 4．为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A，B两位同学在校实习基地现场进行加工直径为20 mm的零件的测试，他俩各加工的10个零件的相关数据(单位：mm)依次如图表所示： 平均数 20 20 方差 0.026 sB2 完全符合要求个数 2 5 A B 根据测试得到的有关数据，试解答下列问题： (1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为________的成绩好些． (2)计算出sB2的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些． (3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际情况，你认为派谁去参加竞赛较合适？说明你的理由． (第4题) 专训4.七种常见热门考点 名师点金： 分析数据主要是根据数据的特征，恰当选择平均数、中位数、众数作出符合实际需要的分析，善于利用样本的数据估算总体的数据．本章要考查的主要考点可概括为：四个概念、三个应用． 四个概念 概念1 平均数 1．某种蔬菜按品质分成三个等级销售，销售情况如下表： 等级 一等 二等 三等 单价/(元/kg) 5.0 4.5 4.0 销售量/kg 20 40 40 则售出蔬菜的平均单价为________． 2．学校抽查了30名学生参加“学雷锋社会实践”活动的次数，并根据数据绘成了条形统计图(如图)，则30名学生参加活动的平均次数是( ) (第2题) A．2 B．2.8 C．3 D．3.3 概念2 中位数 3．学校团委组织“阳光助残”捐款活动，九年级一班学生捐款情况如下表： 捐款金额/元 人数/人 则学生捐款金额的中位数是( ) 5 10 10 13 20 12 50 15 A．13元 B．12元 C．10元 D．20元 概念3 众数 3．2015年5月31日，我国飞人苏炳添在美国尤金举行的国际田联钻石联赛100 m男子比赛中，获得好成绩，成为历史上首位突破10 s大关的黄种人．下表是苏炳添近五次大赛参赛情况： 比赛日期 84 521 928 520 531 比赛地点 成绩/s 2012 2013 2014 2015 2015 10.19 10.06 10.10 10.06 9.99 英国伦敦 中国北京 韩国仁川 中国北京 美国尤金 则苏炳添这五次比赛成绩的众数和平均数分别为( ) A．10.06 s，10.06 s B．10.10 s，10.06 s C．10.06 s，10.08 s D．10.08 s，10.06 s 概念4 方差 4．在一次数学测试中，某小组五名同学的成绩(单位：分)如下表(有两个数据被遮盖)． 组员 得分 甲 81 乙 79 丙 ■ 丁 80 戊 方差 平均成绩 82 ■ 80 那么被遮盖的两个数据依次是( ) A．80，2 B．80，10 C．78，2 D．78，10 6．在一次定点投篮训练中，五位同学投中的个数分别为3，4，4，6，8，则关于这组数据的说法不正确的是( ) A．平均数是5 B．中位数是6 C．众数是4 D．方差是3.2 三个应用 应用1 平均数、中位数、众数的应用 7．某乡镇企业生产部有技术工人15人，生产部为了合理制定产品的每月生产定额，统计了这15人某月的加工零件个数： 每人加工零件个数 人数 540 450 300 240 210 120 1 1 2 6 3 2 (1)写出这15人该月加工零件数的平均数、中位数和众数． (2)假如生产部负责人把每位工人的月加工零件个数定为260，你认为这个定额是否合理？为什么？ 应用2 方差的应用 8．某市团委举办“我的中国梦”为主题的知识竞赛，甲、乙两所学校参赛人数相等，比赛结束后，发现学生成绩分别为70分、80分、90分、100分，并根据统计数据绘制了如下不完整的统计图表： (第8题) 乙校成绩统计表 分数/分 70 80 90 100 人数/人 7 1 8 (1)在图①中，“80分”所在扇形的圆心角度数为________； (2)请你将图②补充完整； (3)求乙校成绩的平均分； (4)经计算知s甲2＝135，s乙2＝175，请你根据这两个数据，对甲、乙两校成绩作出合理评价． 应用3 用样本估计总体的应用 (第9题) 9．随着我市社会经济的发展和交通状况的改善，我市的旅游业得到了高速发展，某旅游公司对我市一企业个人旅游年消费情况进行问卷调查，随机抽查部分员工，记录每个人年消费金额，并将调查数据适当整理，绘制成尚不完整的表和图(如图)． 组别 A B C D E 个人年消费金额x/元 x≤2 000 2 000＜x≤4 000 4 000＜x≤6 000 6 000＜x≤8 000 x＞8 000 合计 频数(人数) 18 a 24 12 c 频率 0.15 b 0.20 0.10 1.00 根据以上信息回答下列问题： (1)a＝________，b＝________，c＝________，并将条形统计图补充完整； (2)在这次调查中，个人年消费金额的中位数出现在________组； (3)若这个企业有3 000名员工，请你估计个人旅游年消费金额在6 000元 以上的人数． 答案 专训1 9×2＋10×5＋12×3 1．解：(1)＝10.4(元)． 2＋5＋3 答：混合后得到的什锦糖果的单价定为每千克10.4元才能保证获得的利润不变． (2) 9×6＋10×3＋12×1 ＝9.6(元)． 6＋3＋1 答：混合后得到的什锦糖果的单价定为每千克9.6元才能保证获得的利润不变． 2．解：(1)甲的成绩： 86×5＋93×3＋73×2 ＝85.5(分)， 5＋3＋2乙的成绩： 81×5＋95×3＋79×2 ＝84.8(分)， 5＋3＋2 所以甲将被录用． (2)甲能，乙不一定能．理由：由频数分布直方图可知，85分及以上的共有7人， 因此甲能被录用，乙不一定能被录用． 3．292 4．解：(1)50－6－12－16－8＝8(名)，补全统计图如图所示． (第4题) (2)由统计图可得＝ 6×1＋12×2＋16×3＋8×4＋8×5 ＝3(h)，估计该校 50 全体学生平均每天完成作业所用总时间为3×1 800＝5 400(h)． 点拨：本题综合考查平均数的应用、样本估计总体以及由统计图获取信息的能力． 5．解：(1)144° (2)4÷计图如图所示． 72° ＝20(人)，20－8－4－5＝3(人)，补全统360° (第5题) (3)由(2)知乙校的参赛人数为20人．因为两校参赛人数相等，所以甲校的参赛人数也为20人，所以甲校得9分的有1人，则甲校学生成绩的平均数为1 (7×11＋8×0＋9×1＋10×8)×＝8.3(分)，中位数为7分． 20 由于两个学校学生成绩的平均数一样，因此从中位数的角度进行分析． 因为乙校学生成绩的中位数为8分，大于甲校学生成绩的中位数，所以乙校的成绩较好． (4)甲校的前8名学生成绩都是10分，而乙校的前8名学生中只有5人的成绩是10分，所以应选甲校． 6．解：(1)因为把合格品数从小到大排列，第25个和第26个数据都为4，所以中位数为4. (2)众数的取值为4或5或6. (3)这50名工人中，单位时间内加工的合格品数低于3的人数为2＋6＝8 8(人)，故估计该厂将接受技能再培训的人数为400×＝64(人)． 50 点拨：此题考查了条形统计图、用样本估计总体、中位数以及众数，弄清题意是解决本题的关键． 7．解：(1)甲厂：8，6，8；乙厂：8.5，7，8；丙厂：8.5，8，8.5. (2)甲厂利用平均数或中位数；乙厂利用了平均数或中位数；丙厂利用了平均数或众数或中位数． (3)选丙厂的节能灯．因为无论从哪种统计量来看，与其他两个厂家相比，丙厂水平都比较高或持平，说明多数样本的使用寿命达到或超过8年． 专训2 1．解：(1)甲种电子钟走时误差的平均数是 1 (1－3－4＋4＋2－2＋2－1－1＋2)＝0(s)， 10 乙种电子钟走时误差的平均数是 1 (4－3－1＋2－2＋1－2＋2－2＋1)＝0(s)． 10(2)s甲s乙2＝ 2 11222 ＝[(1－0)＋(－3－0)＋?＋(2－0)]＝×60＝6， 1010 11 [(4－0)2＋(－3－0)2＋?＋(1－0)2]＝×48＝4.8. 1010 (3)我会买乙种电子钟，因为平均走时误差相同，且甲种电子钟走时误差的方差比乙大，说明乙种电子钟的走时稳定性更好，所以乙种电子钟的质量更优． 11 2．解：(1)x甲＝(50＋36＋40＋34)＝40(kg)，x乙＝(36＋40＋48＋36)＝ 4440(kg)，估计甲、乙两山杨梅的产量总和为40×100×98%×2＝7 840(kg)． 1 (2)s甲2＝[(50－40)2＋(36－40)2＋(40－40)2＋(34－40)2]＝38， 4 s2乙 2乙 1 ＝[(36－40)2＋(40－40)2＋(48－40)2＋(36－40)2]＝24，所以s4 2甲＞s. 估计乙山上的杨梅产量较稳定． 3．解：(1)一班进球平均数： 1 (10×1＋9×1＋8×1＋7×4＋6×0＋5×3)10 ＝7(个)， 二班进球平均数： 1 (10×0＋9×1＋8×2＋7×5＋6×0＋5×2)＝7(个)； 10 一班投中7个球的有4人，人数最多，故众数为7个， 二班投中7个球的有5人，人数最多，故众数为7个； 一班中位数：按顺序排第五、第六名同学进7个球，故中位数为7个， 二班中位数：按顺序排第五、第六名同学进7个球，故中位数为7个． (2)一班的方差s12＝ 1 [(10－7)2＋(9－7)2＋(8－7)2＋4×(7－7)2＋0×(610 －7)2＋3×(5－7)2]＝2.6， 二班的方差s22＝ 1 [0×(10－7)2＋(9－7)2＋2×(8－7)2＋5×(7－7)2＋0×10 (6－7)2＋2×(5－7)2]＝1.4， 二班选手水平发挥更稳定，如果争取夺得总进球数团体第一名，应该选择二班； 一班前三名选手的成绩突出，分别进10个、9个、8个球，如果要争取个人进球数进入学校前三名，应该选择一班． 1 4．解：(1)因为x甲＝(15＋16＋16＋14＋14＋15)＝15； 61 x乙＝(11＋15＋18＋17＋10＋19)＝15. 6 甲路段的中位数为：15；乙路段的中位数为：16. 甲路段极差：16－14＝2；乙路段极差：19－10＝9. s甲 2 2352 ＝，s乙＝. 33 所以相同点：两段台阶路每一级台阶高度的平均数相同．不同点：两段台阶路台阶高度的中位数、方差和极差不同． (2)甲段台阶路走起来更舒服一些，因为它的每一级台阶高度的方差小． (3)每一级台阶高度均整修为15 cm(原数据的平均数)，使得方差为0，此时游客行走最方便． 专训3 1．解：(1)丙将被录用．理由：甲的平均成绩为(85＋70＋64)÷3＝73(分)，乙的平均成绩为(73＋71＋72)÷3＝72(分)，丙的平均成绩为(73＋65＋84)÷3＝74(分)． 因为74>73>72，所以候选人丙将被录用． (2)甲将被录用．理由：甲的测试成绩为(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋ 2)＝76.3(分)，乙的测试成绩为(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72.2(分)，丙的测试成绩为(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72.8(分)， 因为76.3>72.8>72.2，所以候选人甲将被录用． 2．解：(1)这组数据的平均数没有实际意义． (2)这组数据共有110个数据，中位数应是从小到大排列后第55个和第56个数据的平均数，这两个数据都是228，这组数据中228出现的次数最多，所以这组数据的中位数、众数都是228. (3)商场总经理关心的是众数．理由：众数是228，表明容积为228升的冰箱的销量最大，它能为商场带来较多的利润，因此，这种型号的冰箱要多进货，其他的型号则要少进货． 3．解：(1)甲组数据的平均数是14，中位数是14，众数是14；乙组数据的平均数是13.5，中位数是5，众数是5. (2)对于甲群游客，平均数、众数、中位数都能反映这群游客的年龄特征；对于乙群游客，只有中位数和众数能反映这群游客的年龄特征． 4．解：(1)B (2)由统计图可知sB2＝ 1 ×[5×(20－20)2＋3×(19.9－20)2＋(20.1－20)210 ＋(20.2－20)2]＝0.008，平均数相同，而sA2＝0.026，此时有sA2>sB2，所以B的波动性小，即B的成绩较好． (3)派A去参加竞赛较合适．理由：从图中折线走势可知，尽管A的成绩前面起伏较大，但后来逐渐稳定，误差小，预测A的潜力大，选派A去参加竞赛更容易出好成绩． 专训4 1．4.4元/kg 2．C 3．D 点拨：因为10＋13＋12＋15＝50(人)，按照从小到大顺序排列的第20＋20 25个和第26个数据都是20元，所以中位数＝＝20(元)． 2 4．C 5．C 点拨：根据题意得丙的得分为80×5－(81＋79＋80＋82)＝1 78(分)，方差为×[(81－80)2＋(79－80)2＋(78－80)2＋(80－80)2＋(82－80)2] 5＝2.故选C. 6．B 7．解：(1)平均数是260个，中位数是240个，众数是240个． (2)不合理．因为表中数据显示，每月能完成260个的人数一共有4人，还有11人不能达到此定额，尽管260个是平均数，但不利于调动多数员工的积极性，而240个既是中位数，又是众数，是大多数人能达到的定额，故定额为240个较为合理． 8．解：(1)54° (2)6÷30%＝20(人)， 20－6－3－6＝5(人)，统计图补充如下： (第8题) (3)20－1－7－8＝4(人)， 70?7?80?4?90?1?100?8 ＝85(分)． 20x乙＝ (4)因为s甲2 (第9题) (2)C (3)估计个人旅游年消费金额在6 000元以上的人数为3 000×(0.10＋0.20)＝900(人)．
