倒立摆系统的状态空间极点配置控制设计 电子与信息工程学院 自动化094 丛长龙
摘要：为实现多输入、多输出、高度非线不稳定的倒立摆系统平衡稳定控制，将倒
立摆系统的非线性模型进行近似线性化处理，获得系统在平衡点附近的线性化模型。利用牛顿—欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。在分析的基础上，基于状态反馈控制中极点配置法对直线型倒立摆系统设计控制器。由MATLAB仿真表明采用的控制策略是有效的，设计的控制器对直线型一级倒立摆系统的平衡稳定性效果好，提高了系统的干扰能力。
关键词：倒立摆、极点配置、MATLAB仿真
引言：倒立摆是进行控制理论研究的典型试验平台，由于倒立摆本身所具有的高阶
次、不稳定、非线性和强耦合性，许多现代控制理论的研究人员一直将他视为典型的研究对象，不断从中发掘出新的控制策略和控制方法。控制器的设计是倒立摆系统的核心内容，因为倒立摆是一个绝对不稳定的系统，为使其保持稳定并且可以承受一定的干扰，基于极点配置法给直线型一级倒立摆系统设计控制器
1．数学模型的建立
倒立摆系统其本身是自不稳定的系统，实验建模存在着一定的困难。在忽略掉一些次要的因素之后，倒立摆系统就是一典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系中应用经典力学理论建立系统动力学方程。下面采用牛顿-欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。
1.1微分方程的数学模型
在忽略了空气阻力和各种摩擦力之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示：
1
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图1：直线一级倒立摆模型
设系统的相关参数定义如下： M：小车质量 m：摆杆质量 b：小车摩擦系数
l：摆杆转动轴心到杆质心的长度 I：摆杆质量 F：加在小车上的力 x：小车位置
Φ：摆杆与垂直方向上方向的夹角
θ：摆杆与垂直方向下方向的夹角（摆杆的初始位置为竖直向下） 如下图2所示为小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
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图2：小车和摆杆受力分析图
应用牛顿方法来建立系统的动力学方程过程如下： 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下的方程：
Mx?F?bx?N
??由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面的等式：
d2N?m2(x?lsin?)
dt将此等式代入上述等式中，可以得到系统的第一个运动方程：
(M?m)x?bx?ml?cos??ml?sin??F
为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面的方程：
d2P?mg??m2(lcos?)
dt??????2力矩平衡方程如下：
?Plsin??Nlcos??I?
??注意：此方程中力矩的方向，由于
?????cos???cos? sin???sin?故等式前面有负号。
合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：
(I?ml)??mglsin???mlxcos?
2????设θ=π+φ，当摆杆与垂直向上方向之间的夹角φ与1（单位是弧度）相比很小时，即Φ<<1时，则可以进行如下近似处理：
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cos???1sin???? d?()2?0dt线性化后得到该系统数学模型的微分方程表达式：
????2?(I?ml)??mgl??mlx ????????(M?m)x?bx?ml??u
1.2状态空间数学模型
控制系统的状态空间方程可写成如下形式：
X?AX?Bu Y?CX?Du?解代数方程可得如下解：
????x?x?????(I?ml2)bm2gl2(I?ml2)x???u?x?222I(M?m)?MmlI(M?m)?MmlI(M?m)?Mml? ????????????mlbmgl(M?m)ml???x???u222?I(M?m)?MmlI(M?m)?MmlI(M?m)?Mml?整理后可得系统的状态空间方程：
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????0?x???????0?x???????0??????????0??????1?(I?ml2)bI(M?m)?Mml20?mlbI(M?m)?Mml20m2gl2I(M?m)?Mml20mgl(M?m)I(M?m)?Mml20?0????x???2I?ml?0?????2??x??I(M?m)?Mml???????u1?????0???????ml?????0??2?I(M?m)?Mml????x?????x??1000??x??0?y??????????u ?????0010?????0?????????对于质量均匀分布的摆杆，其转动惯量为：
1I?ml2 3代入微分方程模型中得：
????122(ml?ml)??mgl??mlx 3化简后可得：
3g3??????x
4l4l??设X?[xx??],u?x则有：
??T?? 5
