专题10 判断点在圆内外，向量应用最厉害
【题型综述】
点与圆的位置关系的解题策略一般有以下几种：①利用设而不求思想求出圆心坐标，然后计算圆
心到点的距离并和半径比较得解；②向量法，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系：如已知AB????????????????是圆的直径，G是平面内一点，则GA?GB?0?点G在圆内；GA?GB?0?点G在圆外；
????????GA?GB?0?点G在圆上．③方程法，已知圆的方程M:(x?a)2?(y?b)2?r2，点N(x0,y0)，则
(x0?a)2?(y0?b)2?r2?点N在圆M内；(x0?a)2?(y0?b)2?r2?点N在圆M上；(x0?a)2?(y0?b)2?r2?点N在圆M外.
四点共圆问题的解题策略：①利用四点构成的四边形的对角互补；②利用待定系数法求出过其中三点的圆的方程，然后证明第四点坐标满足圆的方程.
【典例指引】
类型一 向量法判定点与圆的位置关系
[来源学科网ZXXK]
x2y22例1 【2015高考福建，理18】已知椭圆E：2+2=1(a>b>0)过点(0,2），且离心率为．
ab2(Ⅰ)求椭圆E的方程； (Ⅱ)设直线x=my-1，(m?R)交椭圆E于A，B两点，
判断点G(-,0)与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由． 【解析】
94
类型二 四点共圆应用问题
例2. （2014全国大纲21）已知抛物线C：y2?2px(p?0)的焦点为F，直线y?4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|?（I）求C的方程；
（II）过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l?与C相较于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程. 【解析】
5|PQ|. 4类型三 动圆过定点问题
[来源:Z§xx§k.Com]
例3 (2012福建理19)右焦点为F2，离心率e?x2y2如图，椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左焦点为F1，
ab1。过F1的直线交椭圆于A,B两点，且?ABF2的周长为8。 2（Ⅰ）求椭圆E的方程。
（Ⅱ）设动直线l:y?kx?m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x?4相交于点Q。试探究： 在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；
若不存在，说明理由。
【解析】
类型四 证明四点共圆
y2?1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-2的直线l与C例4.已知O为坐标原点，F为椭圆C:x?22????????????交与A、B两点，点P满足OA?OB?OP?0.
(Ⅰ)证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上. 【解析】
【扩展链接】
1.O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP?OQ.（1）
111122
???;（2）|OP|+|OQ|
|OP|2|OQ|2a2b24a2b2a2b2的最大值为2;（3）S?OPQ的最小值是2. 22a?ba?bx2y22.若椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，半焦距为c，焦点F1??c,0?,F2?c,0?，设
ab过F1的直线l 的倾斜角为?，交椭圆于A、B两点，则有：①
b2b2２ab2AF1?,BF1? ；②AB?２２２
a?ccos?a?ccos?a?ccos?x2y2若椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，半焦距为c，焦点F1??c,0?,F2?c,0?，设
ab过F２的直线l 的倾斜角为?，交椭圆于A、B两点，则有：①
b2b22ab2AF,BF ；②AB?２２２ ２?２?a＋ccos?a－ccos?a?ccos?2ab2同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为AB?２２２（a为长半轴，b为短半轴，c为
a?csin?半焦距）
?2ab2焦点在x轴上???２２２?a?ccos?结论：椭圆过焦点弦长公式：AB?? 22ab?焦点在y轴上??２２２??a?csin?3.设AB为过抛物线y?2px(p?0)焦点的弦，A(x1,y1)、B(x2,y2)，直线AB的倾斜角为?，则
2p2,y1y2??p2; ①.x1x2?4②.AF?x1?pppp?,BF?x2?? 21?cos?21?cos?
③.AB?x1?x2?p?④.
2p; 2sin?112??； |FA||FB|P32p； 4⑤.OA?OB??⑥.S?AOB11p2?OAOBsin?AOB??OF?hF?； 222sin?【同步训练】
1． 已知椭圆
的离心率
，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距
离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．
【思路点拨】（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，依题意可得：，由此能求出椭圆的方程．
（2）假设存在这样的值．
，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，再由根的判别式和根与系数的关系
进行求解． 【详细解析】 2.已知椭圆（1）若（2）设直线上，且
的右焦点为
，求椭圆的方程；
与椭圆相交于
两点，
分别为线段
的中点，若坐标原点在以
为直径的圆
，离心率为.
，求的取值范围.
【思路点拨】(1)结合所给的数据计算可得，，所以椭圆的方程为.
(2)联立直线与椭圆的方程，集合韦达定理和平面向量数量积的坐标运算法则可得
，结合离心率的范围可知
.
【详细解析】
3.已知椭圆：
（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）椭圆长轴两端点分别为点，又点说明理由．
，过
，点为椭圆上异于
的动点，直线：
过点
，且离心率
．
则的取值范围是
与直线分别交于两
三点的圆是否过轴上不同于点的定点？若经过，求出定点坐标；若不存在，请
【思路点拨】（1）运用椭圆的离心率公式和点代入椭圆方程，由a，b，c的关系，即可得到椭圆方程； （2）设【详细解析】
，由椭圆方程和直线的斜率公式，以及两直线垂直的条件，计算即可得证．
x2y2?1的焦点F1、F2在x轴上，且椭圆E1经过P?m,?2?(m?0)，过点P的直线l4.已知椭圆E1： 2?a6与E1交于点Q，与抛物线E2： y?4x交于A、B两点，当直线l过F2时?PFQ1的周长为203． （Ⅰ）求m的值和E1的方程；
（Ⅱ）以线段AB为直径的圆是否经过E2上一定点，若经过一定点求出定点坐标，否则说明理由。 【思路点拨】（1）由?PFQ1的周长为203求得a,再根据椭圆E1经过P?m,?2?求得m.
[来源:Z.xx.k.Com]2
（2）设直线l方程:x?5?n?y?2? ，与抛物线方程联立方程组，消x得关于y的一元二次方程，结合韦达定理，化简以线段AB为直径的圆方程，按参数n整理，根据恒等式成立条件求出定点坐标
【详细解析】
5.已知抛物线C顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线C上一点Q?a,2?到焦点的距离为3，线段AB的两端点A?x1,y1?， B?x2,y2?在抛物线C上. （1）求抛物线C的方程；
（2）若y轴上存在一点M?0,m?(m?0)，使线段AB经过点M时，以AB为直径的圆经过原点，求m的值；
（3）在抛物线C上存在点D?x3,y3?，满足x3?x1?x2，若?ABD是以角A为直角的等腰直角三角形，求?ABD面积的最小值.
【思路点拨】（1）根据抛物线的定义，丨QF丨=丨QQ1丨，即可求得p的值，即可求得抛物线方程；
????????（2）设AB的方程，代入椭圆方程，由OA?OB?0，根据向量数量积的坐标运算及韦达定理，即可求得m
的值；
?x12（3）设A?x1,4?2??x2?， B?x2,4??2?x3??， Cx,?3?，根据抛物线关于y轴对称，取x1?0，记kAB?k1， ?4???kAD?k2，则有k1?x?x1x2?x1， k2?3，所以x2?4k1?x1， x3?4k2?x1， k1?k2??1，由4421224k13?4， AB?AD，即1?k?x2?x1?1?k?x3?x1，进而化简求出x1，得： x1?22k1?2k1S?ABD?4k12?4?1122??|AB|??1?k1??2?，即可求得△ABD面积的最小值． 22k?k1??12??【详细解析】
?x2y22?6.已知椭圆C： 2?2?1（a?b?0）经过点P?1,，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等???ab?2?腰直角三角形.
（1）求椭圆的方程；
1n?0（m， n?R）交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存3在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T.若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.
（2）动直线l： mx?ny?【思路点拨】（1）由题设知a=
x2y222b，所以 2?2?1 ，椭圆经过点P（1， ），代入可得b=1，
2bb2a=2，由此可知所求椭圆方程. （2）首先求出动直线过（0，﹣
1116）点．当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x2+（y+）2=；339116x2?（y?）2?当l与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x2+y2=1．由{39 ．由此入手可求出点T的
x2?y2?1坐标．
【详细解析】
y2x227.如图，曲线C由上半椭圆C1： 2?2?1（a?b?0， y?0）和部分抛物线C： y??x?1（y?0）
ab连接而成， C1与C2的公共点为A， B，其中C1的离心率为
3． 2
【思路点拨】（1）根据抛物线的定义，丨QF丨=丨QQ1丨，即可求得p的值，即可求得抛物线方程；
????????（2）设AB的方程，代入椭圆方程，由OA?OB?0，根据向量数量积的坐标运算及韦达定理，即可求得m
的值；
?x12（3）设A?x1,4?2??x2?， B?x2,4??2?x3??， Cx,?3?，根据抛物线关于y轴对称，取x1?0，记kAB?k1， ?4???kAD?k2，则有k1?x?x1x2?x1， k2?3，所以x2?4k1?x1， x3?4k2?x1， k1?k2??1，由4421224k13?4， AB?AD，即1?k?x2?x1?1?k?x3?x1，进而化简求出x1，得： x1?22k1?2k1S?ABD?4k12?4?1122??|AB|??1?k1??2?，即可求得△ABD面积的最小值． 22k?k1??12??【详细解析】
?x2y22?6.已知椭圆C： 2?2?1（a?b?0）经过点P?1,，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等???ab?2?腰直角三角形.
（1）求椭圆的方程；
1n?0（m， n?R）交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存3在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T.若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.
（2）动直线l： mx?ny?【思路点拨】（1）由题设知a=
x2y222b，所以 2?2?1 ，椭圆经过点P（1， ），代入可得b=1，
2bb2a=2，由此可知所求椭圆方程. （2）首先求出动直线过（0，﹣
1116）点．当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x2+（y+）2=；339116x2?（y?）2?当l与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x2+y2=1．由{39 ．由此入手可求出点T的
x2?y2?1坐标．
【详细解析】
y2x227.如图，曲线C由上半椭圆C1： 2?2?1（a?b?0， y?0）和部分抛物线C： y??x?1（y?0）
ab连接而成， C1与C2的公共点为A， B，其中C1的离心率为
3． 2
