第4讲 函数及其表示
考纲要求 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单应用.
1．函数的概念
一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有__唯一确定__的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的__定义域__，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈
考情分析 2017·全国卷Ⅲ，3 2017·山东卷，9 2016·全国卷Ⅱ，10 命题趋势 1.对函数的基本概念与定义域的考查常与指数函数、对数函数综合出题． 2．考查函数的值域及最值． 3．函数的表示方法，主要考查分段函数求值，或者研究含参数的分段函数2016·江苏卷，5 问题． 2015·全国卷Ⅰ，10 分值：5分 4．函数的新定义问题，主要考查函数的综合知识，以其他知识为背景，分析后仍然用函数知识去解决，此类问题综合性比较强. A}叫做函数的__值域__.
2．函数的表示方法
(1)用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做__解析法__. (2)用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做__图象法__. (3)列出表格表示两个变量之间的对应关系的方法叫做__列表法__. 3．函数的三要素
(1)函数的三要素：__定义域__、对应关系、值域．
(2)两个函数相等：如果两个函数的__定义域__相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等．
4．分段函数
若函数在定义域的不同子集上的__对应关系__不同，则这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数．
5．映射的概念
一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有__唯一确定__的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．
6．复合函数
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数．
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)函数是从其定义域到值域的映射．( √ )
(2)若函数的定义域和值域相同，则这两个函数是相等函数．( × ) (3)函数f(x)＝x－x与g(t)＝t－t是同一函数．( √ ) (4)f(x)＝x－3＋2－x是一个函数．( × ) (5)A＝R，B＝R，对应关系f：x→y，y＝解析 (1)正确．函数是特殊的映射．
(2)错误．如函数y＝x与y＝x＋1的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，不是相等函数．
(3)正确．函数f(x)＝x－x与g(t)＝t－t的定义域和对应关系相同． (4)错误．因为定义域为空集.
(5)错误．当x＝－1时，y值不存在，所以对应不是从A到B的映射．
2．已知数集A＝{1,2,3,4}，设f：x→y，g：x→y都是由A到A的映射，其对应关系如下表(从上到下)，则与f(g(2))相同的是( B )
表1 映射f的对应关系
2
2
2
2
1
，其对应是从A到B的映射．( × ) x＋1
x y 1 3 2 4 3 2 4 1 表2 映射g的对应关系 x y
A．g(f(1)) C．g(f(3))
1 4 2 3 3 1 4 2 B．g(f(2)) D．g(f(4))
解析 f(g(2))＝f(3)＝2，g(f(2))＝g(4)＝2.故选B．
3．(2018·齐鲁名校协作体联考)下列各组函数中，表示同一函数的是( D ) A．f(x)＝e
ln x，g(x)＝x
x2－4
B．f(x)＝，g(x)＝x－2
x＋2
sin 2xC．f(x)＝，g(x)＝sin x
2cos xD．f(x)＝|x|，g(x)＝x
解析 A，B，C项的解析式相同，但定义域不同，只有D项正确． 4．已知函数f(x)＝x－1，若f(a)＝3，则实数a＝__10__. 解析 因为f(a)＝a－1＝3，所以a－1＝9，即a＝10.
??x，x∈?－∞，a?，
5．设f(x)＝?2
??x，x∈[a，＋∞?，
2
若f(2)＝4，则a的取值范围为__(－∞，2]__.
解析 因为f(2)＝4，所以2∈[a，＋∞)，所以a≤2，则a的取值范围为(－∞，2]．
一 求函数定义域
(1)求函数的定义域要从对函数的定义域的理解开始．函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，认清楚自变量后，就要从使解析式有意义的角度入手了．一般来说，在高中范围内涉及的有：①开偶次方时被开方数为非负数；②分式的分母不为零；③零次幂的底数不为零；④对数的真数大于零；⑤指数、对数的底数大于零且不等于1；⑥实际问题还需要考虑使题目本身有意义；⑦若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合．
(2)求复合函数的定义域一般有两种情况：
①已知y＝f(x)的定义域是A，求y＝f(g(x))的定义域，可由g(x)∈A求出x的范围，即为y＝f(g(x))的定义域；
②已知y＝f(g(x))的定义域是A，求y＝f(x)的定义域，可由x∈A求出g(x)的范围，即为y＝f(x)的定义域．
【例1】 (1)函数f(x)＝3x2
lg(3x＋1)的定义域是( B )
1－x?1?A．?－，＋∞? ?3??11?C．?－，? ?33?
?1?B．?－，1? ?3?
1??D．?－∞，－? 3??
(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝
??1－x>0，
解析 (1)要使函数有意义，需满足?
?3x＋1>0，?
f?2x?
的定义域为__[0,1)__. x－1
1
解得－ 3 ??x－1≠0，(2)由? ?0≤2x≤2，? 得0≤x<1，即定义域是[0,1)． 二 求函数解析式 函数解析式的常见求法 (1)配凑法．已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)的问题，往往把右边的g(x)整理或配凑成只含h(x)的式子，然后用x将h(x)代换． (2)待定系数法．已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数f(x)可设为f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a，b，c即可． (3)换元法．已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)时，往往可设h(x)＝t，从中解出x，代入 2 g(x)进行换元．应用换元法时要注意新元的取值范围． (4)方程组法．已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量， ?1?如f??(或f(－x))等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出x?? f(x)． ?1＋x?＝x＋1＋1，则f(x)＝( C ) 【例2】 (1)已知f??x2x?x? A．(x＋1) C．x－x＋1 2 2 2 B．(x－1) D．x＋x＋1 2 2 125(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝2，f(x＋1)＝f(x)＋x＋3，则f(x)＝__x＋x＋ 222__. ?1?(3)若函数f(x)满足方程af(x)＋f??＝ax，x∈R，且x≠0，a为常数，a≠±1，且a≠0， x?? a?ax2－1? 则f(x)＝__2__. ?a－1?x?1＋x?＝x＋1＋1＝?x＋1?2－x＋1＋1. 解析 (1)f????x2x?x?x?x? 2 令 x＋122 ＝t，得f(t)＝t－t＋1，即f(x)＝x－x＋1. x2 2 (2)设f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝c＝2，得f(x)＝ax＋bx＋2，则f(x＋1)－ f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝2ax＋a＋b＝x＋3，所以2a＝1，且a＋b＝3， 15125 解得a＝，b＝，故f(x)＝x＋x＋2. 2222 aa?ax－1??1??1?(3)因为af(x)＋f??＝ax，所以af??＋f(x)＝，两方程联立解得f(x)＝2. x?a－1?x?x??x? 三 分段函数 分段函数两种题型的求解策略 (1)根据分段函数的解析式求函数值．首先确定自变量的取值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围)．应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围． 注意：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论． 2 ?x，0 【例3】 (1)(2017·山东卷)设f(x)＝? ?2?x－1?，x≥1. ＝( C ) A．2 C．6 ??x＋x，x<0， (2)设函数f(x)＝?2 ?－x，x≥0.? 2 ?1?若f(a)＝f(a＋1)，则f?? ?a? B．4 D．8 若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是__(－∞， 2]__. 解析 (1)当0 f(a)＝a，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a. 1 ∵f(a)＝f(a＋1)，∴a＝2a，解得a＝或a＝0(舍去)． 4 ?1?∴f??＝f(4)＝2×(4－1)＝6. ?a? 当a>1时，a＋1>2， ∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a， ∴2(a－1)＝2a，无解． 当a＝1时，a＋1＝2，f(1)＝0，f(2)＝2，不符合题意． ?1?综上，f??＝6.故选C． ?a? ??f?a?<0， (2)由题意得?2 ?[f?a?]＋f?a?≤2? ??f?a?≥0， 或?2 ?－[f?a?]≤2，? 解得f(a)≥－2. ??a<0， 由?2 ?a＋a≥－2? ??a≥0， 或?2 ?－a≥－2，? 解得a≤2. lg?－x＋x＋2? 1．函数f(x)＝的定义域为( A ) 2 xA．(－1,0)∪(0,2) B．(－1,0)∪(0，＋∞) C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(－1,2) ??－x＋x＋2>0，解析 ? ?x≠0? 2 ?x∈(－1,0)∪(0,2)．故选A． ??log3x，x>0，2．(2018·内蒙古巴彦卓尔一中期中)已知函数f(x)＝?x?2，x≤0，? ??1??则f?f???＝ ??9?? ( D ) A．4 C．－4 1B．－ 41D． 4 11?1???1??1－2 解析 f??＝log3＝－2，f(－2)＝2＝，所以f?f???＝.故选D． 94?9???9??4 3．(2018·重庆巴蜀中学月考)已知函数f(x)满足f(x＋1)＝x＋2x＋3，则f(x)的解析式是 ( B ) A．f(x)＝x－2 C．f(x)＝x－2x 2 2 22 2 B．f(x)＝x＋2 D．f(x)＝x＋2x 2 2 解析 ∵f(x＋1)＝x＋2x＋3＝(x＋1)＋2， ∴f(x)＝x＋2.故选B． ??－x，x≤0， 4．若f(x)＝?2 ?x－2x，x>0，? 2 则f(x)的最小值是__－1__. 2 2 解析 当x≤0时，f(x)＝－x，此时f(x)min＝0；当x>0时，f(x)＝x－2x＝(x－1)－1，此时f(x)min＝－1.综上，当x∈R时，f(x)min＝－1. ?1?综上，f??＝6.故选C． ?a? ??f?a?<0， (2)由题意得?2 ?[f?a?]＋f?a?≤2? ??f?a?≥0， 或?2 ?－[f?a?]≤2，? 解得f(a)≥－2. ??a<0， 由?2 ?a＋a≥－2? ??a≥0， 或?2 ?－a≥－2，? 解得a≤2. lg?－x＋x＋2? 1．函数f(x)＝的定义域为( A ) 2 xA．(－1,0)∪(0,2) B．(－1,0)∪(0，＋∞) C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(－1,2) ??－x＋x＋2>0，解析 ? ?x≠0? 2 ?x∈(－1,0)∪(0,2)．故选A． ??log3x，x>0，2．(2018·内蒙古巴彦卓尔一中期中)已知函数f(x)＝?x?2，x≤0，? ??1??则f?f???＝ ??9?? ( D ) A．4 C．－4 1B．－ 41D． 4 11?1???1??1－2 解析 f??＝log3＝－2，f(－2)＝2＝，所以f?f???＝.故选D． 94?9???9??4 3．(2018·重庆巴蜀中学月考)已知函数f(x)满足f(x＋1)＝x＋2x＋3，则f(x)的解析式是 ( B ) A．f(x)＝x－2 C．f(x)＝x－2x 2 2 22 2 B．f(x)＝x＋2 D．f(x)＝x＋2x 2 2 解析 ∵f(x＋1)＝x＋2x＋3＝(x＋1)＋2， ∴f(x)＝x＋2.故选B． ??－x，x≤0， 4．若f(x)＝?2 ?x－2x，x>0，? 2 则f(x)的最小值是__－1__. 2 2 解析 当x≤0时，f(x)＝－x，此时f(x)min＝0；当x>0时，f(x)＝x－2x＝(x－1)－1，此时f(x)min＝－1.综上，当x∈R时，f(x)min＝－1.
