命题的真假、充分条件与必要条件、集合的包含关系是统一的,可以互相转化． 【例5】命题p：实数x满足x2?4ax?3a2?0,其中a?0,命题q：实数
x满足 x2?x?6?0或
x2?2x?8?0,且 q是p的必要不充分条件,求a的取值范围.
【分析】首先将命题p,q包含的对象组成的集合表示,将必要不充分条件转化为集合的包含关系,进而利用集合知识解决．
【点评】利用充分条件、必要条件求参数的取值范围,往往通过转化为集合的包含关系,利用维恩图或者数轴数形结合求解．
【小试牛刀】已知P＝{x|x2－8x－20≤0},S＝{x|1－m≤x≤1＋m}． (1)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件,若存在,求出m的范围； (2)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的必要条件,若存在,求出m的范围． (六) 集合与不等式的交汇
集合的元素就是不等式的解,通过解不等式,从而确定集合元素的范围,转化为集合的运算处理．
2【例3】已知全集U?R,集合A?xx?2x?3?0,x?R,
??B??xm?2?x?m?2?, 若?CUA??B??x0?x?3?,则实数m的值为 .
【分析】集合元素是不等式的解,故首先解不等式得A,B,利用集合运算得实数m的值
【解析】由题意A?{x|x??1或x?3},则e},由?CUA??B?x0?x?3得UA?{x|?1?x?3??
?m?2?0,解得m?2． ??m?2?3【点评】集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
2【小试牛刀】【2018届常熟中学高三10月阶段性抽测（一）】已知集合A?xx?3x?0,
??B??x2a?x?a?3,a?R?.
（1）当a?1时,求A?B；
（2）若A?B?A,求实数a的取值范围.
五、迁移运用
1.【2018届常州市高三上武进区高中数学期中】已知P??x|?1?x?1 ?, Q??x|0?x?2 ?,则
P?Q?________.
2. 若集合A?{x|(x?1)2?3x?7,x?R},则A?Z中有 个元素
3．【2018届江苏省如东高级中学高三上学期期中】已知全集为R,且集合A?{x|?2?x?2},
B?{x|log2?x?1??2},则A?B?__________．
????4．已知P?aa?(1,0)?m(0,1),m?R,Q?bb?(1,1)?n(?1,1),n?R是两个向量集合,则
????P?Q?___________________
5.已知集合A＝｛（x,y）｜x?y?1,x,y?Z｝,B＝｛（x,y）｜|x|?2,|y（x1|?3,,xy?Z｝,设集合M＝｛＋x2,y1＋y2）｜(x1,y1)?A,(x2,y2)?B｝,则集合M中元素的个数为 ．
6.设集合X是实数集R的子集,如果点x0?R满足：对任意a?0,都存在x?X,使得0?|x?x0|?a,那么称x0为集合X的聚点．则在下列集合中①{22n|n?Z,n?0}；②{x|x?R，x?0}；③ n?11{|n?Z,n?0}；④整数集Z． n以0为聚点的集合有 ．（请写出所有满足条件的集合的编号）
22p为常数,n?2,n?N?）,则称数列{an}为等方差数列,p为公方差,已7．若数列?an?满足an?an?1?p（
知正数等方差数列{an}的首项a1?1,且a1,a2,a5成等比数列,a1?a2,设集合
??111???A??TnTn?????,1?n?100,n?N?,取A的非空子集B,若B的元素都是
a?aa?aa?a??1223nn?1??整数,则B为“完美子集”,那么集合A中的完美子集的个数为 ．
?8.设M为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数λ和向量∈M,都有?a?M,则称M为“点射域”,在此
基础上给出下列四个向量集合：①{（x,y）|y≥x}；②{（x,y）|
|3x+2y﹣12＜0}．其中平面向量的集合为“点射域”的序号是 ． 9.【2018届东台安丰中学高三第一次月考】已知函数f?x??2
2
2
}；③{（x,y）|x+y﹣2y≥0}；④{（x,y）
22
21?4x?x2的值域为A,函数
f?x??ln?x?a?的定义域为B．
（1）若A?B??,求实数a的取值范围； （2）A?B?A,求实数a的取值范围．
10．【2018届江苏省南京市金陵中学高三上学期10月考】已知A??x?1?3x??1?0?,
?x?7?B?xx2?4x?4?m2?0,m0,
（1）若m?3,求A?B；
（2）若A?B?B,求实数m的取值范围．
11．【2018届江苏省东台市创新学校高三9月月考】已知函数f?x??或x＞a+1}
（1）求集合A； （2）若A?B,求实数a的取值范围． 12．【2017届江苏省南京师范大学附属中学高三高考模拟】已知数集
??x?1的定义域为集合A,B={x|x＜ax?2A??a1,a2,...,an??1?a1?a2?...?an,n?4?具有性质P:对任意的k?2?k?n?,?i,j?1?i?j?n?,使
得ak?ai?aj成立.
（1）分别判断数集?1,2,4,6?与?1,3,4,7?是否具有性质P,并说明理由； （2）求证： a4?2a1?a2?a3 ； （2）若an?72,求n的最小值.
*13．【2017届江苏省苏北三市高三年级第三次模拟】已知集合U??1,2,?,n?n?N,n?2,对于集合U的
??两个非空子集A, B,若A?B??,则称?A,B?为集合U的一组“互斥子集”．记集合U的所有“互斥子集”的组数为f?n? (视?A,B?与?B,A?为同一组“互斥子集”)． （1）写出f?2?, f?3?, f?4?的值； （2）求f?n?．
14．【2017届江苏省南通市年高考数学全真模拟】若数列?an?和?bn?的项数均为m,则将数列?an?和?bn?的距离定义为
?a?bii?1mi.学+科网
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（1）求数列1,3,5,6和数列2,3,10,7的距离. （2）记A为满足递推关系an?1?1?an的所有数列?an?的集合,数列?bn?和?cn?为A中的两个元素,且项数1?an均为m.若b1?2, c1?3,数列?bn?和?cn?的距离小于2016,求m的最大值.
（3）记S是所有7项数列?an?（其中1?n?7, an?0或1）的集合, T?S,且T中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证： T中的元素个数小于或等于16.
专题一 集合、函数与导数 问题一：集合与其他知识的交汇问题
一、考情分析
集合是高中数学的基础知识,也是高老必考内容之一,它渗透到高中数学的各个领域,以简易逻辑、函数、方程、不等式、向量、解析几何等为背景的集合问题在试卷中频频出现,其特点是综合性高．解题时要求首先其集合语言,脱去其外衣,挖掘其本质的数量关系,再利用相关知识解决．江苏高考中专门考集合的题一般是试卷的第一题或第二题,主要考查集合的运算与集合的概念,此外集合与其他知识的交汇问题也会出现在解答题中．
二、经验分享
(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合；如下面几个集合请注意其区别： ①xx?2x?0；②xy?x?2x；③yy?x?2x；④
?2??2??2???x,y?y?x2?2x.
?(2)二元方程的解集可以用点集形式表示,如二元方程xy?2的整数解集可表示为
??1,2?,?2,1?,??1,?2?,??2,?1??.
(3)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题． (4)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系.
(5)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况．
(6)解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点：①紧扣新定义．首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；②用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质．
(7)对于复杂的集合与其他知识的交汇问题,首先要看能否化简给定集合,然后看与哪一类知识的交汇,再把集合语言转化为该类知识的表达形式,最后利用有关知识去解决.
三、知识拓展
1．若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1. 2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B?A?痧UB???A????UB??U .
3．奇数集：xx?2n?1,n?Z?xx?2n?1,n?Z?xx?4n?1.n?Z.
??????
4. 数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N对加法运算是封闭的;整数集Z对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数集对四则运算是封闭的.对加、减、乘运算封闭的数集叫数环,有限数集{0}就是一个数环,叫零环.设F是由一些数所构成的集合,其中包含0和1,如果对F中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为0),仍是F中的数,即运算封闭,则称F为数域.
四、题型分析
(一) 集合与函数的交汇
集合与函数的交汇问题主要有两类,一是与函数定义域及值域有关的集合运算问题,解决此类一般是先把参与运算的集合化为最简,然后再按集合的运算法则进行运算；另一类是具有某些性质的函数组成一个集合,解决此类问题是理解集合中元素的特征,根据其特征把问题转化为函数问题求解.
【例1】已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T,对任意x∈R,有
f(x?T)?Tf(x)成立.学+科网
（1）函数f(x)?x是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数f(x)?a(a?0且a?1）的图象与y?x的图象有公共点,证明：f(x)?a∈M；（3）若函数f(x)?sinkx∈M ,求实数k的取值范围.
【分析】抓住集合M元素的特征,集合M是由满足f(x?T)?Tf(x)的函数构成．
xx
（3）当k=0时,f （x）=0,显然f （x）=0∈M． 当k≠0时,因为f （x）=sinkx∈M,所以存在非零常数T,
对任意x∈R,有f （x＋T）= T f （x）成立,即sin（kx＋kT）= T sinkx． 因为k≠0时,且x∈R,所以kx∈R,kx＋kT∈R, 于是sinkx∈[－1,1],sin（kx＋kT） ∈[－1,1], 故要使sin（kx＋kT） = Tsinkx成立,只有T=±1． 当T＝1时,sin（kx＋k）= sinkx成立,则k=2m?,m∈Z． 当T＝－1时,sin（kx－k）= －sinkx成立,
即sin（kx－k＋?） = sinkx成立,则－k＋? =2m?,m∈Z,即k= －（2m－1） ?,m∈Z．综合得,实数k的取值范围是{k | k= m?,m∈Z }．
【点评】首先确定集合中的元素是什么,弄清集合元素的特征,然后按集合中元素满足的条件进行再运算． 【小试牛刀】【2018届江苏省淮安中学2018届高三数学月考】设函数f?x???x2?2x?15,集合
A??x|y?f?x? ?,B? ?y|y?f?x? ?,则如图中阴影部分表示的集合为__________．
(二) 集合与数列的交汇
【例2】设集合W由满足下列两个条件的数列{an}构成： ①
an?an?2?an?1；②存在实数M,使an?M（n为正整数）. 2⑴在只有5项的有限数列{an},{bn}中,其中a1?1,a2?2,a3?3,a4?4,a5?5； b1?1,b2?4,b3?5,b4?4,b5?1；试判断数列{an},{bn}是否为集合W的元素；
⑵设{cn}是各项为正的等比数列,Sn是其前n项和,c3?17,S3?,证明数列{Sn}?W；并写出M的取值范围； 44【分析】求解此题的关键是理解中集合W的数列所满足的两个条件 a1?a3?2?a2,显然不满足集合W的条件①, 2故{an}不是集合W中的元素,对于数列{bn},当n?{1,2,3,4,5}时,
【解析】⑴对于数列{an},取
不仅有
b1?b3b?bb?b?3?b2,24?4?b3,33?3?b4,而且有bn?5,222[来源学。科。网]
显然满足集合W的条件①②,故{bn}是集合W中的元素． ⑵∵{cn}是各项为正数的等比数列,Sn是其前n项和,c3?设其公比为q?0,∴
17,S3?, 44c3c37??c?,整理得6q2?q?1?0． 32qq4
∴q?111,∴c1?1,cn?n?1,Sn?2?n?1 ,
222对于任意n?N*,有
Sn?Sn?2111?2?n?n?2?2?n?Sn?2,且Sn?2, 2222故{Sn}?W,且M??2,???
【小试牛刀】【2018届高三南京市联合体学校调研测试】已知n?N*,n?2,k???,k??1,1? ,1,k2,k3,n?A?x?0|x?k1?2?k2?22?????kn?2n
记A?n?为集合A中所有元素之和
（1）求A?3?的值；（2）求A?n? （用n表示） (三) 集合与排列组合的交汇
涉及集合的子集个数问题时,常与排列组合联系在一起
【例3】设n?3，n?N,在集合?1，，2???，n?的所有元素个数为2的子集中,把每个子集的较
*??大元素相加,和记为a,较小元素之和记为b． （1）当n?3时,求a，b的值； （2）求证：对任意的n?3，n?N*,
b为定值． a【分析】（1）写出n=3时,集合{1,2,3}的所有元素个数为2的子集,计算a,b即可；
1111（2）对任意的n≥3,n∈N*, b?1?C1n?1?2?Cn?2?3?Cn?3??????n?2??Cn??n?2???n?1??Cn??n?1?,利用
组合数的性质可得a?2?C1?3?C2?4?C3??????n?1??Cn?2?n?Cn?1=2C3n?1,又
1111133,所以a?b??1?2?3?????n??C1?3Cb?Cn?1n?1n?1． 从而
b1?为定值. a2【解析】（1）当n?3时,集合?1，，23?的所有元素个数为2的子集为： ?1，2?, ?1，3?,
3?,所以a?2?3?3?8, B?1?1?2?4． ?2，（2）当n?3，n?N时,依题意,
*[来源学_科_网]
1111b?1?C1n?1?2?Cn?2?3?Cn?3??????n?2??Cn??n?2???n?1??Cn??n?1?,
a?2?C1?3?C2?4?C3??????n?1??Cn?2?n?Cn?1
11111 ?2?1?3?2?4?3??????n?1???n?2??n??n?1?．
则
a22232223223?C22+C3?C4?????Cn ?C3+C3?C4?????Cn ?C4+C4?????Cn ?????Cn?1 2所以a?2C3n?1．
又a?b??1?2?3?????n??Cn?1?1n?n?1?23??n?1??3C3n?1,所以b?Cn?1．
从而
b1?． a2r【点评】若集合A中含有n个元素,则集合A的r元子集个数为Cn?r?n?
【小试牛刀】【2017届江苏省南通市年高考数学全真模拟】从集合M??1,2,3,4,5,6,7,8,9?中,抽取三个不同的元素构成子集?a1,a2,a3?.
（1）求对任意的i?j满足ai?aj?2的概率；
（2）若a1,a2,a3成等差数列,设其公差为?(??0),求随机变量?的分布列与数学期望.(四) 集合与解析几何的交汇
曲线是由满足某种条件的点组成的集合,由集合的运算得出曲线之间具有的某种特殊位置关系,进而转化为解析几何知识求解． 【例4】已知M??(x,y)|[来源学科网Z,X,X,K]
??y?3??3?,N?{(x,y)|ax?2y?a?0},M?N??,则a?________. x?2?【分析】首先分析集合M是除去点(2,3)的直线y?3x?3,集合N表示过定点(?1,0)的直线,M?N??等价于两条直线平行或者直线ax?2y?a?0过(2,3),进而列方程求a的值．
【点评】分析集合元素的构成,将集合运算的结果翻译到两条直线的位置关系是解题关键．
[来源学科网ZXXK]
?x2y2?【小试牛刀】已知集合M??(x,y)??1?,N?(x,y)y?k(x?b)?,若?k?R,使得M?N??成
94???立,则实数b的取值范围是___________________. (五) 集合与简易逻辑的交汇
