例析数列知识点
第一节 数列的概念与简单表示法
1. 数列的概念：按一定次序排列成的一列数.
数列中的每一个数都叫这个数列的，每一项对应的序号叫做项数.
数列可以看成以正整数集N（或它的有限子集{1,2,3,?,n}）为定义域的函数an*?f(n)当自变量从小到大依
次取值时对应的一列函数值. 数列的一般形式：a1,a2,a3,?,an,?，或简记为{an}.
2. 数列的分类：
（1）根据数列项数的多少分：① 有穷数列：项数有限的数列. ② 无穷数列：项数无限的数列. （2）根据数列项的大小分：
① 递增数列：(an?1?an)； ② 递减数列：(an?1?an)； ③ 常数数列：(an?1?an)；
④ 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.
例、已知数列{an}中，an?n2??n，且{an}是递增数列，求实数?的取值范围 3. 数列的通项公式：如果数列?an?的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，记为an?f(n).
注：并不是所有数列都有通项公式，且一个数列的通项公式有时并非唯一.
例、已知数列1，－1，1，－1，?，则下列各式中，不能作为它的通项公式的是（ ）
A．an?(?1)n?1 B．an?sin?1(2n?1)? C．an??2??1(n为奇数)(n为偶数) D．an?(?1)n
4. 数列的递推公式：如果已知数列?an?的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an?1 （或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
例1、在矩形纸片内取n(n∈N*)个点，连同矩形的4个顶点共(n+4)个点，这(n+4)个点中无三点同在一直线上，以这些点作三角形的顶点，把矩形纸片剪成若干个三角形纸片，把这些三角形纸片的个数记为an
（1）求a1，a2；
（2）求数列{an}的递推公式；
（3）根据递推公式写出数列{an}的前6项。 5. 数列的表示法：
（1）列表法：a1,a2,a3,?,an,?
（2）图象法：数列可以用一群孤立的点表示. （3）解析法（公式法）：通项公式或递推公式. 6. 数列的前n项和Sn与an之间的关系：an??注意：（1）用anS1(n?1)
?Sn?Sn?1(n?2)??Sn?Sn?1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n?2，当n?1时，
a1?S1）；（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an?Sn?Sn?1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解。
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例1、设数列{an}的前n项和Sn?n2，则a8的值为 例2、已知数列?an?的前n项和Sn?3?2n，求an= 7. 数列的一般性质：
（1）单调性：若an?1?an，则数列?an?为递增数列；若an?1?an，则数列?an?为递减数列. 例、设函数f(x)?log2x?logx2,0?x?1，数列?an?满足f(2n)?2n,n?N*。
a（1）求数列?an?的通项公式；
（2）证明数列?an?为n的单调数列。
（2）周期性：若an?k?an（n?N*,k为非零常数），则数列?an?是以k为周期的数列. 例1、已知数列{an}满足a1?0,an?1?an?33an?1(n?N*)，则a20= 例2、若数列?an?满足an?11?2a,(0?a?)n?6?n2，若a1?，则a20的值为___________。 ??7?2a?1,(1?a?1)nn?2??an?an?1?an?an?1（3）在数列?an?中，若an最大，则?；若an最小，则?.（其中n?2）
a?aa?an?1n?1?n?n例、已知an?
n*(n?N)，则在数列{an}的最大项为 2n?156第二节 等差数列及其前n项和
1. 等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。 2. 等差数列的通项公式：
an?a1?(n?1)d?an?dn?(a1?d)?an?kn?b。特别地，当a1?d时，an?nd.
an?am?(n?m)d
例、等差数列{an}中，a10?30，a20?50，则通项an? ；
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3. 等差数列的公差计算方法：
d?an?1?an；d?an?a1a?am；d?n；由an?kn?b观察得d?k. n?1n?m例1、若在a、b两数（a≠b）之间插入三个数，使它们成等差数列，其公差为d1；若在a、b两数之间插入四个数，使它们也成等差数列，其公差为d2，则
d1的值为 d2
例2、首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ 4. 等差中项：如果A?a?b，那么A叫做a与b的等差中项. 2例、若lg2,lg(2x?1),lg(2x?3)成等差数列，则x的值等于 5. 等差数列的前n项和公式：
Sn?n(a1?an)n(a2?an?1)n(a3?an?2)???? 222n(n?1)d1Sn?na1?d?n2?(a1?d)n ? Sn?An2?Bn.
222例、集合M?mm?2n?1,n?N,m?60的元素个数是 ，这些元素的和为 . 6. 等差数列的判定方法：
（1）定义法： an?1?an?d （2）中项法： 2an?1?an?an?2 （3）通项公式法： an?kn?b （4）前n项和公式法： Sn?An2?Bn 例1、已知数列{an}中，a1??*?311**
，an?2? (n≥2,n∈N),数列{bn}满足bn?(n∈N). 5an?1an?1求证：数列{bn}是等差数列。
例2、已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3?a4?117,a2?a5?22 （1）求通项an； (2)若数列{bn}满足bn?Sn,是否存在非零实数c使得{bn}为等差数列？n?c若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由.
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7. 等差数列及其前n项和的性质：
（1）等差数列角码和定理：在等差数列?an?中，若p?q?m?n，则ap?aq?am?an. 特别地，若2m?p?q，则2am?ap?aq.
例1、如果等差数列?an?中，a3?a4?a5?12，那么a1?a2?...?a7?28
例2、设等差数列?an?的前n项和为Sn，若S9?72,则a2?a4?a9= 24 。 （2）在公差为d的等差数列?an?中，等距离取出若干项也构成一个等差数列.
即ak,ak?m,ak?2m,?为等差数列，公差为md.
例、如果数列?an?是公差为d的等差数列，则数列?a3k?1? (k∈N*) （ ）
A．仍是公差为d的等差数列 C．是等差数列，但公差无法确定
B．是公差为3d的等差数列 D．不一定是等差数列
（3）若公差为d1,d2的等差数列?an?和?bn?，则数列?an???，???an?，?an?bn?，?pan?qbn?也是等差数列，公差分别为d1，??d1，d1?d2，pd1?qd2.
例、等差数列?an?的首项为a,公差为d；等差数列?bn?的首项为b,公差为e, 如果cn?an?bn?n?1?,且c1?4,c2?8. 则数列?cn?的通项公式为 （4）在公差为d的等差数列?an?中，数列?d?Sn?也是等差数列，公差为. ?2n???Sn??75，Tn为数列??的前n?n?例、设?an?为等差数列，Sn为数列?an?的前n项和,已知S7?7,S15项和，求Tn.
（5）等差数列中依次k项的和也成等差数列.
即Sk,S2k?Sk,S3k?S2k,?为等差数列，公差为kd.如下图所示：
S3k???????????????????????a1?a2?a3???ak?ak?1???a2k?a2k?1???a3k?? ???????????????????????SkS2k?SkS3k?S2k2例析数列知识点
例1、如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 例2、在等差数列?an?中，若S4?1,S8?4，则a17?a18?a19?a20的值为 （6）若等差数列?an?和?bn?的前n项和分别为Sn,Tn，则有
anS2n?1. ?bnT2n?1例、设等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若正整数n的个数是 个。
aSn7n?45，则使得n为整数的?bnTnn?3（7）在等差数列?an?中，若a1?0,d?0，则Sn有最大值，可由??an?0来确定n；
?an?1?0?an?0若a1?0,d?0，则Sn有最小值，可由?来确定n.
a?0?n?1（另法：因等差数列前n项和是关于n的二次函数，故可化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性n?N。）
*例、设等差数列?an?的前n项和为Sn,若a1??11,a4?a6??6,问此数列前多少项和最小？并求此最小值。
（8）若等差数列的项数为偶数2n，则有
S偶?nan?1；S奇?nan；S偶?S奇?nd；
若等差数列的项数为奇数2n?1，则有
S奇S偶?an. an?1S奇S偶n. n?1 S2n?1?(2n?1)an；S奇?nan；S偶?(n?1)an；S奇?S偶?an；例1、在等差数列?an?中，公差d??1，前100项的和S100?45，则a1?a3?a5?...?a99=____ 2例2、项数为奇数的等差数列{an}中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数。
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第三节 等比数列及其前n项和
1. 等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（an?0,q?0）. 2. 等比中项：如果G?ab，那么G叫做a与b的等比中项.
因为G22?ab?G??ab，所以a与b同号，从而推知等比数列中偶数项符号必相同，奇数项符号必相同. 例1、2?1与2?1，两数的等比中项是
例2、如果?1,a,b,c,?9成等比数列,那么b? ，ac? .
例3、已知两个正数a,b(a?b)的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为_ A＞B __ 3. 等比数列的通项公式：
an?a1?qn?1?an?an?am?qn?m
a1nq?an?kqn(k?0)。特别地，当a1?q时，an?qn. q例1、已知一等比数列的前三项依次为x,2x?2,3x?3，那么?131是此数列的第 项 2例2、在等比数列?an?中，a1?1，公比q?1.若am?a1a2a3a4a5，则m= 4. 等比数列的公比计算方法： q?aa?a3???anaaa2a3n?1；q????n?2?n；qn?m?n.
a1a2an?1a1?a2???an?1a1am例1、在等比数列?an?中，a2010?8a2007 ，则公比q的值为 2
例2、设Sn为等比数列?an?前n项和，若3S3?a4?2，3S2?a3?2，则公比q? 4 例3、已知等比数列{am}各项都是正数，且a1，5. 等比数列的前n项和公式：
na1(q?1)?? Sn??a1(1?qn)a1?anq?(q?1)?1?q1?q?1a?aa3,2a2成等差数列，则910? 2a7?a8
a1(1?qn)a1aSn??qn?1(q?1) ? Sn?Aqn?A(A?0,q?1)
1?qq?1q?1（注意：使用等比数列前n项和公式前务必判断公比是否为1）
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例1、计算log333...3?___________.
???????n例2、等比数列中，q＝2，S99?77，求a3?a6???a99= 例3、设Sn为等比数列?an?的前n项和，8a2?a5?0，则
S5? S2例4、设等比数列{an}的公比q?6. 等比数列的判定方法： （1）定义法：
1S，前n项和为Sn，则4? ． 2a4an?12?q （2）中项法： an?1?an?an?2 an（3）通项公式法： an?kqn(k,q?0) （4）前n项和公式法： Sn?Aqn?A(A?0,q?1) 例1、若{an}是等比数列，且Sn?3n?r，则r＝ 例2、设x?R,记不超过x的最大整数为[x],令{x}=x-[x]，则{
5?15?15?1}，[],（ ） 222A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 例3、设数列?an?的前n项和为Sn（n?N）， 关于数列?an?有下列三个命题： ① 若an?an?1(n?N)，则?an?既是等差数列又是等比数列；
n② 若Sn?an2?bn?a、b?R?，则?an?是等差数列； ③ 若Sn?1???1?，则?an?是等比数列。 这些命题中，真命题的序号是
例4、数列{an}中，Sn=4an?1+1 (n?2)且a1=1，若bn?an?1?2an ，求证：｛bn｝是等比数列。
7. 等比数列及其前n项和性质：
（1）等比数列角码和定理：在等比数列?an?中，若p?q?m?n，则ap?aq?am?an.
特别地：若2m?p?q，则am?ap?aq
2例析数列知识点
例1、已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9=2a5，a2=1，则a1= 例2、已知等比数列{an}满足an?0,n?1,2,?，且a5?a2n?5?22n(n?3)，则当n?1时， log?2a1?log2a3???log2an2?1
例3、已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6= （2）在公比为q的等比数列?an?中，等距离取出若干项也构成一个等比数列.
即ak,ak?m,ak?2m,?为等比数列，公比为qm.
例、在等比数列?an?中，公比为q（q≠±1），则数列a2,a4,a6,?,a2n的前n项和为（ ） A、
2a1(1?q2n)1?q2 B、
a2(1?q2n)1?q2 C、
a1(1?qn)1?q2 D、
a2(1?qn)1?q2
（3）若?an??公比分别为q1,q2的等比数列，则数列??an?(??0)，?,bn?是项数相同，
?1??，?an?，a?n???2an，?an?bn?，??an?q112. ?也是等比数列，公比分别为q1，，q1，q1，q1?q2，
q1q2?bn??1??的前5a?n?例1、已知?an?是首项为1的等比数列，sn是?an?的前n项和，且9s3?s6，则数列?项和为
（4）等比数列中依次k项的和也成等比数列.
即Sk,S2k?Sk,S3k?S2k,?为等比数列，公比为kd.如下图所示：
S3k???????????????????????a1?a2?a3???ak?ak?1???a2k?a2k?1???a3k?? ???????????????????????SkS2k?SkS3k?S2k2例1、一个等比数列前n项的和为48, 前2n项的和为60, 则前3n项的和为
例2、在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若S30?13S10,S10?S30?140，则S20的值为__40____
例3、设等比数列{an}的前n 项和为Sn，若
7S6S=3 ，则9 =
3S3S6例析数列知识点
（5）在等比数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶?qS奇；项数为奇数2n?1时，S奇?a1?qS偶. 例1、一个有穷等比数列的首项为1，项数为偶数，如果其奇数项的和为85，偶数项的和为170， 求此数列的公比和项数。
例2、一等比数列{an}有2n?1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an?1为____
第五节 数列的通项公式
数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：an??1、an?1?an?d型----等差数列
例、已知数列?an?中a1?2,an?1?an?3，求an的通项公式.
2、an?1?an?f(n)型----累加法（差分法）。
例、已知数列?an?中满足a1?1,an?1?an?2n?1，求an的通项公式。
3、an?1?q?an型----等比数列
例、已知数列?an?中满足a1?1，an?1?2an，求an的通项公式。
?S1(n?1)
?Sn?Sn?1(n?2)例析数列知识点
4、an?1?f(n)?an型----累乘法
例、已知数列?an?中满足a1?1，an?1?2?an，求an的通项公式。an?2nn(n?1)2
5、an?1?can?d型 （c，d为常数）----转换成等比数列或等差数列求解. 例、已知数列?an?中a1?1,an?1?2an?1，求此数列的通项公式。
6、an?1?kan?f(n)型（k为常数）----可对已知递推式适当变形，通过累加或累积求得通项. 例、已知数列?an?中，a1?0,an?2an?1?2n(n?2)，求此数列的通项公式。
7、panan?1?an?an?1型 ---- 倒数法构造等差数列 例、已知数列?an?中，a1?1,an?1?
例、已知数列?an?中，a1?1，Sn?
an(n?1,2,3,?)，求an。
2an?1Sn?1，求an。
2Sn?1?1
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8、连加式型 ---- 作差法。 例、数列{an}满足
111a1?2a2???nan?2n?5，求an。 222第六节 数列的求和
1、倒序相加法：如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的例、求sin210?sin220?sin230?????sin2880?sin2890的值。
2、错位相减法：适用于?anbn?其中{an}是等差数列，{bn}是各项不为0的等比数列。（这也是等比数列前n和
公式的推导方法）
两个和式相加,就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法。（这也是等差数列前n和公式的推导方法）
例1、求和：1?2x?3x?...?nx
例2、求数列
2n?1。
2462n,2,3,???,n,???前n项的和. 22223、拆项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相
互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和。
常见拆项公式：
1111??； ?1(1?1)；
n(n?k)knn?kn(n?1)nn?111111111?(?)； ?[?]；
(2n?1)(2n?1)22n?12n?1n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)例析数列知识点
例1、求和：
111????? 1?44?7(3n?2)?(3n?1)例2、
1111?????的和为 （ ） 22?132?142?1(n?1)2?1n?13n?13111311 B、? C、?( ?) D、??2(n?2)42(n?2)42n?1n?22n?1n?2 A、
4、分组求和法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项\集\在一块重新组合，或把整个数列分成两部分，使其
转化为等差或等比数列。
例1、求和：(a?1)?(a2?2)?...?(an?n),(a?0) 。
例2、求数列11，103，1005，10007，100009，?前n项和为 （ ） A、
10n10110(10?1)?n2 B、(10n?1?1)?n2 C、(10n?1?1)?n2 D、(10n?1)?(n?1)2 9999例3、已知数列?an?的通项公式an??2n?11，如果bn?an(n?N)，求数列?bn?的前n项和。
5、并项求和法：针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可
将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.
例1、在各项均为正数的等比数列中，若a5a6?9，求log3a1?log3a2?????log3a10的值。
例2、在数列?an?中，a1?1,a2?3,a3?2,an?2?an?1?an，求S2002。
