设车速在[60,65)的车辆设为a,b，车速在
[65,70)的车辆设为c,d,e,f，则所有基本事件有：
(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f)(b,c),(b,d),(b,e),(b,f)(c,d),(c,e),(c,f)(d,e),(d,f)(e,f)分
其中车速在[65,70)的车辆至少有一辆的事件有：
共15种…………9
(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f) 共14种 …………………11分
(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)14. ……………………………12分 1519. 解：（1）∵平面ACE?平面ABCD，且平面ACE?平面ABCD?AC?BC?AC BC?平面BCEF ?BC?平面AEC. ……………………………2分 AE?平面AEC ?BC?AE，…………………………………………………………3分
所以，车速在[65,70)的车辆至少有一辆的概率为P?又AC?2,AE?EC?1
?AC2?AE2?CE2 ?AE?EC ………………………………………………4分
且BC?EC?C，?AE?平面ECBF．……………………………………………………6分 （2）设AC的中点为G，连接EG，?AE?CE ?EG?AC ………………………7分
∵平面ACE?平面ABCD，且平面ACE?平面ABCD?AC，?EG?平面ABCD…8分
(法二：由（1）可知BC?平面AEC，?EG?平面AEC ?BC?EG，………………7分
又AC?BC?C ?EG?平面ABCD． …………………………………………8分 ?EF//BC，EF?所以点F到平面ABCD的距离就等于点E到平面ABCD?平面ABCD，的距离，即点F到平面A长 …………………………………………………9分
BC的
距离为
EG的
1?VD?ACF?VF?ACD?VE?ACD?S?ACD?EG
3?S?ACD?1211 ……………………11分 AC?AD??2?2?1 EG?AC?22221222 即三棱锥D?ACF的体积为． ………………12分 ?VD?ACF??1??6263
20、解：（1）
点Pn(n,Sn)都在函数f(x)?x?2x的图像上，?Sn?n2?2n(n?N*),
2当n?2时，an?Sn?Sn?1?2n?1.
当ｎ＝1时，a1?S1?3满足上式，所以数列{an}的通项公式为an?2n?1.…………5分
（2）由f(x)?x?2x求导可得f‘(x)?2x?2
过点Pn(n,Sn)的切线的斜率为kn，?kn?2n?2.
2?bn?2knan＝4?(2n?1)?4n.
?Tn?4?3?41?4?5?42?4?7?43????+4?（2n?1)?4n①
由①×4，得4Tn?4?3?42?4?5?43?4?7?44????+4?（2n?1)?4n?1② ①-②得：?3Tn?4?3?4?2?4?4????+4??23n?-（2n?1)?4n?1?
?2?4（1?4n?1）n?1??4?3?4?2?-（2n?1)?4?
1?4??6n?1n?216?4?…………………………………………………………………12分 99c121、解：（1）由题意，e??,
a2?Tn??3????23(?1)2椭圆C经过点A(?1,?)，?2??2??1，
2ab2222又a?b?c，解得b?3，a?4
22x2y2??1. ……………………………………………………………4分 所以椭圆方程为431x2y2??1（2）设直线EF的方程为：y?x?m，代入
243
得x?mx?m?3?0.………………………………………………………………5分
22?x?x??m；…………………………………………8分 ??m2?4(m2?3)?0且?122?x1x2?m?3设A(x0,y0)，由题意，kAE?y?y0y1?y0，kAF?2；…………………………9分
x1?x0x2?x0?kAE?kAF?分子为：t又y1?y1?x0y2?x0(y1?x0)(x2?x0)?(y2?x0)(x1?x0) ??x1?x0x2?x0(x1?x0)(x2?x0)?y1x2?y2x1?x0(y1?y2)?y0(x1?x2)?2x0y0
11x1?m，y2?x2?m，
22?t?(x1?x2)(y1?y2)?x1y1?x2y2?x0(y1?y2)?y0(x1?x2)?2x0y0 ?(m?2)(x1?x2)?x1x2?2m?3
?(m?2)(?m)?m2?3?2m?3?0
?kAE?kAF?0.………………………………………………………………………12分
即，直线AE、AF的斜率之和是为定值0.……………………………………………13分
a?12，直线2x?3y?1?0的斜率为?， x33 所以，曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为，…………………2分
2a?13/?,?a?2.…………………………4分 即：f(2)?2?a?2222、解：(1)?f(x)?x?a?/a?1x2?ax?a?1?(x?0) （2）?f(x)?x?a?xx/ 由题意可知，f(x)?0在区间(0,??)上恒成立，
即x?ax?a?1?0在区间(0,??)上恒成立.…………………………5分
2 对于函数g(x)?x?ax?a?1，对称轴为x?2/a. 2?a?0?a??2??0 所以?2或?，可解的：?1?a?0或0?a?2?22.
a?g()?0?g(0)?0???2 所以a的取值范围为：[?1,2?22].……………………………………………………8分 （3）构造函数G(x)?f(x)?x?12x?(a?1)x?(a?1)lnx， 2a?1x2?(a?1)x?a?1 则G(x)?x?(a?1)?………………………………9分 ?xx/ 对于函数h(x)?x2?(a?1)x?a?1,??(a?1)2?4(a?1)?(a?1)(a?3)，
??1?a?3,???0恒成立， ?G/(x)?0恒成立
?G(x)在(0,??)单调递增，……………………………………………………11分 从而对任意x1,x2??0,???,x1?x2,有G(x1)?G(x2)，即f(x1)?x1?f(x2)?x2， 故
f?x1??f?x2??1；
x1?x2f?x1??f?x2??1， x1?x2f?x1??f?x2??1成立.……………13分 x1?x2 同理，对任意x1,x2??0,???,x1?x2,也有
综上，对任意x1,x2??0,???,x1?x2,都有
【另解】原题等价于函数f(x)任意两点确定的割线斜率k?1，即在任意一点处的切线斜率
k?1
即证当?1?a?3时，f(x)?1,x?(0,??)，
/a?1x2?ax?a?1??1,(x?0) f(x)?x?a?xx/ 即：x?(a?1)x?a?1?02(x?0)，…………………………………………11分
2 因为?1?a?3，所以函数h(x)?x?(a?1)x?a?1的对称轴为x? h(x)min?(
a?1?(0,2)， 2a?12a?1?(a?3)(a?1))?(a?1)?a?1??0……………………13分 224
山东省实验中学2010级第二次模拟考试
数学试题（文科） 2013.06
注意事项：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页。两卷合计150分，考试时间为120分钟。选择题答案填涂在答题卡上;填空题、解答题答在答题纸上.
第Ⅰ卷（选择题 60分）
一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.已知集合A?{1,3,5}，集合B?{2,a,b}，若A?B?{1,3}，则a?b的值是 （ ）
A.10 B.9 C.7 D.4
2．复数1?（ ）
1(i为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点的坐标是 3iA.(1,1) B.(1,?1) C.(?1,1 ) D.(?1,?1)
3．“2a是“log2a?log2b”的 （ ） ?2b”
B.必要不充分条件
A.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
l//?，m??，m??，4．直线l,m与平面?,?,?，满足l????，则必有 （ ）
A.???且l?m B.???且m//? C.m//?且l?m D.?//?且
???
5.
在
等
比
数
列
?an?中，
a5?a13?1,a?3a15?a则4?,a5
（ ）
111A．3 B． C．3或 D．?3或?
333
6. 已知某几何体的三视图如图所示．则该几何体的体积是 （ ）
A．
2348 B． C． D．4 3337．以点(2,?2)为圆心并且与圆x2?y2?2x?4y?1?0相外切的圆的方程是
（ ）
A．(x?2)2?(y?2)2?9 B．(x?2)2?(y?2)2?9
C．(x?2)2?(y?2)2?16 D．(x?2)2?(y?2)2?16
?x?1?8.已知x,y满足约束条件?x?y?1?0，则
??2x?y?2?0?（ ）
x2?y2的最小值为
A．5 B．
255 C．1 D． 529. 函数y?tanx?sinx?|tanx?sinx|在区间?y2O??3??,?内的图像是 22??yπ23ππ2yπ23ππ2y2Oπ2π3π2xO-2xxOπ2-2π3π2xA． B. C. D.
110.P是?ABC内的一点，AP?(AB?AC)，则?ABC的面积与?ABP的面积之比为
3（ ）
3A．3 B．6 C．2 D．
2x2y211． 在区间[1,5]和[2,4]分别取一个数,记为a,b, 则方程2?2?1表示焦点在x轴上且离
ab心
率
小
于
32的椭圆的概率为
（ ） A．
1513117 B． C． D． 2323232212. 函数f(x)?x?bx?a的图象如图所示，则函数
g(x)?lnx?f?(x)的零点所在的区间是 （ ）
A．(,) B．(,1) C．(1,2) D．(2,3)
114212第II卷（非选择题 90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.将答案填在题中横线上. 13.已知f(x)是奇函数, g(x)?f(x)?4,g(1)?2,则f(?1)的
开始 值是 .
14.阅读右图程序框图． 若输入n?5，则输出k的值为___________． 15.在?ABC中，若b?1,c?输入n 3, ?C?2?,则3S?ABC?_______________.
16.设f1(x)?cosx，定义fn?1(x)为fn(x)的导数，即
k?0fn?1(x)?f 'n(x)，n?N，若?ABC的内角A满足
1f1(A)?f2(A)???f2013(A)?，则sin2A的值是 . 3三、解答题：本大题共6个小题,共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）已知函数
*n?3n?1k＝k＋1 否 n?150?是 输出k f(x)?sin?x?cos?x?3cos2?x?3（??0），直线x?x1，2 结束 x?x2是y?f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1?x2|的最小值为
（1）求f(x)的表达式； （2）将函数f(x)的图象向右平移
?． 4?个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来8????2??
的2倍，纵坐标不变，得到函数y?g(x)的图象，若关于x的方程g(x)?k?0，在区间?0,上有解，求实数k的取值范围.
18.（本小题满分12分）2013年“五一”期间，高速公路车辆较多。某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：[60,65),[65,70),
[70,75), [75,80),[80,85),[85,90)后得到如图5的频率分
布直方图．
（1）求这40辆小型车辆车速的众数及平均车速.
（2）若从车速在[60,70)的车辆中任抽取2辆，求车速在
[65,70)的车辆至少有一辆的概率.
19.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，
平面ACE?平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，
?ACB?90?,EF//BC,AC?BC?2，AE?EC?1.
（1）求证：AE?平面BCEF； （2）求三棱锥D?ACF的体积．
20.（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，对
一切正整数n，点Pn(n,Sn)都在函数f(x)?x?2x的图像上，且过点Pn(n,Sn)的切线的斜率为kn．
（1）求数列{an}的通项公式． （2）若bn2?2knan，求数列{bn}的前n项和Tn．
x2y2121.（本小题13分）已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率e?，且经过点
2ab3A(?1,?).
2（1）求椭圆E的标准方程； （2）如果斜率为
1的直线EF与椭圆交于两个不同的点E、F，试判断直线AE、AF的斜212x?ax??a?1?lnx. 2率之和是否为定值，若是请求出此定值；若不是，请说明理由. 22.（本小题13分）已知函数f?x??（1）若曲线f?x?在点?2,f?2??处的切线与直线2x?3y?1?0垂直，求a的值； （2）若f?x?在区间(0,??)单调递增，求a的取值范围； （3）若?1?a?3，证明：对任意x1,x2??0,???,x1?x2,都有
f?x1??f?x2??1成立. x1?x2山东省实验中学2010级第二次模拟考试文科数学参考答案
一．选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. D 2. A 3. B 4. A 5. C 6. B 7. A 8. B 9. C 10. A 11. D 12. B 二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.将答案填在题中横线上. 13. 2 14. 3 15.
342 16. 49三、解答题：本大题共6个小题,共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、解：f(x)?sin?x?cos?x?3cos2?x?31cos2?x?13 ?sin2?x?3?2222 ?13?sin2?x?cos2?x?sin(2?x?)……………………………… 4分 223（1）且|x1?x2|的最小值为? 直线x?x1，x?x2是y?f(x)图象的任意两条对称轴，
?． 4? ?y?f(x)的最小正周期T?2???，???2. …………………………7分 2?2f(x)?sin(4x??3).………………………………………………………………8分
（2）将函数f(x)的图象向右平移
?个单位后得函数解析式为8y?sin[4(x??8)??3]?sin(4x??6)……………………………………………………9分
再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数
y?g(x)?sin(2x??6)，…………………………………………………………………10分
11???
?x??0,? ?g(x)??k?[?,1]， ?k?[?1,].……………………12分
22?2?
18．解：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5 …………2分 这40辆小型车辆的平均车速为：
2?62.5?4?67.5?8?72.5?12?77.5?10?82.5?4?87.5?77（km/t）……5分
40（2）从图中可知，车速在[60,65)的车辆数为：m1?0.01?5?40?2（辆）…………6分
车速在[65,70)的车辆数为：m2?0.02?5?40?4（辆）…………………………7分
