第二十讲 三角函数的图象
班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)
π5π?1．(2010·天津)下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间?－?6，6?上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点( )
π1
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
32π
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
3π1
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
62π
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
6解析：观察图象可知，函数y＝Asin(ωx＋φ)中A＝1，
2ππ?＝π，故ω＝2，ω×?－?6?＋φω
ππ?π
＝0，得φ＝，所以函数y＝sin?2x＋，故只要把y＝sinx的图象向左平移个单位，再把?33?31
各点的横坐标缩短到原来的即可．
2
答案：A
π??2x＋π?的图2．(2010·全国Ⅱ)为了得到函数y＝sin?2x－的图象，只需把函数y＝sin??3?6?象( )
π
A．向左平移个长度单位
4π
B．向右平移个长度单位
4π
C．向左平移个长度单位
2π
D．向右平移个长度单位
2
π?x→x＋φ?2(x＋φ)＋π?＝sin?2x－π?，即2x＋2φ＋π＝2x－π，解析：由y＝sin?2x＋――→y＝sin???6?6?3?63ππ
解得φ＝－，即向右平移个长度单位．故选B.
44
答案：B
π?3．(2010·重庆)已知函数y＝sin(ωx＋φ)?ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，则( ) ?2?
ππA．ω＝1，φ＝ B．ω＝1，φ＝－ 66π
C．ω＝2，φ＝
6解析：依题意得T＝ππ
＝，φ＝－，选D. 26
答案：D
4．已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)在区间[0,2π]上的图象如图所示，那么ω＝( )
π
D．ω＝2，φ＝－ 6
2π7ππ??2×π＋φ?＝1.又|φ|<π，所以2π＋φ＝4?－＝π，ω＝2，sin?123??3?ω23
A．1 B．2 1
C. 2
1D. 3
2π
解析：由函数的图象可知该函数的周期为π，所以＝π，解得ω＝2.
ω答案：B
5．已知函数y＝sin??x－
π??π?
cosx－，则下列判断正确的是( ) 12??12?
π?A．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是??12，0?
π?B．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是??12，0? π?C．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是??6，0?
π?D．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是??6，0?[来源:学科网] 解析：∵y＝sin??x－∴T＝
π??x－π?＝1sin?2x－π?， ·cos?12?2?12?6?
2ππ
＝π，且当x＝时，y＝0. 212
答案：B[来源:学科网ZXXK]
π
6．如果函数y＝sin2x＋acos2x的图象关于直线x＝－对称，则实数a的值为( )[来
8源:学科网ZXXK][来源:Z&xx&k.Com][来源:Z,xx,k.Com]
A.2 B．－2 C．1 D．－1
π
分析：函数f(x)在x＝－时取得最值；或考虑有[来源:学_科_网Z_X_X_K]
8π?＝f?－π－x?对一切x∈R恒成立． f?－＋x?8??8?
π
解析：解法一：设f(x)＝sin2x＋acos2x，因为函数的图象关于直线x＝－对称，所以
8π?＝f?－π－x?对一切实数x都成立， f?－＋x?8??8?
π?＋acos2?－π＋x? 即sin2?－＋x?8??8?π?＋acos2?－π－x? ＝sin2?－－x?8??8?π?＋sin?π＋2x? 即sin?－＋2x?4??4?
?π＋2x?－cos?－π＋2x??， ＝a?cos??4??4??
ππ∴2sin2x·cos＝－2asin2x·sin，
44
即(a＋1)·sin2x＝0对一切实数x恒成立，而sin2x不能恒为0， ∴a＋1＝0，即a＝－1，故选D.
π
解法二：∵f(x)＝sin2x＋acos2x关于直线x＝－对称．
8π?＝f?－π－x?对一切x∈R恒成立． ∴有f?－＋x?8??8?π
特别，对于x＝应该成立．[来源:学|科|网]
8
ππ?将x＝代入上式，得f(0)＝f?－?4?， 8π??－π? ∴sin0＋acos0＝sin?－＋acos?2??2?∴0＋a＝－1＋a×0. ∴a＝－1.故选D.
解法三：y＝sin2x＋acos2x＝1＋a2sin(2x＋φ)，其中角φ的终边经过点(1，a)．其图象π
的对称轴方程为2x＋φ＝kπ＋(k∈Z)，[来源:学_科_网]
2
即x＝令
kππφ
＋－(k∈Z)．[来源:学*科*网Z*X*X*K] 242
kππφπ
＋－＝－(k∈Z)． 2428
3π
(k∈Z)． 4
得φ＝kπ＋
π
但角φ的终边经过点(1，a)，故k为奇数，角φ的终边与－角的终边相同，∴a＝－1.
2解法四：y＝sin2x＋acos2x＝1＋a2sin(2x＋φ)，其中角φ满足tanφ＝a.因为f(x)的对称π轴为y＝－，
8
π
∴当x＝－时函数y＝f(x)有最大值或最小值，
8π?2?－π?， 所以1＋a2＝f?－或－1＋a＝f?8??8?π?2?－π?， 即1＋a＝sin?－＋acos?4??4?π??－π?. 或－1＋a2＝sin?－＋acos?4??4?解之得a＝－1.故选D. 答案：D
评析：本题给出了四种不同的解法，充分利用函数图象的对称性的特征来解题．解法一是运用了方程思想或恒等式思想求解．解法二是利用了数形结合的思想求解，抓住f(m＋x)＝f(m－x)的图象关于直线x＝m对称的性质，取特殊值来求出待定系数a的值．解法三利π
kπ＋－φ
π2
用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴是方程ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)的解x＝(k∈Z)，然
ω2π
后将x＝－代入求出相应的φ值，再求a的值．解法四利用对称轴的特殊性质，在此处函
8π??－π?＝[f(x)]min.从而转化为解方程数f(x)取最大值或最小值．于是有f?－＝[f(x)]或fmax?8??8?问题，体现了方程思想．由此可见，本题体现了丰富的数学思想方法，要从多种解法中悟
出其实质东西．
二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) π?7．(2010·福建)已知函数f(x)＝3sin?ωx－(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称?6?π?轴完全相同．若x∈?0，?2?，则f(x)的取值范围是________．
解析：∵f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同，∴f(x)与g(x)的最小正周期相等，∵ω>0，π?πππ5π1?2x－π?≤1，∴ω＝2，∴f(x)＝3sin?2x－，∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，∴－≤sin??6?266626?3π??－3，3?. ∴－≤3sin?2x－≤3，即f(x)的取值范围为??2?26?
3?答案：?－?2，3?
1
8．设函数y＝cosπx的图象位于y轴右侧所有的对称中心从左依次为A1，A2，…，An，….
2则A50的坐标是________．
解析：对称中心横坐标为x＝2k＋1，k≥0且k∈N，令k＝49即可得． 答案：(99,0)
π?
9．把函数y＝cos?x＋?3?的图象向左平移m个单位(m>0)，所得图象关于y轴对称，则m的最小值是________．
πππ解析：由y＝cos(x＋＋m)的图象关于y轴对称，所以＋m＝kπ，k∈Z，m＝kπ－，3332
当k＝1时，m最小为π.
3
2
答案：π
3
10．定义集合A，B的积A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}．已知集合M＝{x|0≤x≤2π}，N＝{y|cosx≤y≤1}，则M×N所对应的图形的面积为________．
解析：如图所示阴影面积可分割补形为ABCD的面积即BC×CD＝π·2＝2π.
答案：2π
三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演
步骤．)
11．若方程3sinx＋cosx＝a在[0,2π]上有两个不同的实数解x1、x2，求a的取值范围，并求x1＋x2的值．
分析：设函数y1＝3sinx＋cosx，y2＝a，在同一平面直角坐标系中作出这两个函数的图象，应用数形结合解答即可．
π?
解：设f(x)＝3sinx＋cosx＝2sin?x＋?6?，x∈[0,2π]．
ππ13π?令x＋＝t，则f(t)＝2sint，且t∈??6，6?.在同一平面直角坐标系中作出y＝2sint及y6＝a的图象，从图中可以看出当1＜a＜2和－2＜a＜1时，两图象有两个交点，即方程3sinx＋cosx＝a在[0,2π]上有两个不同的实数解．
当1＜a＜2时，t1＋t2＝π， ππ
即x1＋＋x2＋＝π，
66∴x1＋x2＝
2π
； 3
当－2＜a＜1时，t1＋t2＝3π， ππ
即x1＋＋x2＋＝3π，
66∴x1＋x2＝
8π
. 3
综上可得，a的取值范围是(1,2)∪(－2,1)． 当a∈(1,2)时，x1＋x2＝
2π； 38π. 3
当a∈(－2,1)时，x1＋x2＝
评析：本题从方程的角度考查了三角函数的图象和对称性，运用的主要思想方法有：函数与方程的思想、数形结合的思想及换元法．解答本题常见的错误是在换元时忽略新变量t的取值范围，仍把t当成在[0,2π]中处理，从而出错．
12．已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)，x∈R的最大值是1，其图象经过点π1?M??3，2?.
(1)求f(x)的解析式；
π?312
(2)已知α，β∈?0，，且f(α)＝，f(β)＝，求f(α－β)的值． ?2?513解：(1)∵f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)的最大值是1，∴A＝1. π1?∵f(x)的图象经过点M??3，2?，
π?＝1. ∴sin?＋φ?3?2π∵0＜φ＜π?φ＝，
2π?
∴f(x)＝sin?x＋?2?＝cosx.
312π?(2)∵f(x)＝cosx，∴f(α)＝cosα＝，f(β)＝cosβ＝，已知α，β∈?0，?2?，所以 513sinα＝
3?24
1－??5?＝5，sinβ＝12?25
1－??13?＝13. 故f(α－β)＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ 3124556
＝×＋×＝. 51351365
11π
13．(2010·山东)已知函数f(x)＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin?＋φ???(0<φ<π)，其图象过222π1?点??6，2?.
(1)求φ的值；
1
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)
2π?
的图象，求函数g(x)在?0，?4?上的最大值和最小值．
11π
解：(1)因为f(x)＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin?＋φ???(0<φ<π)， 2221＋cos2x11所以f(x)＝sin2xsinφ＋cosφ－cosφ
22211
＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ 22
1
＝(sin2xsinφ＋cos2xcosφ)[来源:学&科&网Z&X&X&K] 21
＝cos(2x－φ)， 2π1?
又函数图象过点??6，2?， 11π?， 所以＝cos?2×－φ?22?6π?＝1， 即cos?－φ?3?又0<φ<π， π所以φ＝. 3
1π?1
(2)由(1)知f(x)＝cos?2x－，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，
2?3?2纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，可知
1π?
g(x)＝f(2x)＝cos?4x－，
2?3?π?
因为x∈?0，?4?， 所以4x∈[0，π]， ππ2π?因此4x－∈?－，，
3?33?1π?故－≤cos?4x－≤1. ?23?
π?11所以y＝g(x)在?0，上的最大值和最小值分别为和－. ?4?24
