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2009在职攻硕——
数学考前辅导
GCT精品密训班讲义（一）
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GCT系统精讲班数学讲义
第一部分 初数部分
《算术讲座》
大纲要求：数的概念和性质，四则运算与运用。
“算术”乃算“数”之术也。是研究数的性质、规律、相互关系和运算的科学。 其内容包括整数、小数、分数、比和比例、统计表等。
数的产生：记数。
自然数：1，2，3，4，……, 后又加入0,其实,人们很晚才认识到 “0”. 为数 ?数?快一些,两个两个数:2,4,6,8,……, 偶数. 相对应:1,3,5,7,……,奇数.
质数：除1和自身外没有其它约数的大于1自然数，2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、,,,,,质数有无穷多个，只有一个偶数：2。 数的运算:
加法(正整数范围),
运算规则: 结合律;交换律. (与乘法之分配律).
减法(加法的逆运算): 产生新数, “负数”. (相同 “数”连加之简捷运算):
乘法(正整数范围),
运算规则: 结合律;交换律. (与减法之分配律).
除法(乘法的逆运算): 产生新数, “分数”, “小数”(有限,无限,循环,不循环). 约数，因子，分解质因式，最大公约数，最小公倍数。 四则运算规则:加,减,乘,除.(先乘、除;后加、括号优先)
中国剩余定理（孙子定理）：“三人同行七十稀，五树梅花念一枝，七子团圆正月半，除百零五便得之。”
有一批物件：三个三个数余两个， 五个五个数余三个 七个七个数余两个，
问这批物件至少有多少个？
解：在5和7的公倍数，35，70，105,……中找出除以3余1的数70,而70?2=140,则能满足除
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以3余2.
(2)在3和7的公倍数,21,42,63,……中找出除以5余1的数21,而21?3=63,则能满足除以5余3. (3)在3和5的公倍数,15,30,45,……中找出除以7余1的数15,而15?2=30,则能满足除7余2. (4)140+63+30=233即为满足条件的数,但不一定最小,再去掉3,5,7的最小公倍数105的若干倍,即得:233-105?2=23. 23即为所求. 例. 某数
除以4余2,除以7余4,除以9余3,则某数最小是多少?
解: （1）在7和9的公倍数，63,126,189,……中找出除以4余1的数189,而189?2=378,则能满足除以4余2.
(2)在4和9的公倍数,36,72,108,……中找出除以7余1的数36,而36?4=144,则能满足除以7余4.
(3)在4和7的公倍数,28,56,84,……中找出除以9余1的数28,,而28?3=84,则能满足除9余3.
(4)378+144+84=606即为满足条件的数,但不一定最小,再去掉4,7,9的最小公倍数252的若干倍,即得:606-252?2=102. 102即为所求.
哥德巴赫猜想 1742年德国数学家哥德巴赫在给瑞士数学家欧拉的信中，提出了两个问题： （1）每个不小于6的偶数，是否均可表示成两个素数之和； （2）每个不小于9的奇数，是否可表示成三个奇数之和。
行程问题:典型应用题之一. 路程、速度、时间三者，知二求一。又分相遇和追及问题。 “路程=速度?时间。”
追及问题：关键是求出两者的速度差。有公式： 追及距离=速度差?追及时间， 速度差=追及距离?追及时间， 追及时间=追及距离?速度差。 植树问题：典型应用题之一。有公式： （1） 不封闭路段，
间距=路长?（棵数-1），棵数=路长?间距+1，路长=间距?（棵数-1），（2）封闭路段， 间距=路长?棵数，棵数=路长?间距，路长=间距?棵数 鸡兔问题：典型应用题之一。
求平均数问题：典型应用题之一。平均数=总数?总份数。
2
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例题选讲：
1. 记不超过10的素数的算术平均数为M，则与M最接近的整数是（ ）
A .2 2. 已知a?
B.3
C.4
D.5
200120022003，b? ，c?，则（ ） 200220032004
B. b?c?a
C. c?a?b
D. c?b?a
A.a?b?c
3. 某场演出的门票为甲、乙、丙三等，其中甲等票150张，票价200元，乙等票250张，票价
160元，丙等票400张，票价125元，本场演出的平均票价为（ ） A.145元
B.150元
C.155元
D.160元
4. 有一项植树162棵的任务，按人数分给甲、乙、丙三个单位，若甲、乙、丙三个单位的人数
之比为5：6：7，则甲、乙、丙三个单位各分到树苗（ ）棵 A.5：6：7
B.5，6，7
C.45：54：63
D. 45, 54, 63
5. 1000m的大道两侧起点开始，每隔10m各种一颗，相邻两棵之间放一盆花，这样需要（ ）
A.树200棵，花200盆 C.树202棵，花202盆
B. 树202棵，花200盆 D. 树200棵，花202盆
6. 在一条3600m的公路一边从一端开始等距离立电线杆，每隔40m原已挖好一个坑，现改为
每隔60m立一个电线杆，则需要重新挖坑和填坑的个数分别为（ ） A.50和40
B.40和50
C.60和30
D.30和60
7. 某校有若干女生住校，若每间住4人，则还剩20人未住下，若每间住8人，则仅有一间未
住满，那么该校女生宿舍的房间数（ ） A.4 A.6kg
B.5 B.7kg
C.6 C.8kg
D.7 D.9kg
8. 要从含盐16%的40kg盐水中蒸去水，制出含盐20%的盐水，应蒸出多少水分（ ） 9. 一个进价为27元的商品，按标价的9折出售，仍可获利20%，问该商品的标价为（ ）元。 10. 某工厂月产值3月份比2月份增加10%，4月份比3月份减少10%，则（ ） （03试）
A. 4月份与2月份产值相等
B. 4月份比2月份产值增加1
99C. 4月份比2月份产值减少1
99D. 4月份比2月份产值减少1
10011. 某项工程8个人用35天完成了全工程的
要的天数是（ ） A.18
B.35
1,如果再增加6个人，那么完成剩余的工程，还需3
C.40
D.60
12. 2005年我国甲省人口是全国人口的c%，其生产总值占国内生产总值的d %，乙省人口是全
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环球卓越 精致服务 卓越品质 www.geedu.com 国人口的e %。其生产总值占国内生产总值的f %，则2005年甲省人均生产总值与乙省人均生产总值之比是（ ） A.
cd ef B.
ce df C.
cf de D.
de。 cf13. 在一条公路上汽车A、B、C分别以每小时80，70，50km的速度行驶，汽车A从甲站开往
乙站，同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站，途中车A与车B相遇后两小时再与车C相遇，求甲乙两站的距离（ ） A.2010km
B.2005km
C.1690km
D.1950km
14. 甲从A地出发往B地方向追乙，走了6小时尚未追到，路旁店主称4小时前乙曾在此地，
甲知此时距乙从A地出发已有12小时，于是甲以2倍的原速的速度继续追乙到B地追上乙，这样甲总共走了约（ ）小时。 A.8
B.8.4
C.8.5
D.8.6
15. 一个容积为10升的量杯盛满纯酒精，第一次倒出a升酒精后，用水将量杯注满并搅拌均匀，
第二次仍倒出a升溶液后用水将量杯注满并搅拌均匀，此时量杯中的酒精溶液浓度为49%。则每次倒出量a为（ ）升 A.2.55
B.3
C.2.45
D.4
16. 甲乙两人沿同一路线骑车（匀速）从A区到B区，甲需要30分钟，乙需要40分钟，如果
乙比甲早出发5分钟去B区，则甲出发后经（ ）分钟可以追上乙。 A.25
B.20
C.15
D.10
17．甲乙两种茶叶以x:y（重量比）混合配制成一种成品茶，甲种茶每斤50元，乙种茶每斤
40元，现甲种茶价格上升10%，乙种茶价格下降10%后，成本茶价格恰好仍保持不变，则
x:y=（ ）
A.1：1
B.5：4
C.4：5
D. 5：6
18．100个学生，88人有手机，76人有电脑，其中有手机没有电脑共15人，则这100人学生中
有电脑但没有手机的共有（ ）人， A.25
B.15
C.5
D.3
19．小明今年一家4口人，全家年龄之和为69岁，父亲比母亲大1岁，姐姐比小明大2岁，4
年前，全家年龄之和为54岁，问今年父亲________岁。
20. 某人左右两手分别握了若干颗石子，左手中的石子数乘以3，右手中的石子数乘以4之和为
29，问左手中的石子数是奇数还是偶数___________
21. 设m，n都是正整数，且满足3m+4n=22，则m一定是（ ）
A. 奇数
4
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B. 偶数 C.质数 D.合数
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《代数讲座》
大纲要求： 代数等式和不等式的变换和计算。包括：实数和复数；乘方和开方；代数表达式和因式分解；方程的解法；不等式；数学归纳法，数列；二项式定理，排列，组合和概率等。
（MPAcc）考试要求绝对值：比和比例；算数平均值和几何平均值；方程（一元一次方程，一元二次方程和二元一次方程组）的解法及应用；不等式（一元一次不等式和一元二次不等式）的解法；等差数列和等比数列。
（1) 理解绝对值的概念，掌握绝对值的性质； （2) 理解比和比例的概念，掌握比例的基本性质； （3) 了解算数平均值、几何平均值的概念和性质；
（4) 掌握一元一次方程、一元二次方程和二元一次方程组的解法，会解简单的应用题; （5) 理解等差数列和等比数列的概念，掌握求两类数列前n项和的公式。
MBA大纲：实数的概念、性质、运算及应用；整式、分式及其运算；方程（一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组）的解法及应用；不等式、（一元一次不等式、一元二次不等式）的解法及应用；等差数列、等比数列；排列组合；概率初步；常见平面图形（三角形、四边形、圆）；平面直角坐标系及直线与圆的方程；常见立体图形（长方体、圆柱体、圆锥体、球）。 有人把‘代数’戏称为懒人的算术。它用文字代替具体的数字，使问题变得易于寻找规律，有了相应的若干公式，比之‘算术’精彩无比。
代数式、单项式、多项式、整式、分式、代数式的运算。
ac? ；比例中项a:b=b:c,其中的b； bd基本性质： 内项积等于外项积：ad?cb.
比（比值）a:b；比例:a:b=c:d或
(相同数连乘之简捷运算):
乘方(幂):5?5?5?5?5?5?5 (肩头上).
开方(乘方的逆运算)4,38,…….产生新数:无理数:2?1,414……,3? 1.732……， 乘法公式：
6(a?b)(a?b)?a2?b2；
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(a?b((a2?ab?b2)?a3?b3； (a?b)2?a2?2ab?b2； (a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3； (x?a)(x?b)?x2?(a?b)x?ab；
常用不等式：
a?b?2ab； (a?b)2?4ab； 2(a2?b2)?(a?b)2；
221?2,(a?0)； aa?b?ab ，a,b均为正数，仅当a?b时等号成立； 2a?b?c3?abc ，a,b,c均为正数，仅当a?b?c时等号成立；
3 a?常用数列的前n 项公式：
1n(n?1)； 212222 1?2?3?......?n?n(n?1)(2n?1)；
6 1?2?3?......?n?1111n???......??； 1?22?33?4n?(n?1)n?1方程，根或解、求解方程。 一元一次方程：
ax?b?c，x?二元一次方程组： ?一元二次方程:
c?b . a?ax?by?e .
?cx?dy?f6
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2先解特例, 当b?0 时,ax?c?0 ,x??2?c , a当b?0 时,用配方法消去一次项,
bx)?c?0,可变形为: abbb2x?()2?()2)?c?0, a(x?2?2a2a2abba[(x?)2?()2]?c?0 ,
2a2a由 a(x?2b2b2b2?4aca(x?)??c?? ,
2a4a4ab1b1?b?b2?4ac22x???b?4ac ,x??, ??b?4ac?2a2a2a2a2a
韦达定理;
设方程x?px?q?0有两根x1,x2,则(x?x1)(x?x2)?x?(x1?x2)x?x1x2?0 , 故知,p??(x1?x2) q?x1x2
即两根之积等于常数项;两根之和等于一次项系数反号.
实数的概念、性质、运算及应用。 复数(虚数,其实不虚)?1?i(虚单位).
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数系
????正整数????整数??零????负整数?有理数?????????正分数?实数?? 复数?分数????负分数??????正无理数??无理数????负无理数????虚数
幂的运算规则:同底幂乘除，指数加、减。 同幂不同底乘、除，数乘、除指数保持不变。
例题选讲：
1． 实数a、b、c在数轴上的位置如下图所示 b a o c
图中o为原点，则代数式a?b?b?a?a?c?c?（ ）
A）?3a?2c
B）?a?ab?2c
C）a?2b
D）3a
2．方程x?y?2+x?2y?0的解为（ ）
?x?0A）?
y?2?3．化简
?x?3B）?
y?1?
?x?4 C）?
y??2?
?x?2D）?
y?3??x?2?2+?x?3?2 ??3?x?2?=
1）= 24．4a2?12a?9-1?4a?4a2 （a??5．argz表示z的幅角，今有??arg(2?i),??arg(?1?2i)， 则sin(???)?（ ）
A）-
4 5 B）-
3 5 C）
4 5 D）
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6．已知复数z的幅角主值argz?A）-2-2
2?2，虚部I(z)?3则z（ ） 3
C）2+23i
D）23+2i
3i
B）-23-2i
7．复数z?(1?i)2的 ｜z｜=（ ）
A）4
B）22
C）2
D）2
8．已知复数z满足
A）0
1?z?i则|1?z|=（ ） 1?z
B）i
C）2
D）2
9．复数z?的共轭复数z是（ ）
A）i
21i
3
4
5B）-i
67
C）2
D）2
10．复数z?i?i?i?i?i?i?i则z?i?（ ）
A）1
B）2
C）3
D）2
11．若z1?a?2i z2?3?4i且
2z1为纯虚数，则实数a的值为 z2212．已知ab?1且满足2a?2008a?3?0和3b?2008b?2?0则（ ）
A）3a-2b=0
2 B）2a-3b=0 C）3a+2b=0 D）2a+3b=0
13．设p为正数，则x?px?99?（ ）
A）?x?9??x?11? C）?x?9??x?11?
B）?x?9??x?11? D）?x?9??x?11?
14．.在四边形A、B、C、D中对角线AC、BD垂直相交于o点，若AC=30，BD=36，则四边形ABCD的面积为（ ）
A）1080
2
3B）840
2C）720 D）540
15．若2x?3x?5整除4x?ax?bx?25 则a=（ ）
A）-5
3
2 B）-4 C）4 D）5
16．若f?x??x?px?qx?6含有一次因式(x?3)和(x?1)，则p·q=（ ）
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9
环球卓越 精致服务 卓越品质 www.geedu.com A）3
B）5
C）8
D）10
17．已知x-y=5且z-y=10则x2?y2?z2?xy?yz?zx=( )
A）50
3
2B）75
23 C）100 D）105
18．已知则a+b+c=0则a?ac?bc?abc?b的值=
19．方程x2?2006x?2007所有实数根的和等于（ ）
A）2006 20．当x??1或x??2时
A）m=-2,n=3
B）4
C）0
D）-2006
x?1mn?? 互成立，则（ ） 2x?3x?2x?1x?2
B）m=-3,n=2
2 C）m=2,n=-3 D）m=3,n=-2
b2a2?21．两个不等的实数a与b，均满足方程x?3x?1，则 的值=（ ） abA）-18
10 一切从学员出发，一切为学员着想！ 北京市海淀区中关村南大街2号数码大厦A座1211室（中国人民大学东南角） 010-51658769
B）18 C）36 D）-36
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B）5
C）8
D）10
17．已知x-y=5且z-y=10则x2?y2?z2?xy?yz?zx=( )
A）50
3
2B）75
23 C）100 D）105
18．已知则a+b+c=0则a?ac?bc?abc?b的值=
19．方程x2?2006x?2007所有实数根的和等于（ ）
A）2006 20．当x??1或x??2时
A）m=-2,n=3
B）4
C）0
D）-2006
x?1mn?? 互成立，则（ ） 2x?3x?2x?1x?2
B）m=-3,n=2
2 C）m=2,n=-3 D）m=3,n=-2
b2a2?21．两个不等的实数a与b，均满足方程x?3x?1，则 的值=（ ） abA）-18
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B）18 C）36 D）-36
