东北三省三校2009届高三下学期第一次联合模拟考试（数学理）
第Ⅰ卷（选择题 满分60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． １．设集合A?{x|xx?1?0},B?{x|0?x?3}，则A?B?
A．{x|1?x?3} B．{x|0?x?3} Ｃ．{x|0?x?1} D．? 2．a为实数，
A1B121?2ia?iC为实数，则a?
13D?2
3.直线l1:y?mx?1，直线l2的方向向量为a?(1,2)，且l1?l2，则m? A．
12 B．?1学科网2C．2 D．-2
学科网4．已知m,n为直线，a,b为平面，给出下列命题：
学科网?m??m??m??m???????n//? ②??m//n ③???//? ④?n???m//n①??m?n?n???m????//??学科网其中的正确命题序号是
学科网A．③④ B．②③ C．①② D．①②③④ ５．设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2?a8?15?a5，则S9等于
Ａ．60 B．45 Ｃ．36 Ｄ．18 ６．已知函数f(x)?ax?3x?x?2在R上是减函数，则a的取值范围是
Ａ．(??,?3) B．(??,?3] Ｃ．(?3,0) Ｄ．[?3,0) ７．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数.若f(x)的最小正周期是?，且当
x?[0,32?2]时，f(x)?sinx，则f(125?3)的值为
A．?12 B． C．?32 D．
32学科网8．4名不同科目的实习教师被分配到三个班级，每班至少一人的不同分法有 A 144 种 B 72种 C 36 种 D 24种
1
?4x?3y?25?0?9.已知O为直角坐标系原点，P,Q的坐标均满足不等式组?x?2y?2?0，则
?x?1?0?tan?POQ的最大值等于
12A． B．1 C．
??1(x?0)?1(x?0)32 D．０
10．设函数f(x)??A．a
，则
(a?b)?(a?b)?f(a?b)2 (a?b)的值为 （ ）
B．b
D．a、b中较大的数
C．a、b中较小的数
11. 已知函数f(x)在R上可导，且f(x)?x2?2xf'(2)，则f(?1)与f(1)的大小 Af(?1)?f(1)Bf(?1)?f(1)Cf(?1)?f(1).D不确定
12．正三棱柱ABC?A1B1C1的棱长都为2，E,F,G为AB,AA1,A1C1的中点，求B1F与面GEF成角的正弦值 A．
35 B．
56 C．
3310 D．
3610
第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上． 13．已知(ax?1x)的展开式的第五项是常数项，则n=
12OB??OC，则??
n14．已知三点A，B，C在直线l上，O?l,且OA?xa2215．双曲线?yb22?1(a?0,b?0)的离心率是2，则
b?13a
2
的最小值是
16.如图，是将?B=
B?AC?D,
?3,边长为1的菱形ABCD沿对角线AC折成大小等于?的二面角
若??[?3,2?3],（需要给图） M,N分别为AC,BD的中点，则下面的四种说法中：
①AC?MN;
②DM与平面ABC所成的角是?;
2
③线段MN的最大值是
?234,最小值是
34;
④当??时，BC与AD所成的角等于
?2
其中正确的说法有 (填上所有正确说法的序号).
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）
在?ABC中，b?4,A?（1）求BC边的长度；
sin(2?3,面积s?23 A4?C2?4)?cos2BC2（2）求值：．
cot?tan
18. （本题满分12分）
如图,四棱锥P?ABCD中，ABCD为菱形，PA?平面ABCD,
?BCD?60?BC?1,E为CD的中点,PC与平面ABCD成角60?.
P (1) 求证：平面EPB?平面PBA； (2) 求二面角B?PD?A的大小.
19. （本题满分12分）
设A??(x,y)1?x?6,1?y?6,x,y?N?? （1） 求从A中任取一个元素是(1,2)的概率； （2） 从A中任取一个元素，求x?y?10的概率； （3） 设?为随机变量，??x?y，求E?
3 A D E C
B
20. （本题满分12分）
已知Sn为数列?an?的前n项和，a=?Sn,1?, b=??1,2an?2??n?1?,a?b
??（1）求证：?(2) 若bn??an?为等差数列； n??2??，不等式bk?bn0成立. an,问是否存在n0, 对于任意k（k?N）
n?2011n?1
21. （本题满分12分）
已知f(x)?(x2?a)ex
(1) 若a=3,求f(x)的单调区间和极值； （2）若
ex2x1,x2为f(x)的两个不同的极值点，且
f(x1)?e1f(x2)?4e3xx1?x222x1x2?x1x2，
若3f(a)?a?
32a?3a?b恒成立，求实数b的取值范围.
222．（本题满分12分）
如图所示，已知圆C:(x?1)?y?8,定点A(1,0),M为圆上一动点，点P在AM上，点
N在CM上，且满足AM?2AP,NP?AM?0,点N的轨迹为曲线E.
22（1）求曲线E的方程； （2）若直线y?kx?标原
22k?1与（1）中所求点N的轨迹E交于不同两点F、H，O是坐
????????3点，且?OF?OH?，求△FOH的面积的取值范围.
34y M P N C o A x
4
参考答案：
1C2C3B4B5B6B7D8C9B10C11A12A 13. 8 ; 14.
12; 15.
233；16.①③
17.解：（1）解：在?ABC中 S?12bcsinA23?12?34?c?
2 c?2 ????2分 a?
asinA?bsinB2332?4sinBsinB?1 0?B?? B?b?c?2bccosA?2216?4?2?2?4?12?23 ????4分
?2 C??6
????6分
sin(2A4?C2?4)?cos2BC2sin2?（2）=
cossincot?tan3C?cos?sincosC2C2?(34?1)12sinC??116
2?C2 ???? 10分
18（1）解：设从A中任取一个元素是(1,2)的事件为B P（B）=
136
136 所以从A中任取一个元素是(1,2)的概率为
???? 3分
（2）设从A中任取一个元素,x?y?10的事件为C 有
（4，6）（6，4）（5，5）（5，6）（6，5）（6，6） P（C）=
16
16所以从A中任取一个元素x?y?10的概率为
???? 6分
（3）?可能取的值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12 ???? 8分
5
p(??2)?p(??7)?136636136 p(??3)? p(??8)?
4 3362365 p(??4)?3364 p(??5)?436336 p(??6)? p(??11?)5362
36 p(??9)?36 p(??10?)36p(??12)?? p 2 1363 2365 4366 5367 6368 5369 43610 33611 23612 136 ???? 10分
E??2?136?3?236?4?336?5?436?6?536?7?636?8?536?9?436?10?336?11?236?12?136=7
???? 12分
19. 解：(1)? E为CD的中点，BC?1,ABCD为菱形，
?CE?12 又?BCD?60?
??BEC?90?
?BE?AB,又PA?平面ABCD
?PA?BE PA?面PAB，AB?面PAB，PA?AB?A
?BE?面PAB?面PBE?面PABBE?面PBE ???? 4分
(2)过B点作BF?AD于F，过F作FM?PD于M，联结BM
?BF?AD
BF?PA ?BF?面PAD
BM为面PAD的斜线，MF为BM在面PAD的射影，?BM?PD
?BMF为二面角B-PD-A的平面角 ???? 8分
PC与面ABCD成角60，?PCA=60 PA=3 BF=
3200 MF=3210 tan?BMF?303
所以二面角B-PD-A为arctan303 ???? 12分
6
??20. 解（1）?a?b
??Sn?2an?2n?1n?2?0 ?0
?Sn?1?2an?1?2?an?1?2an?2n?1
?an?12n?1?an2n?1
?an???n?为等差数列 ???? 6分 ?2? （2）
ann2n?bn??2011?n?2令bn?1?bn??2?(n?1)??(n?1)
?2010?n?2n?1??2011?n?2nn?2009bn的最大值为b2010?b2009
?n0?2009或2010
???? 12分
21. 解：（1）f(x)?(x2?a)ex?(x2?3)ex
2xxf?(x)?(x?2x?3)e??x?3??x?1?e ???? 2分
x f(x) '（-?，-3） + 增 ?3-3 0 极大值 （-3，1） - 减 1 0 极小值 （1，+?） + 增 f(x) f(?3)?6ef(1)??2e
???? 4分
（2）x1,x2为f(x)的两个极值点，
2xx1,x2为f?(x)?（x?2x?a）e?0的两个根，x1?x2??2x1x2??a
?exx2f(x1)?e1f(x2)?4e2x1x2xx1?x2x2x1x2?x1x2?4ex1?x222
2e2(x1?a)e?e1(x2?a)ex1x2?x2x1
2(x1?x2)(x1?x2)?4(x1?x2)x1x2 ?2?4?a
7
?a?12 ???? 7分
?3f(a)?a??3?a?a?e2a332a?3a?b恒成立
32?a?32a?3a?b恒成立
2?332?2a?b?3?a?a?e??a?a?3a?恒成立
2???332?2a?令h(a)?3?a?a?e??a?a?3a?
2??h?(a)?3a?a?1e?3a?3a?3?3a?a?1e?1 当?12?a?0时，h?(x)?0,h(x)为增函数，当12?a?0时，h?(x)?0,h(x)为减函数?2?a?2??2??a?
?当a?0时，h(a)?0,b?0 ???? 12分
22. 解：（I）AM?2AP，NP?AM?0
所以NP为线段AM的垂直平分线，NA?NM
NC?NA?NC?NM?22?2?CA
所以动点N的轨迹是以C??1,0?，A?1,0?为焦点的椭圆，且长轴长为2a?22，焦距2c?2，所以a?曲线E的方程为
x222，c?1，b?1
2?y2?1.
???? 4分 ?x22?y?1?（II）（2）设Ｆ（x1，y1）H（x2，y2），则由?2，
?2?y?kx?k?1 消去y得(2k2?1)x2?4kk2?1x?2k2?0,??8k2?0(?k?0) ?x1?x2??4k2kk22?1????????OF?OH?x1x2?y1y2?x1x2?(kx1??(k?1)x1x2?k??22?1,x1x2?2k2k22?12
k?1)2k?1)(kx2?2k?1(x1?x2)?k?14k(k?1)2k?1?122
22(k?1)?2k2k?123?k?12k?12222222??2?k?1?2k?12k?134?k?1, ???? 8分
8
?|FH|?(1?k)[(x1?x2)?4x1x2]?222(1?k)?22k22
.2k?1 又点O到直线FH的距离d?1，
?S?12d|FH|?2k(k?1)2k?1222令t?2k?12t?[2,3],k?212(t?1),
?S?1t(t?1)[1912(t?1)?1)?1t21t3212?(t?1)?1?1t22222231?1t2 ?2?t?3,?64?S?23??14?
???? 12分
9
