2009年上海市初中毕业统一学业考试
数 学 卷
（满分150分，考试时间100分钟）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．计算(a3)2的结果是（ ） A．a5
B．a6
C．a8
D．a9
2．不等式组??x?1?0，?x?2?1的解集是（ ）
C．?1?x?3
xA．x??1 B．x?3
x?1x?3xx?1 D．?3?x?1
?y，将原方程化为关于y的
3．用换元法解分式方程?1?0时，如果设
x?1整式方程，那么这个整式方程是（ ） A．y?y?3?0 C．3y?y?1?0
222 B．y2?3y?1?0 D．3y?y?1?0
2
4．抛物线y?2(x?m)?n（m，n是常数）的顶点坐标是（ ） A．(m，n)
B．(?m，n)
C．(m，?n)
D．(?m，?n)
5．下列正多边形中，中心角等于内角的是（ ） A．正六边形
ADDFCDEFBCCEBCBEB．正五边形 C．正四边形
BCCECDEFDFADADAFC．正三边形
6．如图1，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ） A．C．
??A C B D F
B．??
E D．
图1
- 1 -
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直线填入答题纸的相应位置】 7．分母有理化：15? ．
8．方程x?1?1的根是 ．
9．如果关于x的方程x2?x?k?0（k为常数）有两个相等的实数根，那么k? ． 10．已知函数f(x)?11．反比例函数y?11?x，那么f(3)? ．
2x图像的两支分别在第 象限．
12．将抛物线y?x2?2向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式
是 ．
13．如果从小明等6名学生中任选1名作为“世博会”志愿者，那么小明被选中的概率
是 ．
14．某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是 元（结果用含m的代数式表示）．
?????15．如图2，在△ABC中，AD是边BC上的中线，设向量AB?a，
???????????????BC?b，如果用向量a，b表示向量AD，那么AD= ．
A B A 16．在圆O中，弦AB的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半径OA? ．
17．在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，交点为
O．在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD成为
D 图2
C 矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是 ． 18．在Rt△ABC中，?BAC?90°，AB?3，M为边BC上的点，联结AM（如图3所示）．如果将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，那么点M到AC的距离是 ． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：
2a?2a?1?(a?1)?a?1a?2a?122B M 图3
C
．
- 2 -
?y?x?1，20．（本题满分10分）解方程组：?2?2x?xy?2?0.①②
21．（本题满分10分，每小题满分各5分）
AD∥BC，AB?DC?8，?B?60°，BC?12，如图4，在梯形ABCD中，联结AC．
（1）求tan?ACB的值；
（2）若M、N分别是AB、DC的中点，联结MN，求线段MN的长．
B 图4
C
A D - 3 -
22．（本题满分10分，第（1）小题满分2分，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分2分，第（4）小题满分3分）
为了了解某校初中男生的身体素质状况，在该校六年级至九年级共四个年级的男生中，分别抽取部分学生进行“引体向上”测试．所有被测试者的“引体向上”次数情况如表一所示；各年级的被测试人数占所有被测试人数的百分率如图5所示（其中六年级相关数据未标出）． 次数 人数 0 1 2 3 4 5 6 2 7 2 8 2 9 0 10 1 1 1 2 2 3 4 表一
根据上述信息，回答下列问题（直接写出结果）：
（1）六年级的被测试人数占所有被测试人数的百分率 是 ；
（2）在所有被测试者中，九年级的人数是 ； （3）在所有被测试者中，“引体向上”次数不小于6的人数所占的百分率是 ；
（4）在所有被测试者的“引体向上”次数中，众数是 ． 23．（本题满分12分，每小题满分各6分）
已知线段AC与BD相交于点O，联结AB、DC，E为
OB的中点，F为OC的中点，联结EF（如图6所示）．
八年级 九年级
25%
30% 七年级
六年级 25%
图5
A
O D （1）添加条件?A??D，?OEF??OFE，
F E 求证：AB?DC． B C
图6
（2）分别将“?A??D”记为①，“?OEF??OFE”记为②，“AB?DC”记为③，添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③，以①为结论构成命题2．命题1是 命题，命题2是 命题（选择“真”或“假”填入空格）．
- 4 -
24．（本题满分12分，每小题满分各4分）
O为原点，在直角坐标平面内，点A的坐标为(1，点C的坐标为(0，直线CM∥x4)，0)，
轴（如图7所示）．点B与点A关于原点对称，直线y?x?b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，联结OD． （1）求b的值和点D的坐标；
（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的圆P与圆O外切，求圆O的半径．
B y 4 C 3 2 1 A 1 图7 x
D y?x?b
M ?1 O - 5 -
25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）
已知?ABC?90°，AB?2，BC?3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足
PQPC?ADAB（如图8所示）．
（1）当AD?2，且点Q与点B重合时（如图9所示），求线段PC的长； （2）在图8中，联结AP．当AD?S△APQS△PBC32，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距
离为x，
?y，其中S△APQ表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）当AD?AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图10所示），求?QPC的大小．
Q B
图8
C
（Q） B
图9
）
C
B Q
图10
C A D
A
P P D
A D
P - 6 -
2009年上海市初中毕业统一学业考试
数 学 卷 答 案
（满分150分，考试时间100分钟）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．计算(a3)2的结果是（B ） A．a5
B．a6
C．a8
D．a9
2．不等式组??x?1?0，?x?2?1的解集是（ C ）
?3xx?1A．x??1 B．x?3
x?1xC．?1?x?3
xD．?3?x?1
x?1?y，将原方程化为关于y的
3．用换元法解分式方程?1?0时，如果设
整式方程，那么这个整式方程是（ A ） A．y?y?3?0 C．3y?y?1?0
222B．y2?3y?1?0 D．3y?y?1?0
2
4．抛物线y?2(x?m)?n（m，n是常数）的顶点坐标是（ B ） A．(m，n)
B．(?m，n)
C．(m，?n)
D．(?m，?n)
5．下列正多边形中，中心角等于内角的是（ C ） A．正六边形
ADDFCDEFBCCEBCBE B．正五边形
BCCECDEFDFADADAFC．正四边形 C．正三边形
A C E 图1
B D F
6．如图1，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（A ） A．C．
??
B．D．
??
- 7 -
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直线填入答题纸的相应位置】 7．分母有理化：15?55
8．方程x?1?1的根是 x=2 ．
19．如果关于x的方程x2?x?k?0（k为常数）有两个相等的实数根，那么k?． 410．已知函数f(x)?11．反比例函数y?11?x，那么f(3)? —1/2 ．
2x图像的两支分别在第 I III 象限．
12．将抛物线y?x2向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是
y?x．
213．如果从小明等6名学生中任选1名作为“世博会”志愿者，那么小明被选中的概率是 1/6 ． 14．某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是100*(1—m)^2 元（结果用含m的代数式表示）．
??????????15．如图2，在△ABC中，AD是边BC上的中线，设向量 ，AB ?aBC?b????????????A 如果用向量a，b表示向量AD，那么AD=a+(b/2)． 16．在圆O中，弦AB的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半径OA? 5 ．
17．在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，交点为O．在B 不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是AC=BD 或者有个内角等于90度 ．
18．在Rt△ABC中，?BAC?90°，AB?3，M为边BC上的
点，联结AM（如图3所示）．如果将△ABM沿直线AM翻B 折后，点B恰好落在边AC的中点处，那么点M到AC的距离是 2 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 计算：= —1
2a?2a?1?(a?1)?a?1a?2a?122D 图2 A C M 图3
C
．
- 8 -
20．（本题满分10分） ?y?x?1，解方程组：?2?2x?xy?2?0.①②
(X=2 y=3 ) (x=-1 y=0)
21．（本题满分10分，每小题满分各5分）
AD∥BC，AB?DC?8，?B?60°，BC?12，如图4，在梯形ABCD中，联结AC． （1）求tan?ACB的值；
（2）若M、N分别是AB、DC的中点，联结MN，求线段MN的长．
(1) 二分之根号3
A （2）8
B 图4
C
D 22．（本题满分10分，第（1）小题满分2分，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分2分，第（4）小题满分3分）
为了了解某校初中男生的身体素质状况，在该校六年级至九年级共四个年级的男生中，分别抽取部分学生进行“引体向上”测试．所有被测试者的“引体向上”次数情况如表一所示；各年级的被测试人数占所有被测试人数的百分率如图5所示（其中六年级相关数据未标出）． 次数 人数
根据上述信息，回答下列问题（直接写出结果）：
（1）六年级的被测试人数占所有被测试人数的百分率是 20% ；
（2）在所有被测试者中，九年级的人数是 6 ； （3）在所有被测试者中，“引体向上”次数不小于6的人数所占的百分率是 35% ；
（4）在所有被测试者的“引体向上”次数中，众数是 5 ．
八年级 九年级 25%
30% 七年级
六年级 25%
图5
0 1 1 1 2 2 3 2 4 3 5 4 6 2 7 2 8 2 9 0 10 1 表一 - 9 -
23．（本题满分12分，每小题满分各6分）
已知线段AC与BD相交于点O，联结AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，联结EF（如图6所示）． D A （1）添加条件?A??D，?OEF??OFE，
O 求证：AB?DC．
证明：由已知条件得：2OE=2OC OB=OC 又 ?A??D
F E
角AOB=角DOC 所以三角形ABO全等于三角形DOC B C
图6
所以AB?DC
（2）分别将“?A??D”记为①，“?OEF??OFE”记为②，“AB?DC”记为③，添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③，以①为结论构成命题2．命题1是 真 命题，命题2是 假 命题（选择“真”或“假”填入空格）．
24．（本题满分12分，每小题满分各4分）
O为原点，在直角坐标平面内，点A的坐标为(1，点C的坐标为(0，直线CM∥x4)，0)，
轴（如图7所示）．点B与点A关于原点对称，直线y?x?b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，联结OD． （1）求b的值和点D的坐标；
（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的圆P与圆O外切，求圆O的半径．
解：（1）点B（—1，0），代入得到 b=1 直线BD： y=x+1
Y=4代入 x=3 点D（3，1）
（2）1、PO=OD=5 则P（5，0）
2、PD=OD=5 则PO=2*3=6 则点P（6，0）
y 4 C 3 2 B 1 A 1 图7 x
D y?x?b
M ?1 O 3、PD=PO 设P（x，0） D（3，4）
则由勾股定理 解得 x=25/6 则点P（25/6，0） （3）由P，D两点坐标可以算出：
1、PD=25 r=5—25 2、PD=5 r=1 3、PD=25/6 r=0
25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）
已知?ABC?90°，AB?2，BC?3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足
PQPC?ADAB（如图8所示）．
（1）当AD?2，且点Q与点B重合时（如图9所示），求线段PC的长；
- 10 -
（2）在图8中，联结AP．当AD?S△APQS△PBC32，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距
离为x，
?y，其中S△APQ表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）当AD?AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图10所示），求?QPC的大小．
A
Q B
图8
C
（Q） B
C
图9
Q
D
A
P P B
图10
。
P D
A D
C 解：（1）AD=2，且Q点与B点重合，根据题意，∠PBC=∠PDA，因为∠A=90
PQ/PC=AD/AB=1,所以：△PQC为等腰直角三角形，BC=3，所以：PC=3 /2,
（2）如图：添加辅助线，根据题意，两个三角形的面积可以分别表示成S1，S2， 高分别是H，h，
则：S1=（2-x）H/2=（2*3/2）/2-(x*H/2)-(3/2)*(2-h)/2 S2=3*h/2 因为两S1/S2=y，消去H,h,得： 2Y=-(1/4)*x+(1/2), 定义域：当点P运动到与D点重合时，X的取值就是最大值，当PC垂直BD时，这时X=0，连接DC,作QD垂直DC，由已知条件得：B、Q、D、C四点共圆，则由圆周角定理可以推知：三角形QDC相似于三角形ABD
QD/DC=AD/AB=3/4，令QD=3t,DC=4t,则：QC=5t，由勾股定理得：
直角三角形AQD中：(3/2)^2+(2-x)^2=(3t)^2 直角三角形QBC中：3^2+x^2=(5t)^2
整理得：64x^2-400x+301=0 (8x-7)(8x-43)=0 得 x1=7/8 x2=(43/8)>2(舍去) 所以函数: Y=-(1/4)*x+1/2的定义域为[0，7/8]
(3)因为：PQ/PC=AD/AB,假设PQ不垂直PC，则可以作一条直线PQ′垂直于PC，与AB交于Q′点，
则：B，Q′，P，C四点共圆，由圆周角定理，以及相似三角形的性质得： PQ′/PC=AD/AB,
又由于PQ/PC=AD/AB 所以，点Q′与点Q重合，所以角∠QPC=90。 A Q B
D A
P P D
A D
P 图8
C
（Q） B
C
图9
B Q
图10
C - 11 -
2009年上海市中考数学试卷分析
?a?32 1.B 【解析】本题考查幂的运算法则。根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可得
?a3?26?a.
2.C 【解析】本题考查不等式组的解法，先解出每一个不等式的解集，再求其共集。解不等式x?1?0得x??1，解不等式x?2?1得x?3，所以原不等式组的解集为?1?x?3.3.A 【解析】本题考查了运用换元法解分式方程。设
x?1x?y，则
xx?1?1y，所以
x?1x?3xx?1?1?0可化为y?3y?1?0，去分母得y?y?3?0.
2 4.B 【解析】本题考查二次函数的顶点式与顶点坐标的关系：解析式为y?a?x?h??k形式的称为二次函数的顶点式，其顶点坐标为?h,k?.
25.C 【解析】本题考查了正多边形中心角与内角度数的求法。根据正多边形中心的圆周角、多边形的内角和公式可求得：正六边形的中心角为60°，内角为120°；正五边形的中心角为72°，内角为108°；正四边形的中心角为90°，内角为90°；正三边形的中心角为120°，内角为60°.
6.A 【解析】本题考查相似三角形的判定和性质。如图，过点C作GH//AF，分别交直线AB、EF于G、H.因为AB//CD//EF，可知四边形ADCG、DFHC都是平行四边形，所以GC=AD，CH=DF.由GB//EH，可知△BCG∽△ECH，所以
GCCH?BCCE，所以
ADDF?BCCE.
7.
55 【解析】本题考查分母有理化的方法，关键是找到最简便的有理化因式：一个无理
数的有理化因式是它本身，一个多项式的有理化因式要结合自身特点，借助平方差公式寻找。
- 12 -
15?1?5?55?55. 8.x?2 【解析】本题考查无理方程的解法，要按照从无理到有理，从分式到整式的过程去解答。将方程方程的根.9.
14 x?1?1两边平方得
?x?1?22?1,x?1?1,x?2，经检验，x?2是原
【解析】本题考查二元一次方程中根与系数的关系。原方程有两个相等的实数根，
2说明原方程根的判别式为0，即??1??4k?0，解得k?10.?1214. 【解析】本题考查了函数与自变量的关系。f(3)?11?3??12。
11.一、三 【解析】本题考查了反比例函数图象的性质。反比例函数y?kx的图像是双曲
线，当k?0时，图像的两个分支在第一、三象限；当k?0时，图像的两个分支在第二、四象限.
12.y?x2?1 【解析】本题考查了抛物线的平移。抛物线y?x2?2的顶点坐标为（0，－2），将该抛物线向上平移一个单位后得到的新的抛物线与原抛物线的形状相同，新抛物线的顶点坐标为（0，－1），其解析式为y?x2?1.13.
16 【解析】本题考查了求简单随机事件概率的方法。在这个事件中一共有6种选择，
1而小明被选中的可能为1种，所以小明被选中的概率为.
62 14.100?1?m? 【解析】本题考查了平均增长（降低）率的简便计算方法：第一次降价（降价百分率为m）后的价格为100?1?m?元；将100?1?m?元再降价（降价百分率为m）后的价格为100?1?m??1?m??100?1?m?（元）.
2 ?1?????1????1?15.a?b 【解析】本题考查向量的有关知识。由题意易知DC?BC?b，根据向
222??????????????????????????量的加法法则可知AC?AB?BC?a?b，AD?DC?AC，
??????????????1??1?AD?AC?DC?a?b?b?a?b.22 16.5 【解析】本题考查垂径定理与勾股定理。如图，在⊙O中，AB=6，OC⊥AB于C，则AC=
12AB=3，在Rt△AOC中，OA?OC?AC22?4?3?5.
22 - 13 -
17. AC=BD或∠ABC=90°等 【解析】本题考查了矩形的判定方法，是一道开放性问题.由对角线AC与BD互相平分，可知四边形ABCD是平行四边形.根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可添加条件“AC=BD”；根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可考虑添加条件“∠ABC=90”.
18.2 【解析】本题考查轴对称的性质、角平分线的性质和面积法。如图，将△ABM沿直线AM翻折后得△ADM，点B落于AC上点D，则∠BAM=∠DAM，AD=AB=3，由D为AC的中点，则AC=2AD=6.过点M分别作ME⊥AB于E，MF⊥AD于F，则ME=MF（角平分线上的点到角的两边的距离相等），设ME=MF=x，则S?ABM?12AB?ME=3212×3×x=
3212x， S?AMC=AB×AC=
1212AC·MF=
12×6×x=3x，所以S?ABC=S?ABM+S?AMC=以
92x?9，解得x?2. x+3x=
92x,又S?ABC=
×3×6=9，所
19.解：
2a?2a?1??a?1??a?1a?2a?122
?
点拨：本题按照分式化简的步骤，本着化除为乘、先分解后约分、化异为同的思想来解答。 20.分析：本题考查二元二次方程组的解法，在解题时观察本题的特点，可用代入法先消去未知数y，求出未知数x的值后，进而求得这个方程组的解。
- 14 -
解：由①得：y?x?1③
把③代入②，得2x?x?x?1??2?0
2解这个方程，得x1??1,x2?2. 当x1??1时，y1??1?1?0 当x2?2时，y2?2?1?3 ?x1??1,?x2?2,∴原方程组的解为? ??y1?0?y2?3.21.分析：（1）结合等腰梯形的特点，构造直角三角形，然后根据三角函数的定义来求∠ACB的正切值。（2）在等腰梯形上添加辅助线，将等腰梯形划分为两个全等的直角三角形和一个矩形，然后求得AD的长，再由梯形的中位线的性质求线段MN的长。 解：（1）如图，作AE⊥BC于点E.
在Rt△ABE中，BE=AB·cosB=8×cos60°=4 AE=AB·sinB=8×sin60°=43 ∴CE?BC?BE?12?4?8 在Rt△ACE中，tan?ACB?AEEC?438?32.
（2）作DF⊥BC于F，则四边形AEFD是矩形 ∴AD=EF，DF=AE.
又∵AB=DC，∠AEB=∠DFC=90° ∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL） ∴CF=BE=4
∴EF=BC－BE－CF=12－4－4=4. ∴AD=4.
又∵M、N分别是AB、DC的中点 ∴MN是梯形ABCD的中位线 ∴MN?12?AD?BC??12?4?12??8.
- 15 -
22.（1）20%；（2）6；（3）35%；（4）5.
点拨：理清题意，认真研读统计表和统计图，从中找出解题所需的信息，然后按照概率的基本概念来解答。
23.分析：（1）要证AB=DC，可考虑证△AOB≌△DOC.这两个三角形中已有了∠A=∠D，∠AOB=∠DOC两个条件，只需再找一组对应边相等即可，结合已知条件易知OB=OC；
（2）对于命题1，可证△AOB≌△DOC得到OB=OC，再得OE=OF，从而能得到?OEF??OFE，故其是真命题；对于命题2，由所给的条件不能证明△AOB≌△DOC，因此其是假命题. （1）证明：∵E为OB的中点，F为OC的中点 ∴OB=2OE，OC=2OF ∵∠OEF=∠OFE ∴OE=OF ∴OB=OC
在△AOB与△DOC中
∠A=∠D，∠AOB=∠DOC，OB=OC ∴△AOB≌△DOC（AAS） ∴AB=DC （2）真 假
24.分析：（1）先求出点B的坐标，由直线过点B，把点B的坐标代入解析式，可求得b的值；点D在直线CM上，其纵坐标为4，利用求得的解析式确定该点的横坐标即可； （2）△POD为等腰三角形，有三种情况：PO=OD，PO=PD，DO=DP，故需分情况讨论，要求点P的坐标，只要求出点P到原点O的距离即可；
（3）结合（2），可知⊙O的半径也需根据点P的不同位置进行分类讨论. 解：（1）∵B与A（1，0）关于原点对称 ∴B（－1，0） ∵y?x?b过点B
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∴?1?b?0,b?1 ∴y?x?1
当y?4时，x?1?4,x?3 ∴D（3，4）
（2）作DE⊥x轴于点E，则OE=3，DE=4 ∴OD?OE?DE22?3?4?5.
22若△POD为等腰三角形，则有以下三种情况
①以O为圆心，OD为半径作弧交x轴的正半轴于点P1，则OP1?OD?5 ∴P1(5,0)
②以D为圆心，DO为半径作弧交x轴的正半轴于点P2，则DP2?DO?5 ∵DE⊥OP2 ∴P2E?OE?3 ∴OP2?6 ∴P2?6,0?.
③取OD的中点M，过M作OD的垂线交x轴的正半轴于点P3，则OP3?DP3 易知△OMP3∽△DCO ∴
OP3DO?OMDC
5∴
OP3525?2,OP3? 36∴P3??25?,0? ?6??25?,0?. ?6?综上所述，符合条件的点P有三个，分别是P1(5,0)，P2?6,0?，P3?（3）①当P1(5,0)时，P1E?OP1?OE?5?3?2，OP1?5
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∴P1D?PE1?DE22?2?4?25.
22∴⊙P的半径为25 ∵⊙O与⊙P外切， ∴⊙O的半径为5?25；
②当P2?6,0?时，P2D?DO?5，OP2?6 ∴⊙P的半径为5 ∵⊙O与⊙P外切， ∴⊙O的半径为1； ③当P3?25?， ,0?时，P3D?OP3?6?6??25∴⊙P的半径为
256.
∵⊙O与⊙P外切，
∴⊙O的半径为0，即此圆不存在.
25.分析：（1）当AD=2时，AD=AB，此时△ABD为等腰直角三角形，易证△BPC也是等腰直角三角形，BC长已知，则PC的长可求；
（2）易知点P到AB的距离与到BC的距离的比与BA、AD长度的比相等，即△APQ中AQ边上的高与△PBC中BC边上的高的比可求，AQ=2?x，BC=3，则△APQ与△BPC的面积可表示出来，利用其面积比为y，可得函数关系式.
（3）作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，由已知条件可证RT△PCF∽RT△PQE，则∠EPQ=∠FPC，利用角的和差关系可求得?QPC=90°.
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解：（1）∵AD//BC，∠ABC=90° ∴∠A=∠ABC=90° 当AD=2时，AD=AB ∴∠D=∠ABD=45° ∴∠PQC=∠D=45° ∵
PQPC?ADAB?22?1
∴PQ=PC
∴∠C=∠PQC=45° ∴∠BPC=90°
∴PC?BC?sin45??3?22?322.
（2）如图，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F. ∵∠ABC=90° ∴四边形EBFP是矩形 ∴PF=BE 又∠A=90° ∴PE//AD
∴Rt△BEP∽Rt△BAD ∴
BEEP?BAAD?232?43.
设BE?4k，则PE?3k ∴PF?BE?4k
∵BQ?x，∴AQ?AB?BQ?2?x ∴S?AQP?12AQ?PE?12?2?x??3k,S?BPC?12BC?PF?12?3?4k?6k.
1∵
S?AQPS?BPC?y，∴2?2?x??3k6k?y，y??14x?1?79?x??2?84??. ? - 19 -
（3）如图，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F. ∵∠ABC=90° ∴四边形EBFP是矩形 ∴PF=BE，∠EPF=90° 又∠A=90° ∴PE//AD
∴Rt△BEP∽Rt△BAD ∴∴
BEEPPFEP??BAADABAD
又∵
PCPQ?BAAD.
∴
PFPE?PCPQ
∴RT△PCF∽RT△PQE ∴∠EPQ=∠FPC
∵∠EPQ+∠QPF=∠EPF=90° ∴∠FPC+∠QPF=90° 即∠QPC=90°.
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