源于名校，成就所托
高中数学备课组 日期 学生情况： 教师 上课时间 班级 学生 主课题：三角函数、立体几何 教学目标： 教学重点： 教学难点： 考点及考试要求：
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教学内容 三角函数 1、已知：函数f(x)?2(sinx?cosx)． （1）求函数f(x)的最小正周期和值域； （2）若函数f(x)的图象过点(?,)，65?4???3??.求f(??)的值． 44解：（1）f(x)?2(sinx?cosx)?2(sinx??22?cosx?)?2sin(x?)---3分 422∴函数的最小正周期为2?，值域为{y|?2?y?2}。--------------------------------------5分 （2）解：依题意得：2sin(??∵?6?3)?, sin(??)?,---------------------------6分 4545?4???3???. ∴0????, 442∴cos(????34)＝1?sin2(??)?1?()2?-----------------------------------------8分 4455??f(??)＝2sin[(??)?] 444∵sin[(?????????23472)?]?sin(??)cos?cos(??)sin＝ (?)?4444442551072------------------------------------------------------------------------------12分 5∴f( ?4??)＝2、在?ABC中，AB?2，BC?1，cosC?（Ⅰ）求sinA的值； （Ⅱ）求BC?CA的值． 解：（1）在?ABC中，由cosC?又由正弦定理3． 437，得sinC?…………………………2分 44ABBC? ………………………………………3分 sinCsinA得：sinA?14…………………………………………………………………………………4分 83……6分 42222（2）由余弦定理：AB?AC?BC?2AC?BC?cosC得：2?b?1?2b? 2
2即b?31b?1?0，解得b?2或b??（舍去），所以AC?2………………8分 22所以，BC?CA?BC?CA?cos?BC,CA??BC?CA?cos(??C)……………10分 333?1?2?(?)??，即BC?CA??……………… ……12分 242 3、已知函数f(x)?2acos2x?bsinxcosx?（1）求f(x)的最小正周期； （2）求f(x)的单调递增区间. 解：(1) 由 f (0) = 3 3 得a= , 2233?1,且f(0)?,f()?. 22421?由 f ( ) = 得b=1 42∴ f (x) =3 cos2x+sin x cos x－ = 3 23 1? cos 2x + sin 2x = sin(2x+ ) 223 6分 故最小正周期T?? (2) 由2k??得 k???2?2x??3?2k???2(k?Z) 5???x?k??(k?Z) 12125??,k??](k?Z) 故f(x)的单调递增区间为[k??12124、已知函数f(x)?2asinx?cosx?2cos2x?1，f()?4， 12分 ?6（1）求实数a的值； （2）求函数f(x)在x?[???,]的值域。 44解：解:(1)由题意得:f()?2asin??66cos?6?2cos2?6?1?4， 即：35a??4，………………………..2分 22解得：a?3； ?a的值为3。……………………………..3分 （2）由（1）得：f(x)?23sinx?cosx?2cosx?1?23sin2x?(cos2x?1)?1 ……………….…..5分 3
?3sin2x?cos2x?2?2sin(2x??6)?2………….…………7分 ?x?[????6,]44?2x??6?[??2?3,3]，…………………………………………..8分 23令z?2x?，则y?sinz在[????2?，]上为增函数，在[，]上为减函数，…10分 32?sin(2x??6)?[?3,1],则f(x)?[2?3,4]， 2即f(x)的值域为[2?3，4]…………………………….12分 5、函数f(x)?cos(?)?cos(x24k?1x??),k?Z,x?R。 22（1）求f(x)的周期；（2）解析式及f(x)在[0,?)上的减区间； （3）若f(?)???210，??(0,)，求tan(2??)的值。 245x24k?1xx?x??)?cos?cos(2k???) 22222xxx??sin?cos?2sin(?)，（k?Z） 22242?所以，f(x)的周期T??4?。 …… 4分 12?x?3?5（2）由?2k??????2k?,k?Z，得?4k??x???4k?,k?Z。 224222解：（1）f(x)?cos(?)?cos(又x?[0,?)， 令k?0，得?2?x?57?3?；令k??1，得??x???（舍去） 222∴ f(x)在[0,?)上的减区间是[?2,?)。 …… 8分 （3）由f(?)?∴ 1?sin????210210，得sin?cos?， 225583， ∴sin?? 55又??(0,?2)，∴cos??1?sin2??1?94? 2552?3sin?32tan?4?24 ?，∴tan2??∴ tan???9cos?471?tan2?1?16
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24?131?4?7∴tan(2??)???。 ……12分 ?244171?tan2?tan1?47???25?6、已知向量a?(cos?,sin?), b?(cos?,sin?), |a?b|?. 5（Ⅰ）求cos(???)的值; ??5（Ⅱ）若0???, ????0, 且sin???, 求sin?. 2213tan2??tan解：（Ⅰ）?a?(cos?,sin?), b?(cos?,sin?), ?a?b??cos??cos?，sin??sin??. ……………2分 a?b?25, ?5?cos??cos????sin??sin??22?25, ………3分 5即 2?2cos??????（Ⅱ）43, ………5分 ?cos??????. ……………6分 55???0,?0??????, ……………7分 ?sin??????45， 2235cos??????, sin???5130????,??cos??1213……………9分 ?sin??sin????????????sin?????cos??cos?????sin???????11分?12分 7、已知向量a?(sinx,1),b?(cosx,1)。 2 (1) 当a//b时，求2cosx?sin2x的值； 4123?5?33. ……………???????5135?13?65 (2) 求f(x)?a?b的最小正周期。 解：（1）?a?(sinx,1),b?(cosx,1),a//b，∴sinx?cosx?0 …..3分 2cos2x?sin2x?2cosx(cosx?sinx)?0。…………………6分 （2）由已知可得：f(x)?a?b?sinx?cosx?1?1sin2x?1………..11分 2∴ f(x)的最小正周期为T?2??? …………12分 2388、设a?(sin2x,cos2x),b?(cos?,sin?)(0????),函数f(x)?a?b 且f(?)?0. （Ⅰ）求?；（Ⅱ）在给出的直角坐标系中画出函数y?f(x)在区间[0,?]上的图像； （Ⅲ）根据画出的图象写出函数y?f(x)在[0,?]上的单调区间和最值.
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解: f(x)?a?b =sin2xcos??cos2xsin??sin(2x??) 2分 由题可知：sin(2????)?0， 3分 383?????k?(k?Z)， 4分 4?0????,????4 5分 （2） 9分（3）单调增区间：[0,?8?5单调减区间：[,?] 11分 88],[5?,?] 10分 8 函数的最大值是：1 函数的最小值是：?1 12分 9、已知：A、B、C是?ABC的内角，a,b,c分别是其对边长，向量m?（Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）若a?2,cosB?解:(Ⅰ)?m?n ?3,cosA?1?，n??sinA,?1?，m?n. 3,求b的长. 3?m?n??3,cosA?1???sinA,?1??3sinA??cosA?1????1??0 ?3sinA?cosA?1……4分 ??1??sin?A???……6分 6?2?
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∵0?A??,???6?A??6?5???,?A??,……7分 666?A??3.……8分 (Ⅱ)在?ABC中，A??3，a?2 ，cosB?3 3?sinB?1?cos2B?1?由正弦定理知：16……9分 ?33ab?,……10分 sinAsinB? b?asinB=?sinA2?63?42.?b?42……12分 3332 立体几何 1、已知四棱锥P?ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点. (1) 求四棱锥P?ABCD的体积； (2) 是否不论点E在何位置，都有BD?AE？证明你的结论； (3) 若点E为PC的中点，求二面角D?AE?B的大小. P E 22 D C A B 1正视图1侧视图1俯视图12、如图，已知AB?平面ACD，DE?平面ACD，△ACD为等边三角形，AD?DE?2AB，F为CD的中点. (1) 求证：AF//平面BCE； (2) 求证：平面BCE?平面CDE； (3) 求直线BF和平面BCE所成角的正弦值. B E A C F D 7
3、如图所示,在矩形ABCD中，AD=2AB=2，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使二面角D′—EC—B是直二面角. （1）证明：BE⊥C D′； （2）求二面角D′—BC—E的正切值. D'AEDCB4、如图：直三棱柱ABC－A1B1C1中， AC=BC=AA1=2，∠ACB=90?.E为BB1的中点，D点在AB上且DE=3 . （Ⅰ）求证：CD⊥平面A1ABB1； （Ⅱ）求三棱锥A1－CDE的体积. 5、如图，在底面是矩形的四棱锥P?ABCD中，PA?面ABCD，E、F为别为PD、 AB的中点，且PA?AB?1，BC?2 ， （Ⅰ）求四棱锥E?ABCD的体积； P （Ⅱ）求证：直线AE∥平面PFC E A D F B C
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6、在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?AC?1，?BAC?900，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于600，设AA1?a. （1）求a的值； （2）求平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小. 7、如图6，在直角梯形ABCP中，AP//BC，AP?AB，AB=BC=A1 B1 C1 A B C 1AP?2，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、2PD、CB的中点，将?PCD沿CD折起，使得PD?平面ABCD,如图7. （Ⅰ）求证：AP//平面EFG； (Ⅱ) 求二面角G?EF?D的大小; （Ⅲ）求三棱椎D?PAB的体积. BGCEADFPP图6 GFAECBD图7 8、如图，四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点．若PA?AD?3，CD?6． （Ⅰ）求证：AF//平面PCE； （Ⅱ） 求点F到平面PCE的距离； （Ⅲ）求直线FC平面PCE所成角的正弦值． 9
P是AD1上的动点． 9、如图，已知ABCD?A1B1C1D1是底面为正方形的长方体，?AD1A1?4，点1?60，ADA（1）试判断不论点P在AD1上的任何位置，是否都有平面 BCPDB1PA1垂直于平面AA1D1？并证明你的结论； （2）当P为AD1的中点时，求异面直线AA1与B1P所成角的余弦值； （3）求PB1与平面AA1D1所成角的正切值的最大值． B1A1D1C1?10、如图，在四棱锥P?ABCD中，底面为直角梯形，AD//BC,?BAD?90，PA垂直于底面ABCD，PA?AD?AB?2BC?2,M,N分别为PC,PB的中点。 (1)求证：PB?DM；（2）求BD与平面ADMN所成的角；（3）求截面ADMN的面积。 10
11、已知PA?平面ABCD，PA?AB?AD?2，AC与BD交于E点，BD?2，BC?CD， （1）取PD中点F，求证:PB//平面AFC。 （2）求二面角A?PB?E的余弦值。 12、如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点， CA?CB?CD?BD?2,AB?AD?2. （I）求证：AO?平面BCD； A （II）求异面直线AB与CD所成角的余弦； （III）求点E到平面ACD的距离． D O C B E 答案： 1、解：(1) 由三视图可知，四棱锥P?ABCD的底面是边长为1的正方形， 侧棱PC?底面ABCD，且PC?2. …………2分 112S正方形ABCD?PC??12?2?， 3332即四棱锥P?ABCD的体积为. …………4分 3(2) 不论点E在何位置，都有BD?AE. …………5分 证明如下：连结AC，∵ABCD是正方形，∴BD?AC. …………6分 ∵PC?底面ABCD，且BD?平面ABCD，∴BD?PC. …………7分 又∵ACPC?C，∴BD?平面PAC. …………8分 ∵不论点E在何位置，都有AE?平面PAC. ∴不论点E在何位置，都有BD?AE. …………9分 D (3) 解法1：在平面DAE内过点D作DF?AE于F，连结BF. ∴VP?ABCD?∵AD?AB?1，DE?BE?1?1?2，AE?AE?3， A ∴Rt△ADE≌Rt△ABE， 从而△ADF≌△ABF，∴BF?AE. ∴?DFB为二面角D?AE?B的平面角. …………12分
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22P E C F B
在Rt△ADE中，DF?AD?DE1?2??BF， AE3又BD?2，在△DFB中，由余弦定理得 22??2DF?BF?BD13cos?DFB????， …………13分 22DF?BF22?3∴?DGB?120?，即二面角D?AE?B的大小为120?. …………14分 222 解法2：如图，以点C为原点，CD，CB，CP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角 坐标系. 则D(1,0,0)，A(1,1,0)，B(0,1,0)，E(0,0,1)，从而 DA?(0,1,0)，DE?(?1,0,1)，BA?(1,0,0)，BE?(0,?1,1). …………10分 设平面ADE和平面ABE的法向量分别为 P z n1?(x1,y1,z1)，n2?(x2,y2,z2)， ??n1DA?0?y1?0??由?，取?x?z?0??n1DE?0?11n1?(1,0,1). …………11分 ??n2BA?0?x2?0??由?，取??n2BE?0??y2?z2?0n2?(0,?1,?1). …………12分 设二面角D?AE?B的平面角为?，则cos?? ∴??A y E D x C B n1n2n1?n2??11??， …………13分 22?22?2?，即二面角D?AE?B的大小为. …………14分 33B E 2、方法一： (1) 证法一：取CE的中点G，连FG、BG. 1∵F为CD的中点，∴GF//DE且GF?DE. …………1分 2∵AB?平面ACD，DE?平面ACD， G ∴AB//DE，∴GF//AB. …………2分 H 1又AB?DE，∴GF?AB. …………3分 2∴四边形GFAB为平行四边形，则AF//BG. …………4分 C F ∵AF?平面BCE，BG?平面BCE， ∴AF//平面BCE. …………5分 证法二：取DE的中点M，连AM、FM. ∵F为CD的中点，∴FM//CE. …………1分 ∵AB?平面ACD，DE?平面ACD，∴DE//AB. …………2分 1又AB?DE?ME， 2∴四边形ABEM为平行四边形，则AM//BE. …………3分
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A M D
∵FM、AM?平面BCE，CE、BE?平面BCE， ∴FM//平面BCE，AM//平面BCE. 又FMAM?M，∴平面AFM//平面BCE. …………4分 ∵AF?平面AFM， ∴AF//平面BCE. …………5分 (2) 证：∵?ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF?CD. …………6分 ∵DE?平面ACD，AF?平面ACD，∴DE?AF. …………7分 又CDDE?D，故AF?平面CDE. …………8分 ∵BG//AF，∴BG?平面CDE. …………9分 ∵BG?平面BCE， ∴平面BCE?平面CDE. …………10分(3) 解：在平面CDE内，过F作FH?CE于H，连BH. ∵平面BCE?平面CDE， ∴FH?平面BCE. ∴?FBH为BF和平面BCE所成的角. …………12分 设AD?DE?2AB?2a，则FH?CFsin45??2a， 2BF?AB2?AF2?a2?(3a)2?2a， R t△FHB中，sin?FBH?FH2. ?BF42. 4…………14分 ∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为方法二： 设AD?DE?2AB?2a，建立如图所示的坐标系A?xyz，则 A?0，0，0?,C?2a，0，0?,B?0,0,a?,Da,3a,0,Ea,3a,2a.…………2分 ?3?3a,0?∵F为CD的中点，∴F?a,?2?. …………3分 2???3?3a,0? (1) 证：AF??a,?2?,BE?a,3a,a,BC??2a,0,?a?， …………4分 2??1BE?BC，AF?平面BCE，∴AF//平面BCE. …………5分 ∵AF?2?3?3a,0,CD??a,3a,0,ED??0,0,?2a?， …………6分 (2) 证：∵AF??a,??2?2????????????∴AF?CD?0,AF?ED?0，∴AF?CD,AF?ED. …………8分 ∴AF?平面CDE，又AF//平面BCE， ∴平面BCE?平面CDE. …………10分 (3) 解：设平面BCE的法向量为n??x,y,z?，由n?BE?0,n?BC?0可得： x?3y?z?0,2x?z?0，取n?1,?3,2. …………12分 ???3?3BF和平面BCE所成的角为?，则 a,?a? 又BF??a,?2?，设2?? sin??BFnBF?n?2a2. ?42a?2213
∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为2. …………14分 43、解：（1）∵AD=2AB=2，E是AD的中点， ∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形， 易知, ∠BEC=90°，即BE⊥EC. 又∵平面D′EC⊥平面BEC，面D′EC∩面BEC=EC, ∴BE⊥面D′EC，又C D′? 面D′EC , ∴BE⊥CD′； （2）法一：设M是线段EC的中点，过M作MF⊥BC 垂足为F，连接D′M，D′F，则D′M⊥EC. ∵平面D′EC⊥平面BEC, ∴D′M⊥平面EBC, A ∴MF是D′F在平面BEC上的射影，由三垂线定理得： D′F⊥BC B ∴∠D′FM是二面D′—BC—E的平面角. 在Rt△D′MF中，D′M=∴tan?D?FM?D'EMFCD1112EC=，MF=AB= 2222D?M?2, MF即二面角D′—BC—E的正切值为2. 法二：如图，以EB，EC为x轴、y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系. 则B（2，0，0），C（0，2，0），D′（0，22，） 22 设平面BEC的法向量为n1?(0,0,1)；平面D′BC的法向量为n2?(x2,y2,z2) BC?(?2,2,0),D?C?(0,??n2?BC?0由????n2?D?C?022,?),22AzD'E ??2x2?2y2?0??22y2?z2?0 ?2?2n1?n233DCyxB取x2?1,得n2?(1,1,1),?cos?n1,n2????|n1|?|n2|? ? tan?n1,n2?= 2 ∴二面角D′—BC—E的正切值为2. 22 4、解：(1)在Rt△DBE中，BE=1，DE=3 ，∴BD=DE－BE =2 = AB，∴ 则D为AB中点, 12而AC=BC， ∴CD⊥AB 又∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱, ∴CD⊥AA1 又 AA1∩AB=A 且 AA1、AB ? 平面A1ABB1 故 CD⊥平面A1ABB1 6分 （2）解：∵A1ABB1为矩形，∴△A1AD，△DBE，△EB1A1都是直角三角形，
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∴ S?A1DE?SA1ABB1?S?A1AD?S?DBE?S?EB1A1 1113=2×22 －2 ×2 ×2－2 ×2 ×1－2 ×22 ×1= 2 2 113∴ VA1－CDE =VC－A1DE = 3 ×SA1DE ×CD= 3 ×2 2 ×2 =1 ∴ 三棱锥A1－CDE的体积为１． 14分 5、解：（1）取AD的中点O，连接EO,则EO是?PAD的中位线，得EO∥PA,故EO?面ABCD, 1111SABCD?EO??1?2?? 6分 33231（2）取PC的中点G,连EG,FG, 由中位线得EG∥CD,EG=CD=AF, ? 四边形AFGE是平行四边形， 2EO是四棱锥E?ABCD的高，VE?ABCD?AE?面PFC???FG?面PFC??AE∥面PFC 6分 AE//FG????A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角， 即?A1BC?60，……（2分） 06、解法一：（1）?BC//B1C1， A1 B1 E A B C1 ??A1BC为等边三角形，……………………………4分 0由AB?AC?1，?BAC?90?BC?连接A1C，又AB?AC，则A1B?A1C F C 2， ?A1B?2?1?a2?2?a?1；………6分 （2）取A1B的中点E，连接B1E，过E作EF?BC1于F，连接B1F， B1E?A1B,A1C1?B1E?B1E?平面A1BC1 ?B1E?BC1 ………………8分 又EF?BC1，所以BC1?平面B1EF，即B1F?BC1， 所以?B1FE就是平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的平面角。…………10分 在?B1EF中，?B1EF?900，B1E?1?22，B1F?, 23?sin?B1FE?B1E3??B1FE?600，…………………………13分 ?B1F2因此平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小为600。…………14分 说明：取B1C1的中点D，连接A1D，…………同样给分（也给10分） z 解法二：（1）建立如图坐标系，于是B(1,0,0)，B1(1,0,1)，C1(0,1,1)，A1(0,0,a)（a?0） B1C1?(?1,1,0)，A1B?(1,0,?a)，? B1C1?A1B??1…………3分 0由于异面直线A1B与B1C1所成的角60， 所以B1C1与A1B的夹角为120 即|B1C1|?|A1B|cos120??1 ????0????0????????B1 A1 C1 B 15 1?2?1?a2(?)??1?a?1………6分 2 C y x
?? ????????????????（2）设向量n?(x,y,z)且n?平面A1BC1 于是n?A1B且n?A1C1，即n?A1B?0且n?A1C1?0， ???? ??x?z?0又A1B?(1,0,?1)，A1C1?(0,1,0)，所以?，不妨设n?(1,0,1)……8分 ?y?0同理得m?(1,1,0)，使m?平面BB1C1，（10分） 设m与n的夹角为?，所以依m?n?|m|?|n|?cos?， ?????????2?2?cos??1?cos????1???600，………………12分 2m?平面BB1C1，n?平面A1BC1， 因此平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小为600。…………14分 ??11说明：或者取BC的中点M，连接AM，于是AM?(,,0)显然AM?平面BB1C1 22??7、解:(Ⅰ) 证明:方法一)连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO. ∵E,F分别为PC,PD的中点,?EF?//1//1CD,同理GO?CD,?EF?//GO 22?四边形EFOG是平行四边形,?EO?平面EFOG. ……3分 又在三角形PAC中,E,O分别为PC,AC的中点,?PA//EO……4分 EO?平面EFOG,PA?平面EFOG, ……5分 ?PA//平面EFOG,即PA//平面EFG. ……6分 方法二) 连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO. ∵E,F分别为PC,PD的中点,?EF?//又CD?AB,?EF?////1//1CD,同理GE?PB 221AB 2EG?EF?E,PB?AB?B,?平面EFG//平面PAB, ……4分 又PA?平面PAB,?PA//平面EFG. ……6分 方法三)如图以D为原点,以DA,DC,DP 为方向向量建立空间直角坐标系D?xyz. 则有关点及向量的坐标为: P?0,0,2?,C?0,2,0?,G?1,2,0?,E?0,1,1?,F?0,0,1?,A?2,00?. AP???2,0,2?,EF??0,?1,0?,EG??1,1,?1?……2分 设平面EFG的法向量为n??x,y,z?
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??x?z?n?EF?0??y?0??????.取n??1,0,1?.……4分 x?y?z?0y?0???n?EG?0?∵n?AP?1???2??0?0?1?2?0,?n?AP,……5分 又AP?平面EFG.? AP//平面EFG. ……6分 (Ⅱ)由已知底面ABCD是正方形?AD?DC,又∵PD?面ABCD ?AD?PD又PD?CD?D ?AD?平面PCD,?向量DA是平面PCD的一个法向量,DA=?2,0,0?……8分 又由(Ⅰ)方法三)知平面EFG的法向量为n??1,0,1?……9分 ?cosDA,n?DA?nDA?n?222?2.……10分 20结合图知二面角G?EF?D的平面角为45.……11分 (Ⅲ)VD?PAB?VP?DAB?1S?ABD?PD ……13分 3?114??2?2?2?.……14分 323则 F G //8、解法一： （I）取PC的中点G，连结EG，FG，又由F为PD中点， 1CD. …2分 21//CD,?FG= //AE. 又由已知有AE= 2 ∴四边形AEGF是平行四边形. ?AF//EG. …4分 又AF 平面PCE， EG?平面PCE.?AF//平面PCE…………5分 （II）?PA?平面ABCD, ?平面PAD?平面ABCD.由ABCD是矩形有CD?AD.?CD?平面PAD.?AF?CD又PA?AD?3,F是PD的中点,?AF?PD.?PD?CD?D,?AF?平面PCD.由EG//AF, 17
?EG?平面PCD. ?平面PCD内,过F作FH?PC于H,由于平面PCD?平面PCE?PC,则FH的长就是点F到平面PCE的距离. …………3分 由已知可得 PD?32,PF?32,PC?26.2 由于CD?平面PAD,??CPD?30.13?FH?PF?2.24?点F到平面PCE的距离为32. 4? …………5分 . （III）由（II）知?FCH为直线FC与平面PCE所成的角在Rt?CDF中,CD?6,FD? 32,2 ?FC?CD2?FD2??sinFCH?FH21?FC1442.2?直线FC与平面PCE所成角的正弦值为解法二：如图建立空间直角坐标系A?xyz 21. 14…………4分 A（0，0，0），P（0，0，3），D（0，3，0），E（336，0，0），F（0，，）， 222 C（6，3，0） ………2分 （I）取PC的中点G，连结EG， 则G(633,,). 2223333?AF?(0,,),EG?(0,,),2222 ?AF//EG.即AF//EG.又AF 平面PCE,EG?平面PCE, ?AF//平面PCE.…………5分 18
（II）设平面PCE的法向量为n?(x,y,z),EP?(?66,0,3),EC?(,3,0). 22 ??n?EP?0,???n?EC?0.?6?x?3z?0,??2即??6x?3y?0. ??2取y??1,得n?(6,?1,1). ………3分 33又PF?(0,,?), 22故点F到平面PCE的距离为33?|22?32. 422d?PF?n|n||??…………5分 （III）FC?(6,33,?), 22 |cos?FC,n?|?|FC?n||FC|?|n|?3212?22?21.………2分 14 ?直线FC与平面PCE所成角的正弦值为21. 14…………4分 9、解：（1）不论点P在AD1上的任何位置，都有平面B1PA1垂直于平面AA1D1.---1分 证明如下：由题意知，B1A1?A1D1，B1A1?A1A 又AA1A1D1?A1 ?B1A1?平面AA1D1 ?平面AA1D1．------------------4分 又A1B1?平面B1PA1 ?平面B1PA1（2）解法一：过点P作PE?A1D1，垂足为E，连结B1E（如图），则PE∥AA1， 19
??B1PE是异面直线AA1与B1P所成的角．----------------------6分 在Rt△AA1D1中 ∵?AD1A1?60 ∴?A1AD1?30 ∴A1B1?A1D1? ?B1E?又PE?ADCP11AD1?2, A1E?A1D1?1， 22BB1A12?A1E2?5． A1EB1C1D11AA1?3． 2?在Rt△B1PE中，B1P?5?3?22 cos?B1PE?PE36．----------8分 ??B1P2246．----------------9分 4?异面异面直线AA1与B1P所成角的余弦值为解法二：以A1为原点，A1B1所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示，则A1(0，0，0)，0，0)，A(0，0，23)，B1(2，z，0，23)， P(01，，3)，?A1A?(0B1P?(?21，，3)-----6分 ∴cos?A1A，B1P??BADCPA1A?B1P66． ??4|A1A|?|B1P|23?226．-----9分 4xB1A1D1C1y∴异面异面直线AA1与B1P所成角的余弦值为（3）由（1）知，B1A1?平面AA1D1， ??B1PA1是PB1与平面AA1D1所成的角，---------------------------10分 B1A12．------------------------------------11分 ?A1PA1P且tan?B1PA1? 20
当A1P?1P最小时，tan?B1PA1最大，这时A1P?AD1，由AA1D1?A1A?3--13分 AD1得tan?B1PA1?2323，即PB1与平面AA所成角的正切值的最大值．---14分 D113310、（1）证明：因为N是PB的中点，PA?AB， 所以AN?PB。 由PA?底面ABCD，得PA?AD， 又?BAD?90?，即BA?AD， ? AD?平面PAB，所以AD?PB ， ? PB?平面ADMN， ?PB?DM。 ………… 4分 （2）连结DN， 因为BP?平面ADMN，即BN?平面ADMN， 所以?BDN是BD与平面ADMN所成的角， 在Rt?ABD中，BD?在Rt?PAB中，PB?BA2?AD2?22， PA2?AB2?22，故BN?BN1?， BD21PB?2， 2在Rt?BDN中, sin?BDN?又0??BDN??， 故BD与平面ADMN所成的角是?。 …… 10分 611BC?， 22（3）由M,N分别为PC,PB的中点，得MN//BC，且MN?又AD//BC，故MN//AD， 由（1）得AD?平面PAB，又AN?平面PAB，故AD?AN， ?四边形ADMN是直角梯形， 在Rt?PAB中，PB?PA2?AB2?22，AN?1PB?2， 211152。 …… 14分 ? 截面ADMN的面积S?(MN?AD)?AN?(?2)?2?222411、解法1:(1)联结EF， ∵AB?AD，BC?CD，AC=AC ∴?ADC??ABC，………………………………….2分 ∴E为BD中点，……………………………………..3分 ∵F为PD中点， ∴PB//EF，………………………………………….4分 ∴PB//平面ACF…………………………………….5分 （2）联结PE，
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∵PA?AB?AD?BD?2， ∴在等边三角形ABD中,中线AE?BD，…………6分 又PA?底面ABCD， ∴PA?BD， ∴BD?面PAE，………………………………….7分 ∴平面PAE?平面PBD。…………………….8分 过A作AH?PE于H，则AH?平面PBD， 取PB中点G，联结AG、GH，则等腰三角形PAB中，AG?PB， ∵AH?PB，∴PB?平面AGH，∴PB?GH， ∴?AGH是二面角A?PB?E的平面角……………….10分 等腰直角三角形PAB中，AG?2，等边三角形ABD中，AE?3， ∴Rt?PAE中，AH?232，∴GH?，…………12分 7727?1?7. 7277。……………….14分 7∴COS?AGH?GH?AG∴二面角A?PB?E的余弦值为 解法2： 以AC、AP分别为y、z轴，A为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ∵PA?AB?AD?BD?2，BC?CD ∴?ABC??ADC，…………………………………2分 ∴?ABD是等边三角形，且E是BD中点，AC?BD 则A(0，0，0)、B(10，2)、，3，0)、E(0，3，，3，0)、D(?10)、P(0，DzPF13F(?，，1)…………………………………………4分 22（1）PB?(1，3，?2)、FE?(，，?1)…………………5分 AECy1322xB1FE， 2∴PB//EF，∴PB//平面ACF………………….………7分 ∴PB?（2）设平面PAB、PBE的法向量分别为n1?(x1，y1，、0)n2?(x2，y2，?1)，.………9分 则n1、n2的夹角的补角就是二面角A?PB?E的平面角；……………….………10分 ∵AB?(1，3，0)，PB?(1，3，?2)，PE?(0，3，?2)， 22
?2?n2?PB?0由n1?AB?0及?得n1?(?310)?1)，….………12分 ，，，n2?(0，-，3??n2?PE?0cos?n1，n2??n1?n27， ??7|n1|?|n2|7。….……………………………………………14分 7∴二面角A?PB?E的余弦值为12、解：方法一： （I）证明：连结OC BO?DO,AB?AD,?AO?BD.………1分 BO?DO,BC?CD,?CO?BD. 在?AOC中，由已知可得AO?1,CO?3. 222AC?2,?AO?CO?AC, 而 ??AOC?90o,即AO?OC.……………3分 又AO?BD，BDOC?O, ?AO?平面BCD……………5分 （II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC ?直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角。……………6分 在?OME中， EM?121AB?,OE?DC?1,……………7分 222OM是直角?AOC斜边AC上的中线， 1?OM?AC?1, ……………8分 2?cos?OEM? 1?1/2?12?, 42?1?2/2?异面直线AB与CD所成角大小的余弦为2/4；……………9分 （III）解：设点E到平面ACD的距离为h. VE?ACD?VA?CDE, 11?h.S?ACD?.AO.S?CDE.33……………11分 在?ACD中，CA?CD?2,AD?2, 127 ……………12分 ?S?ACD??2?22?()2?.222 1323……………13分 而AO?1,S?CDE???2?,242
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?h?AO.S?CDE?S?ACD1?32?21. ?点E到平面ACD的距离为21.………14分 7772 方法二： （I）同方法一．……………5分 （II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系， 则B(1,0,0),D(?1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,1),E(, 13,0),………………6分 22z A BA?(?1,0,1),CD?(?1,?3,0).…………7分 ?cos?BA,CD??BACD.BACD?2,………9分 4x B D O E C y ?异面直线AB与CD所成角大小的余弦为2/4；……………10分 （III）解：设平面ACD的法向量为n?(x,y,z),则 ??n.AD?(x,y,z).(?1,0,?1)?0,……………11分 ???n.AC?(x,y,z).(0,3,?1)?0, ??x?z?0, ????3y?z?0.令y?1,得n?(?3,1,3)是平面ACD的一个法向量．……………12分 又EC?(?,13,0), ?点E到平面ACD的距离 22h?EC.nn?321?.……………14分 77
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