确定复合函数，具体判断如下表： y?f*g(x)+ y?f(u)增 增 减 减 u?g(x)增 减 增 减 y?f*g(x)+ 增 减 减 增 4．奇函数在对称区间上的单调性相反；偶函数在对称区间上的单调性相同．
函数的图像 一．基本函数的图像． 二．图像变换： ? y?f(x)y?f(x)?将图像上每一点向上或向下平移个k单y?f(x)(k?0)(k?0)|k|位，可得的图像 y?f(x)?k ? y?f(x)y?f(x?将图像上每一点向左或向右平移个单h)y?f(x)(h?0)(h?0)|h|位，可得的图像 y?f(x?h) ? y?f(x)y?af(x)将图像上的每一点横坐标保持不变，纵坐标拉伸y?f(x)(a?a1)或压缩为原来的倍，可得的图像 (0?a?1)y?af(x) ? y?f(x)y?将图像上的每一f(ax)点纵横坐标保持不变，横坐标压缩y?f(x)1或拉伸为原来的，可得的图像 (a?1)(0?a?1)y?f(ax)a ? y?(x)yf?f(?x)y关于轴对称 ? y?f(x)y??xf(x)关于轴对称 ? y?f(x)y?f(|x|)yyy将位于轴左侧的图像去掉，再将轴右侧的图像沿轴y?f(x)对称到左侧，可得的图像 y?f(|x|) ?y?|f(x)| y?f(x)xxy?将位于轴f(x)下方的部分沿轴对称到上方，可得的图像 |f(x)|y? 三．函数图像自身的对称
关系 图像特征
f(x)?f(?关于轴对称x) y f(x)??f(?关于原点对称x) f(a?x)?f(x?关于轴对称a) y f(a?x)?f(a?x)x?关于a
直线对称 a f(x)?f(a?x)x?轴对称 关于直线2a?b f(a?x)?f(b?x)x?关于直线对称 2 f(x)?f(x?a)a周期函数，周期为 四．两个函数图像的对称 关系 图像特征 与关于轴对称 y y?f(x)y?f(?与x) x关于轴对称 y?f(x)y??与f(x) 关于原点对称 y?f(x)y??f(?与 x)关于直线对称 ?1y?xy?(x)yf?f(x)与 x?a关于直线对称 y?f(x?a)y?f(a?与 关于轴对称x) yy?f(a?x)f(a?x) 第三章 数列 数列的基本概念 一．数列是按照一定的顺序排列的一列数，数列中的每一个数都叫做这个数列的项． nn二．如果数列中的第项与项数之间的关系可以用一个公式来表示，{a}ann那么这个公式就叫做这个数列的通项公事，它实质是定义在正整数集或其有限子集的函数解析式． 三．数列的分类： 按项的特点可分为递增数列、递减数列、常数列、摇摆数列 按项数可分为有穷数列和无穷数列 n四．数列的前项和： S?a?a?a?????a??1nnan123n?1S?1 与的关系：Saa??nnnS?Sn?2?n?1n,a-aa五．如果已知数列的第1项(或前几项)，且任一项与它的前一项(或nnn?1前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是给出数列的一种方法． 11a?a?1a?a?如：在数列中，1，，其中即为数列a?1,a-,a- nn?1nn?11nn22的递推公式，
根据数列的递推公式可以求出数列中的每一项，同时可根据数列{a}的前几项推断出数列的通项公式，至于猜测的合理性，可利用数学归纳法n进行证明． 3715a?a?a?如上述数列，根据递推公式可以,a-得到：，，， 234n248n312?1a?a?，进一步可猜测． 5nn?1162等差数列 一．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那d么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示． 二．通项公式： a?a?(n?1)daa?a?(n?m)dadd 若已知、，则；若已知、，则 n1mnm1
n三．前项和公式： n(n?1)a?aS?na?d1nS??若已知，n ，则；若已知、，则 aaad n1n1n122n注：⑴ 前项和公式的推导使用的是倒序相加法的方法． Snnn⑵ 在数列中，通项公式，前项和公式均是关于项数的函数，{a}aSnnnnn在等差数列通项公式是关于的一次函数关系，前项和公式{a}aSnnnn是关于的没有常数项的二次函数关系． n⑶ 在等差数列中包含、、、、这五个基本量，上述的公式中aaSd1nn均含有4基本量，因此在数列运算
中，只需知道其中任意3个，可以求出其余基本量． a?cacacb?四．如果、、成等差数列，则称为与的等差中项，且． bb 2五．证明数列是等差数列的方法： {a}n1．利用定义证明： a?a?d(n?2)nn?1a?cb?．2利用等差中项证明： 2a?an?b3．利用通项公式证明：n2n4．利用前项和公式证明： S?an?bnn,a-六．性质：在等差数列中，
n1．若某几项的项数成等差数列，则对应的项也成等差数列， a?a?2a即：若． m?n?2k若，则mnk2．若两项的项数之和与另两项的项数之和相等，则对应项的和也相等， a?a?a?即：． m?n?k?若，则lmnkl3．依次相邻每项的和仍成等差数列， kS?SS?SS即：成等差数列． ，，2kk3k2kkaaaaa?d4．，，，?，，仍成等差数列，其公差为． nn?1n?221三．等比数列 一．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的
a公比，通常用宇母表示． (q?0)q
二．通项公式： n?mn?1a?a 若已知、，则；若已知、，则 aa?aqaqqqnm1nm1
n三．前
项和公式： S?na 当公比时， q?1n1a?aqa1n 当公比时，若已知、 、，则 aS?q?1q n1n1?qna(1?q)1n 若已知、、，则 aS?q 1n1?qn注：⑴ 等比数列前项和公式的推导使用的是错位相减的方法． Snn⑵ 在等比数列中包含、、、、这五个基本量，上述的公式中均aaSq1nn含有4基本量，因此在数列运算中，只需知道其中任意3个，可以求出其余基本量． acacac四．若、、成等比数列，则称为与的等比中项，且、、 满足bbb 关系式． b??ac,a-五．证明数列是等比数列的方法： nan1．利用定义证明： ?q(n? 2) an?122．利用等比中项证明： b?acn3．利用通项公式证明： a?aqn,a-六．性质：在等比数列中， n1．若某几项的项数成等差数列，则对应的项成等比数列， 2m?n?2k即： a?a?若，则amnk2．若两项的项数之和与另两项的项数之和相等，则对应项的积相等， a?a?a?am?n?即：k? l若，则mnkl3．若数列公比，则依次相邻每项的和仍成等比数列， q??1S?SS?即成等比数SS列。 ，，2kk3k2kk1aaaaa4．，，，…，，仍成等比数列，其公比为． nn?1n?221q
k
数列求和 1．常见数列的前n项和： n(n?1)⑴ 自然数数列：1，2，3，?，n，? S? n2 2⑵ 奇数列：1，3，5，?，，? S?2n?1nn⑶ 偶数列：2，4，6，?，，? S?2nn(n?1)nn(n?1)(2n?1)2222⑷ 自然数平方数列：，，，?，，? S?123n n62．等差、等比数列：利用等差、等比数列的求和公式． 3．数列满足：，其中、为等差或者等比数列． {c}c?a?babnnnnnn方法：拆项，转化成两个等差或等比各项的和（差）． 4．数列满足：，其中是公差为的等差数列；是公比为{c}c?a?b,b-,a-dnnnnnn的等比数列． q方法：错位相减． 1aa?5．若数列满足：，、、均为常数． {a}kb nn(kn?a)?(kn?b)111a??方法：裂项法，设，其p(?)中为可确p
n(kn?a)?(kn?b)kn?akn?定b的参
数． 第四章 三角函数 一．角度与弧度制
第一章 集合与简易逻辑 集合及其运算 一．集合的概念、分类： 二．集合的特征： ⑴ 确定性 ⑵ 无序性 ⑶ 互异性 三．表示方法： ⑴ 列举法 ⑵ 描述法 ⑶ 图示法 ⑷ 区间法 四．两种关系： ?? 从属关系：对象 、 集合；包含关系：集合 、 集合 ü
?五．三种运算：
交集： A?B?,x|x?且Ax?B- 并集： A?B?,x|x?或Ax?B- 补集： eA?,x|x?且Ux?A-U六．运算性质： A????A??⑴ ，． A? ⑵ 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集． A?BA?B?A?B?⑶ 若，则，． AB ⑷ ，，． A?（eA）?A?（eA）?痧（?A）?UAUUUU（痧?（B）?（痧?（B）?A）A）ee（（A?B）A?B） ⑸ ，． UUUUUUn{a,a,a,???,a-2 ⑹ 集合的所有子集的个数为，所有真子集的个数为123nnn2?12?，所有非空真子集的个数为，所有二元子集（含有两个元素22的子集）的个数为．
Cn简易逻辑 一．逻辑联结词： 1．命题是可以判断真假的语句的语句，其中判断为正确
的称为真命题，判断为错误的为假命题． 2．逻辑联结词有“或”、“且”、“非”． 3．不含有逻辑联结词的命题，叫做简单命题，由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题．
4．真值表： p q 非p p且q P或q 真 真 真 真 假 真 假
假 真 假 真 假 真 真 假 假 假 假 二．四种命题： 1．原命题：若则 pq 逆命题：若P则q，即交换原命题的条件和结论； 否命题：若q则p，即同时否定原命题的条件和结论； 逆否命题：若┑P则┑q，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定． 2．四个命题的关系： ⑴ 原命题为真，它的逆命题不一定为真； ⑵ 原命题为真，它的否命题不一定为真； ⑶ 原命题为真，它的逆否命题一定为真． 三．充分条件与必要条件 1．“若则”是真命题，记做， pqp?q “若则”为假命题，记做， pqp?q2．若，则称是的充分条件，是的必要条件 ppqqp?q3．若，且，则称是的充分非必要条件； pqp?qp?q 若，且，则称是的必要非充分条件； pqp?qp?q 若，且，则称是的充要条件； pqp?qp? q若，且，则称是的既不充分也不必要条
件． pqp?qp?q4．若的充分条件是，则； pqq?p 若的必要条件是，则． pqp?q
第二章 函数 指数与对数运算 一．分数指数幂与根式： nxannn如果，则称是的次方根，的次方根为0，若，则当为a?0x? a nannn奇数时，的次方根有1个，记做；当为偶数时，负数没有次方根，a nnannn正数的次方根有2个，其中正的次方根记做．负的次方根记做． a?a1．负数没有偶次方根； an为奇数? nnnn2．两个关系式：； a?(a)?a?|a|n为偶数?m nm a?a3、正数的正分数指数幂的意义：； nm1? a? 正数的负分数指数幂的意 义：． n nma4、分数指数幂的运算性质： mnm?nmnm?na?a?aa?a?⑴a ； ⑵ ； mnmnmmm ⑶ ； ⑷ ； (a)?a(a?b)?a?b0mnaa?⑸1 ，其中、均为有理数，，均为正整数
0
b二．对数及其运算 bb?logN1．定义：若，且，，则． a?Na?1N?0)(a?．两个对数：0a2
b?logN?lgN ⑴ 常用对数：，； a?1010b?logN?lnNa?e?2.71828 ⑵ 自然对数：，． e3．三条性质： log1?0 ⑴ 1的对数是0，即； aloga?1 ⑵ 底数的对数是1，即； a ⑶ 负数和零没有对数． 4．四条运算法则： M?logM?logNloglog(MN)?logM?；logN ⑴ ； ⑵ aaaaaaN1 nnlogM?logMlogM?nlogM ⑶ ； ⑷ ． aaaan
5．其他运算性质： logb ⑴ 对数恒等式：； a?balogac； ⑵ 换底公式：logb? alogbc ⑶ ；； logb?logc?logclogb?loga?1abaabnnlogb?logb ⑷ ． amam函数的概念 一．映射：设A、B两个集合，如果按照某中对应法则，对于集合A中的任f意一个元素，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称为从集合A到集合B的映射． xx二．函数：在某种变化过程中的两个变量、，对于在某个范围内的每一y个确定的值，按照某个对应法则，都有唯一确定的值和它对应，则称是yyxxx的函数，记做，其中称为自变量，变化的范围叫做函数的定y?f(x)x义域，和对应的的值叫做函数值，函数值的变化范围叫做函数的值yy域． 三．函数是由非空数集到非空数集B的映
射． Ay?f(x)四．函数的三要素：解析式；定义域；值域． 函数的解析式 一．根据对应法则的意义求函数的解析式；
例如：已知，求函数的解析
式． f(x)f(x?1)?x?二．已知函数的解析式一般形式，2x求函数的解析式； 例如：已知是一次函数，且，函数的解析式． f(x)f[f(x)]?4x?3f(x)三．由函数的图像受制约的条件，进而求的解析式． f(x)f(x)函数的定义域 一．根据给出函数的解析式求定义域： ⑴ 整式： x?R ⑵ 分式：分母不等于0 ⑶ 偶次根式：被开方数大于或等于0 ⑷ 含0次幂、负指数幂：底数不等于0
⑸ 对数：底数大于0，且不等于1，真数大于0 二．根据对应法则的意义求函数的定
义域：
[2,5] 例如：已知定义域为，求定义域； y?(fx)y?(3fx?2)[2,5] 已知定
(32)y?(fx)三．实际问题中，根据自变量的实际意义决定的定义域． 函数的值域 一．基本函数的值域问题： 名称 解析式 值域 y?kx?一次函数b
义域为，求定义域； y?fx?R
24ac?b[,??)时，
a?
04a2
y?ax?bx?二次函数c
24ac?b(??,]时，
a?y?
04aky? ，且 {y|y?Ry?0}反比例函数 xx {y|y?0} y?a指数函数
logx对数函数 Ra y?sinx {y|?1?y?1} y?cosx三角函数 y?tanx
R二．求函数值域（最值）的常用方法：函数的值域决定于函数的解析式和定义域，因此求函数值域的方法往往取决于函数解析式的结构特征，常用解法有：观察法、配方法、换元法（代数换元与三角换元）、常数分离法、单调性法、不等式法、反函数法、判别式法、几何构造法和Cy?fx
***
*导数法等．
反函数 x一．反函数：设函数的值域是，根据这个函数中，的关
()(x?A)y??xx?(y)x?(y)系，用把表示出，得到．若对于中的每一值，通过，
()
()
Cyy?xxx?y都有唯一的一个与之对应，那么，就表示是自变量，是自变y?x?y量的函数，这样的函数叫做函数的反函y?fx
()(x?A)(y?C)y?1?1x?(fy)y?(fx)数，记作,习惯上改
写成．
x二．函数存在反函数的条件是：、一一对应． f(x)y
三．求函数的反函数的方法： f(x) ⑴ 求原函数的值域，即反函数的定义域 ?1x ⑵ 反解，用表示，得 x?f(y)y?1x ⑶ 交换、，得 y?f(x)y ⑷ 结论，表明定义域 ?1四．函数与其反函数的关系： y?f(x)y?f(x)?1 ⑴ 函数与的定义域与值域互换． y?f(x)y?f(x)?1 ⑵ 若图像上存在点，则的图像上必有点，即y?f(x)y?f(x)(a,b)(b,a)?若1，则． f(a)?bf(b)?a?⑶ 函数与的图像关于直线对称． y?f(x)y?f(x)y?函数x的奇偶性： x一．定义：对于函数定义域中的任意一个，如果满足，则f(x)f(?x)?? f(x) 称函数为奇函数；如果满足，则称函数为偶函数． f(x)f(?x)?f(x)f(x) 二．判断函数奇偶性的步骤： f(x)1．判断函数的定义域是否关于原点对称，如果对称可进一步验证，如果f(x)不对称； 2．验证与的关系，若满足，则为奇函数，若满足f(x)f(?x)f(?x)??，则为偶函数，否则既不是奇函数，f(x)也不是偶函数． f(?x)?f(x)二．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称． 三．已知、分别是定义在区间、上的奇（偶）函MNf(x)g(x)(M?N??数，分别根据条件判断下列函数的奇偶性．
1
f(x)g(x)?f(x)f(x)?g(x)f(x)?g(x)f(x)?g(x)f(x)奇 奇 奇 奇 偶 奇 奇 偶 奇 偶 奇 奇 偶 偶 偶 偶 偶 偶 0五．若奇
)1 函数的定义域包含，则． f(x)f(0)?0
六．一次函数是奇函数的充要条件是； b?0y?kx?b(k? 2 0) 二次函数是偶函数的充要条件是． b?0y?ax?bx?c(a? 函数的周期性：0) x一．定义：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的Tf(x)每一个值时，都有，则为周期函数，为这个函数的Tf(x?T)?f(x)f(x) 一个周期． 2．如果函数所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫f(x)做的最小正周期．如果函数的最小正周期为，则函数的Tf(x)f(x)f(ax)T最小正周期为． |a| 函数的单调性 一．定义：一般的，对于给定区间上的函数，如果对于属于此区间上的任f(x)意两个自变量的值，，当时满足： xxx?x1212 f(x)?f(x) ⑴ ，则称函数在该区间上是增函数； f(x)12 f(x)?f(x) ⑵ ，则称函数在该区间上是减函数． f(x)12 二．判断函数单调性的常用方法： 1．定义法： ⑴ 取值； ⑵ 作差、变形； ⑶ 判断： ⑷ 定论： *2．导数法： ⑴ 求函数f(x)的导数； f'(x) ⑵ 解不等式，所得x的范围就是递增区间； f'(x)?0 ⑶ 解不等式，所得x的范围就是递减区间． f'(x)?03．复合函数的单调性： 对于复合函数，设，则，可根据它们的单调性y?[g(x)]uf?g(x)y?f(u)
?
??1801．弧度与角度的互化： ?2．终边相同角：
与角有相同终边的角的集合可以表示为： ???? {|??2k,k?．特殊角的集合：Z-3 ⑴ 各个象限的角的集合
2
????{|2k????2k,k?}Z
第一象限角：
?????{|?2?k???2k,k?}Z 第二象限角： ?????{|?2?k???2k,k?}Z 第三象限角： ?????{|?2?k??2?2k,k?}Z 第四象限角： 2
2323
⑵ 角的终边在各个坐标轴上的角的集合 x??? 终边在轴的角： {|?k?,k?}Z?y???{|??,kk?}Z 终边在轴的角： 2???{|?k?,k?}Z 终边在坐标轴上的角： 2???{|??,kk?}Z 终边在第一三象限角平分线上： 43???{|??,kk?}Z 终边在第二四象限角平分线上： 44．弧长公式和扇形面积公式 ? 设扇形的半径为，圆心角为，则 r112???l?r?||??rl?S? 弧长， 扇形的面积
||
? r22任意角三角函数的定义： ?x一．定义：以角
顶点为原点，始边为轴的非负半轴建立直角坐标系。在O?P(x,y)OPO角的终边上任取不同于原点的一点，设点与原点的距离为 22?|PO|?r?x?，则，则角的y六
r(r?0)
个三角函数依次为：
yxy???s?tan?co?sin， ， rrx
rxr???sec ?， ， csc?cot? xyy二．三角函数的
定义域与值域： 定义域 值域 [?1,1]? R sin ?[?1,1]cos
R
????{|???,kk?}Z tan R 2 三．三角函数值的符
号： ???cos tansin四．三角函数线 正弦线、余弦线 正切线 ?以角的终边与 x过点作A(1,0)单位圆的公共点作P?轴的垂线交的终边x轴的垂线PM?x或终边的延长线于T轴，垂足为，则 M点，则： ?sin?MP ? tan?AT ?cos?OM 同角三角函数基本关系式： ?????倒数关系：?、、
sin
?csc?1cos?sec?1tan?cot?1??sincos??tan?cot?商数关
诱
导
公
式
：
系：、 ??cossin22??sin?cos?1平方关系： 正弦、余弦的
?????； ?． sin(2k?)?sincos(2k?)?cos?? 2k?
???????； ? ． sin(?)?sincos(?)??
cos?
???????； ? ． sin(?)??sincos(?)??cos
?????；? ?． sin(2?)??sincos(2?)?cos??
2?????? ； ． sin(?)??sincos(?)?cos?
??????n(???)?sicoscos(?)?sin ； ． ?
222????????sin(?)?coscos(?；)? ?sin ． ? 222???333?????sin(?)??coscos(?)??
n
；
．
?
222???333?????sin(?)??coscos(?； ． ? 222 诱导公式可简单的概括为：“奇变偶不变，符号看象限”，其中“奇变偶???k??不变”的含义为：当为奇数时，的三角函数值为的余函数，当为kk 2???k??偶数时，的三角函数值为的原函数；“符号看象限”的含义为在的 2?三角函数前加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号. 两角和与差的三角函数： 一．基本公式： ??????
(??)sinsin?co?sc?os?????? sin?co?s(??)sinc?os?????? cos?co?s(??)coss?in??????(??co?ss?in
???tan??tantan?tan??? (??)(??)tantan
???1??tan?tan1?tan?tan二．常见关系： 22?1．辅助
角
公
式
：
asinx?bcosx?a?sin(bx?)??
)?si)coscos
?????sin??cos?2sin(?)sin?cos?2sin(?) 如：； 44?? ????sin3cos??2si?n(cos)x?3sinx?2sin(?) ； 362．两角和与差的正切公式的变形：
????? ?
?tan?tantan?(?)?[1t?an????? ?
?tan?tantan?(?)?[1t?an二倍角公式 一．基本公式： ???
2
2
?sin2si?nco2222???? ?
?coscos?sin?2co?s??112sin?2tan?2?tan 2?1?tan二．常
关
系
式
：
见
22
?????1． ? 1?sin2?(sin?cos)1?sin2?(sin?s)co22??
??1?cos2?2sin1?cos2?2cos
??1?cos21?cos222??sin?s?co2． 22三角函数的图像： 一．正弦、余弦、正切函数的图像： 1．正弦函数 y?sinx
2．余弦函数 y?cosx 2．正切函数 y?tanx
二．三角函数的图象变换： 振幅变换1．：将图象上各点横坐标保持不变，纵y?sinxy?sinx?????siny?x坐标拉伸或压缩A为原来的倍得到． A(A?1)(0?A?1)周期变换?2．：将图象上各点纵坐标保持不变，横y?sinxy?sinx?????siny?x1??坐标压缩或拉伸为原来的倍得到． (?1)(0??1) ?相位变换??3．：将的图象向右或向左
y?sinx(?0)y?sinx?????y?sin(x?)??平移个单位得到． (?0)||???4．函数的图象可以看作是由函数的图y?Asin(x?)(A,?0,A?1)y?sinx象分别经过下面的两种方法得到： ?????sin(y?x?)
振
幅
相位变换
? ⑴ 换
??
y?sinx?????y?sin(x?)周期变换??
变
?????sin(y?x?A)???y?sinx(?0)(?0)① 将的图象向左或向右平移个单位，可得到
||?y?sin(x?)函数图象； ?② 将得到图象点的
纵坐标保持不变，横坐标压缩或拉伸(?1)
1???为原来的倍，得到函数图象； (0??1)y?sin(x? ?)③ 将新图象各点横坐标保持不变，纵坐标拉伸或压缩(A?1)(0?A?1)?为原来的倍，可?得函数图象． Ay?Asin(x?周)期变y?sinx?????y?sinx?相
换
? ⑵
变
换
位
???????ys?inx(??)?sinx(? ?振幅变换) ?? ?????y??Asin(x?① 将图象点纵)坐标保持不变，横坐标压缩或拉伸y?sinx(?1)1?为?原来的倍，可以得到函数图象； (0??1)y?sinx ??||??将得到的图象向左或向右平移个单位就② 得到函数(?0)(? 0)???图象； y?sin(x?)③ 将新的图象各点横坐标保持不变，纵坐标拉伸或压缩
(A?1)??为原来的倍，可得函数的图象． A(0?A?1)y?Asin(x?)??三．形如的函数图??像的画法 —— 五点法，即根据分别y?Asin(x?)x???3????x取、、、、时对应的与的值描点作出的20y?Asin(x? )y 22一个周期的图像． 三角函数的性质 正弦函数 函 数 余弦函数 正切函数 y?tanx y?cosx y?sinx名 称 ? ???,|??k,k?定义域Z- R R 2 [?1,1+*?1,1+值 域 R
y?1y?1maxmax最 值 y??1y??1minmin图 象 分 布 最小正??? 22周 期 奇偶性 奇函数 奇函数 偶函数 ??? x?k,k?Zx?k?,k?对Z 称轴 2?k对 称 ??? (k,0)(k?,0)(,0)
中 心 22?????????[2k,2k?+*2k?,2k?+(k?,k?增) 2222 单 调 性 ?3??????[2k?,2k?2+*2k??,2k+ 减 22三角形中的边角关系 一．正弦定理： 在一个三角形中，各边和他所对角的正弦的比都等于该三角形外接圆的直sinAsiBnsCin???2R径，即： abc二．余弦定理： 三角
??? 形任意一边的平方等于其他两边的平方减去这两边与它们夹角的余弦
2acc?osBb?a?c?222
2abc?osCc?a?b?222222222b?c?aa?c?ba?b?ccosC?cosA?cosB?推论：；； 2ab2bc2ac三．相关结论： ac在中，角、、所对的边分别为、、， AB?ABCCb?A?BC???⑴ ?， ， A?B?C?A?B? ? C
222的积的两倍．即： a?b?c?2bc?cosA222
222⑵ ，， ，
sin(A?B)?sinCcos(A?B)??cosCtan(A?B)??tanCA?BCA?BCA?BC?coscos?sintan?cotsin，222222⑶
根
据
正
弦
定
理
a?2RsinAb?2RsinBc?2RsinC
?sinA:siBn:sCia:b:c⑷ 三角形面积公式： ① 三角形的面积等于三角形任意一边与对应边上的高的乘积的一半，111S?a?h?b?h?即：c? h ?ABC123222 ② 三角形的面积等于三角形的任意两边与其夹角的正弦值乘积的一111absinC?bcsinA?acsinBS? 半， 即： ?ABC222 第五章 平面向量 向量的基本概念 1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量可
以
用
一
条
有
向
线
段
来
表
示． ???????????．向量的?ABABAB2
：，，
长度：向量的大小，也就是向量的长度（也称为的模），???记作．? |AB|
?3．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作，零向量的方向是任意的． 04．单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量． 5．平行向量：方向相同或相反的向量叫做平行向量，也叫做共线向量，若向量???、平行，记作．? a//bab6．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． 向量的加法与减法： ????．两个向量的和：已知向量、?1，平移向量，使的起点与的终点重合，abbba????abab那么以的起点为起点，求的终点为终点的向量叫做向量与向量的和．两个向量和的运算叫做向量的加法． ?2．向量加法的三角形法则：根据向量和的定义，以第一个向量的终点A为a???bab起点作第二个向量，则以的起点O为起点，以的终点B为终点的向量??????这OBab种作两个向量和的方法叫做向量加法的三角形法则． 就是与的和， ??ab3．向量加法的平行四边形法则：以同一点A为起点的两个已知向量、为邻??????a?边作平行四边形bACABCD，则以A为起点的对角线就是，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． 4．向量加法
运算律： ??????????a?⑴b? 交b?a 换律： ⑵ 结合律： (a?b)?c?a?(b?c)???．相反向量：与向aa?a5量方向相反的向量叫做的相反向量，记作．
规定：零向量的相反向量仍是零向量． ????性?质：⑴ ⑵ ?(?a)?aa?(?a)?0??．两?个?向6量的差：加上的相反向量叫做与的差，即： abab???? a?b?a?．向量的减法：求两个向量差的运算叫做向量的减法。(?b)7 ??ab法则：如图所示，已知向量、，在平面内任取一??????????????????OA?aOB?点O，作，ba?，则，即表示bBA?a?b??从向量的终点指向的终点的向量． ba实数与向量的积： ????．实数与向量的积：aa1实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下： ???? ⑴ |a|?||?|a|????aa ⑵ 当时，的方向与的方向相同； ?0???
?aa 当时，的方向与的方向相反 ?0?
?2．实数与向量的积所满足的运算律：设、为实数，那么：
?????⑴ ?； ?(a)?()?a????⑵? ?(??)?a??a??a?????⑶? ? ?(a?b)??a?．向量共线的充要条件：?b3 ?????
?b?aba向量与非零向量共线的
充要条件是有且只有一个实数，使得． 4．平面向量基本定理： ?????如果，是同一平 面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一ee12??????????
?aa?e?e向量，有且只有一对实数、，使． 121122
平面向量的坐标运算： ??．平面向量的坐标：x1分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为ijy????基底，对于一个向量，有且只有一对实x数、，使得，则aa?x?i?y?y?j?称为向量的坐标，记做． a(x,y)a?(x,y)?．向量的坐标与起点为原点2的向量是一一对应的关系，即： a????一一对?应一一对应??????????点? ?向
量
向
量
A(x,y)a?(x,y)?????????．平面向量???3
OA 的坐标运算： ??? 设 ，，，则： a?(x,y)b?(x,y)?R1122?? a?b?(x?x,y?y)1212??
⑴
； ⑵ ；
a?b?(x?x,y?y)1212????
⑶ ． a?(x,y)11???? 若 点，，则． B(x,y)A(x,y)AB?(x?x,y?y)22112121??xy?xy?04．向量与共线的充要条件是． a?(x,y)b?(x,y)21121122平面向量的数量积及运算律：
1．两个向量的夹角：
??????????????b0?OA??18aOB0已知两个非零向量，作，，则（）叫?AOB???ab做
向
量
与
的
夹
角． ??????????ababab?当时，0?180与同向；当时，与反向，如果与的夹角是?????a?时，则称与垂直，记作．bab90 2．两个向量的数量积： ??????aba已知两个非零向量与，它们的夹角为，则数量叫做与|a|?|b|?cos??????a??bb的数量积，记作，即：． a?b?|a|?|b|?cos??0?规定：a?0零向量与任一向量的数量积为0，即． 3．向量数量积的几何意义：
?????叫做向量在方向上的投影，其中当为锐角
时，它是正值，当ba|b|?cos?????为钝角时，它是负值，当时，它是0，当时，它是． ?90?0?|b|??????的几??何意义是：数量积等于的长度与在的方向上的投影a?ba?baba|a|??的乘积． |b|?cos4．向量数量积的性质： ?????abab设、都是非零向量，是与的夹角，则： ???????eb⑴? （是与方向相同的单位向量） e?a?a?e?|a|cos?????a?ba?b?0⑵ ??????????⑶? 当?abab与同向时，； 当与反向时，； a?b?|a|?|b|a?b??|a|?|b|????? 22|a|?(a)特殊的，，或者 a?a?|a|??a??⑷b cos??? |a|?|b|???⑸? |a?b|?|a|?|b|5．向量的数量积的运算律： ????a?b? b? a ⑴ ； ??????? ? ? ⑵ (a)?b?(a?b)?a?(b)????? ?⑶? (a?b)?c?a?c?6b?．向量数量积的坐c标运算：
????(xa?,y)b?(x,y)a?b?xx? yy ⑴ 设，，则． 11221212??xx?yy?0a?(x,y)b?(x,y) ⑵ 若向量，垂直的充要条件是． 12121122?? 22|a|?x? y ⑶ 若，则． a?(x,y) 22|AB|?(x?)x?(y?)yB(x,y)A(x,y) ⑷ 设，，则． 21212211线段的定比分点与平移
1．点分所成的比： PPP12?设，是直线上的两点，是上不同于，的任一点，存在实数，PPPPPll1212?????? ????叫做点分使所成的比． ，则PPP?PPPP12122．定比分点坐标公式： ?，则点的设，，若点分所成的比为P(x,y)P(x,y)P(x,y)P(x,y)PP11122212?x?x?12x? ??1??坐标满足：． ??y?y?12y? ??1??．中3点坐标公式： x?x?12x? ? 2?P(x,y)若点为，的中点，则． P(x,y)P(x,y)?111222y?y?12y? ?24．平移公式： ?x?x?h???P(x,y)P'(x',y')若点沿向量平移至点，则 a?(h,k)??y?y? k?? 第六章 不等式 不等式的性质 ?a?b?0a?．两个实数比较大小的依据：b1
?a?b?0a?b a?b?0a?ba?bb?aa?bb?．反对称性：如果，那a2
? 么；如果，则．
a?c3．传递性：如果，且，那么． a?bb?．加法c4性质：如果，那么． a?ba?c?b?推论c 1：如果，那么． a?b?ca?c?b 推 论 2：如果，，那么． a?bc?da?c?b?d 推 论 3：如果，，那么． a?bc?da?d?b?．乘法性质：如果，c5，那么； a?bc?0ac?bc 如果，，那么． a?bc?0ac?bc 推论1：如果，，那么． a?b?0c?d?0ac?bdnn 推论2：如果，那么，且． a?ba?b?0(n?Nn?1)11?推 论3：如果，，那么． a?bab? 0abab? *推论4：如果，，那么． a?b?0c?d? dc0 nna?b6．开方性质：如果，那么，且．
a?b?0(n?Nn? 1)
22a?b?2ab7．；． a?b?2ab(a,b?R)(a,b?0) 注：⑴ 当
且
仅
当
时
取
到
等
号
；
a?b22a?ba?2)abb?(ab?． ⑵ ； 22|a|?|b|?|a?b|?|a|?．|b|8绝对值不等式的性质：． 不等式的解法： 1．一元一次不等式：
ax?bax?b bbx?x? a?0 aa a?0b?0?b?R
b?0b?0? R bbx?x? a?、一元二次不等式：0aa2 ??0??0?? 0 2 y?ax?bx?c 两个相等的实根 两个不等的实根 b2 ax?bx?c?没有实数根0 xxx?x??、 12122ab {x|x?x,或x?x-,x|x??- 2 R ax?bx?c?0122a ,x|x?或x?x,x-2ax?bx?c?0 R R 12{x|x?x?x- 2 ? ax? ?bx?c?012b,x|x?x?x- ,x|x??- 2 ?
ax?bx?c?0 122a3.高次不等式：穿线法： 23例如： f(x)?(x?3)(x?1)(1?x)(x?2)(x?5)?第10f(x)步：将的
0 最高次项的系数化为正数，并分解为若干一次因式的乘23(x?3)(x?1)(x?1)(x?2)(x?5)?积，0即： 第2步：将方程的根标在数轴上，并从右上方依次穿过各点画曲f(x)?0线，且奇穿过，偶回头。
第3步：根据曲线显示的的值的符号的变化规律，写出不等式的解集。 f(x) 或或 ?1?x?1,x|?3?x??12?x?．分式不等式：5- 4分式化整式： f(x)f(x)?? 1. ； ?0?0f(x)?g(x)?0f(x)?g(x)? 0
g(x)g(x)f(x)?g(x)?0f(x)?g(x)?0??f(x)f(x)??； 2. ?0?0? ?g(x)?0g(x)?0g(x)g(x)??f(x)??m 3. [f(x)?mg(x)]?g(x)? 0
g(x)f(x)?
?m*f(x)?mg(x)]?g(x)? 0 g(x)5．含绝对值的不等式： ? 1. |f(x)|?g(x)?g(x)?f(x)?g(x)?f(x)?或g(x),f(x)??g(x) |g(x)|f(x)??? 2. |f(x)||g(x)|[f(x)?g(x)+?*f(x)?g(x)+?0?m 3. |x?a|?|x?b|(a?b,m?0)x?aa?x?bx?b????
或
或
???(?x?)m(x?a)?(b?x)?m(x?a)?(x?b)?a?x)?b?? ?
