2016届贵州省贵阳市第六中学高三元月月考
数学（文）试题
一、选择题
1．已知复数z=2-i，则z?z的值为（ ） A．5 B．5 C．3 D．3 【答案】A
【解析】试题分析：z?z??2?i??2?i??5，故选A． 【考点】复数的代数运算
2．设a，b是实数，则“a>b”是“a2?b2”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D
【解析】试题分析：1??2，但12???2?，所以不是充分条件，?-2??12，?2?1，
22所以也不是必要条件，所以是即不充分也不必要条件，故选D． 【考点】充分必要条件
3．设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x?[?1,1)时，
??4x2?2,?1?x?03，则f()的值为（ ） f(x)??2x,0?x?1?3A． B．1 C．-7 D．5
2【答案】B
?3?【解析】试题分析：f????2??1??1?f?????4????2?1，故选B． ?2??2?2【考点】1．分段函数；2．周期性．
????????4．设向量a，b满足a?b?10，a?b?6，则a?b?（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A
?2?2????2???a?b?2ab?10?a?b?10【解析】试题分析：?，展开后得：，两式相减得，??2?2????2???a?b?2ab?6?a?b?6????4ab?4，得到ab?1，故选A．
????【考点】向量数量积
5．设?an?为等差数列，公差d=-2，Sn为其前n项和，若S10?S11，则a1?（ ） A．18 B．20 C．22 D．24
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【答案】B
【解析】试题分析：S11?S10?a11?0，而a11?a1?10d?0，当d??2时，a1?20，故选B．
【考点】等差数列的性质
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知sinA，sinB，sinC成等比数列，且c=2a，则cosB的值为（ ） A．
134 B．4 C．24 D．23 【答案】B
【解析】试题分析：sin2B?sinAsinC，根据正弦定理，b2?ac，又因为c?2a，代入得b2?2a2，
cosB?a2?c2?b2a2?4a22ac??2a22a?2a?34，故选B．
【考点】1．正弦定理；2，余弦定理
7．将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体的直观图如图所示，则该几何体的俯视图为（ ）
【答案】C
【解析】试题分析：俯视图是从正视图的方向从上方向下看看几何体的投影，看到一个正方体的底面，上底面的对角线和和体对角线在下面的投影是下底面的对角线，从左上到右下，故选C． 【考点】三视图 8．已知函数f(x)?6x?log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（ ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．(4,??) 【答案】C
【解析】试题分析：f?1??6，f?2??3?1?2，f?4??312?2??2?0，所以f?2?f?4??0，所以零点必在区间?2,4?，故选C．
【考点】函数的零点
9．执行如图所示的程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S =（ ）
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A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D
【解析】试题分析：当x?2,t?2时，1?2是，M?2，S?2?3?5，k?2，进入判定框，2?2是，M?2，S?2?5?7，k?2?1?3，进入判断框，3?2否，所以，输出S?7，故选D． 【考点】循环结构
?2x?y?2?0?10．在平面直角坐标系中，设M（x，y）为不等式组?x?2y?1?0所表示区域上的一
?3x?y?8?0?y的最小值为（ ） x11A．2 B．1 C．? D．?
32动点，则【答案】C
【解析】试题分析：如图，画出可行域，
y表示可行域内的点与原点连线的斜率，当x?1?时，斜率最小，?过点B?3，1?y???，故选C． ?3?x?min
【考点】线性规划
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【试题探源】主要考察了线性规划，属于基础题型，首先画出不等式表示的可行域，后求一些量的最值，有截距，两点间的距离和斜率式，比如求z?ax?by的最值，可以转化为截距的最值问题，或是z??x?a???y?b?的最值，表示可行域内的点到点
22?a,b?的最值，和z?y?b的最值，表示可行域内的点和点?a,b?连线的斜率的最值． x?ax2y23a11．设F1，F2是椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，P为直线x?上一
2ab动点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ） A．
1234 B． C． D． 2345【答案】C
【解析】试题分析：如图，?F2F1P?300，所以?PF2M?600，那么F2M?而F2M?1PF2，233c3a?c，FF2?F1F2?2c，所以a?c?c，整理为?，即离心率22a4e?3，故选C． 4
【考点】椭圆的几何性质
【方法点睛】考察了椭圆的一些简单性质，属于基础题型，正确画出图像，一般求离心率的题型，其中一种主要分析椭圆中的平面几何的一些性质，比如，边长关系，椭圆的定义，特殊三角形等等，得到关于a,c的简单方程，直接求离心率，还有就是分析平面几何后得到关于a,c的齐次方程，两边同时除以a的多少次（齐次方程的最高此时），转化为关于e的方程． 12．函数y?cos6x的图像大致为（ ） x?x2?2
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【答案】D
【解析】试题分析：首先定义域：x?0f??x??cos??x?cosx???f?x?，所?xx?xx2?22?2以函数是奇函数，关于原点对称，故A排除，当x???时，y?0，故C排除，当从原点右侧?0，y???，故选D．
【考点】函数的图像
【方法点睛】主要考察了函数的图像，属于基础题型，给出一个函数的解析式，求函数的图像的题型，主要考察函数的一些性质，先看函数的定义域，观察特殊值是否能取得，还有就是函数的奇偶性，以及函数的最值和单调性，再由函数的一些趋向，以及有没有渐近线等，通过这些就可以分析这类题型，或可通过排除法得到答案．
二、填空题
316?45413．()?log3?log3?_________．
8145【答案】
27 84??2?【解析】试题分析：原式=??????3?【考点】指对运算
????-3454?2??log3????45?3??3?log31?27 814．函数y?sin2x?23sin2x的最小正周期T为_______． 【答案】?
【解析】试题分析：
y?sin2x?3?1?cos2x??sin2x?3cos2x?3????2sin?2x???33??所以函数的最小正周期T?【考点】三角函数的性质
2??? 215．已知圆C:x?y?12，直线l:4x?3y?25．圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为_____． 【答案】
221 6【解析】试题分析：设直线m:4x?3y?c?0，当直线m与直线l的距离等于2时，
-c?253?422?2，解得c?15或c?35，因为直线与圆相交，那么c?25，故c?15
所以直线m:4x?3y?15?0与圆相交于两点B,E，连接OB,OE
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做OD?BE，那么OD?155?3，cos?BOD?OD33，即??OB232?BOD?300
那么?BOE?600
6001?所以在圆上任选一点到直线l的距离小于2时，点位于劣弧BE上，所以P?． 36006
【考点】1．直线与圆的位置关系；2．几何概型．
【思路点睛】以直线与圆的位置关系考察了几何概型，属于基础题型，几何概型有三种形式，有长度比值，面积比值，和体积比值，因为此题是在圆上取点，所以涉及的是长度问题，那就应该是长度比值，弧长和圆心角对应，也可以转化为圆心角的比值，先根据平行线间的距离等于2，求得直线，再根据数形结合，找到圆上满足条件的点，并求得满足条件的弧所对的圆心角，最后除以360度．
16．已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为
23的正方形．若PA?26，则△OAB的面积为_______．
【答案】33
【解析】试题分析：依题意，可以将四棱锥P?ABCD补全为长方体，因为
AB?AD?23，AP?26．所以长方体外接圆的直径
2R??23???23???26?222?43,R?23，即OA?OB?23 1?23?23?sin600?33． 2所以?OAB是等边三角形，面积S?
【考点】球与几何体
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【方法点睛】考察了球与几何体的相关问题，属于中档题型，此题如果直接分析四棱锥比较复杂，不易求得三角形的高，当给出三棱锥或是四棱锥的某一点的三条棱两两垂直时，可以对此几何体进行补体，补为长方体，补体前后的几何体的外接球是一个外接球，所以根据长方体与外接球的关系2R?迎刃而解了，所以此题补体是关键．
三、解答题
17．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A?3cos(B?C)?1． （1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积S?53，b=5，求sinBsinC的值． 【答案】（1）A?a2?b2?c2，易求得球的半径，问题也就会
?3；（2）
5． 72【解析】试题分析：（1）首先根据三角形内角和A?B?C??，将
os2A?2coscos?B?C???cosA，和c解得cosA，然后再求角A的大小；
A?1，将方程转化为关于cosA的二次方程，
1bcsinA和上一问的结果以及条件，先求b,c，2然后根据余弦定理求a，在知道三边的情况下，根据正弦定理，将sinBsinC表示为
bcsinBsinC?sinA?sinA，然后代入数据求值．
aa（2）首先根据三角形的面积公式S?试题解析：解：（1）由cos2A?3cos(B?C)?1，
2得2cosA?3cosA?2?0，即(2cosA?1)(cosA?2)?0，
解得cosA?1或cosA??2（舍去）． 2因为0?A??，所以A??3．
（2）由S?1133bcsinA?bc??bc?53． 2224得bc=20，又b=5，知c=4．
222由余弦定理得a?b?c?2bccosA?25?16?20?21，
故a?21．
bcbc2035sinA?sinA?2sin2A???． aaa2147从而由正弦定理得sinBsinC?【考点】1．正弦定理；2．余弦定理．
【方法点睛】主要考察了正余弦定理的问题，属于基础题型，涉及解三角形的问题，第一个条件A?B?C??，那么sin?A?B??sinC和cos?A?B???cosC，消去多余的角，还有两角公式的化简，还有三角形的面积公式和正余弦定理，和一些常用的公式
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2a2?b2??a?b??2ab，尤其是正弦定理的变形，比如
a:b:c?siAn:siBn:siCn，a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC等边角互化公
式．
18．某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率；
（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2?2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
n(ad?bc)2（注：K?，n=a+b+c+d）
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2 25周岁以上组 25周岁以下组 合计 【答案】（1）
生产能手 非生产能手 合计 7；（2）没有． 10【解析】试题分析：（1）首先根据分层抽样比计算25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名，然后根据频率分布直方图计算样本中日平均生产件数不足60件的工人中两组的人数=样本容量?频率（小矩形的面积）然后进行标记，并列举所有抽取两名工人的基本事件的个数和至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果，并根据古典概型计算概率；
（2）首先计算两组中生产能手的人数，其他就是非生产能手，并填写2?2列联表，根据公式计算K，和表格中的2.706比较大小，并得到结论．
试题解析：解：（1）由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．
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2所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60?0.05?3（人），记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有40?0.05?2（人），记为B1，B2． 从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A1,A2)，(A1,A3)， (A2,A3)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A3,B1)，(A3,B2)，(B1,B2)．其中，至少1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是(A1,B1)，(A1,B2)，
(A2,B1)，(A2,B2)，(A3,B1)，(A3,B2)，(B1,B2)，故所求的概率P?7． 10（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60?0.25?15（人），“25周岁以下组”中的生产能手有40?0.375?15（人），据此可得2?2列联表如下： 25周岁以上组 25周岁以下组 合计 2生产能手 15 15 30 非生产能手 45 25 70 合计 60 40 100 n(ad?bc)2100?(15?25?15?45)225所以得?????1.79．
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)60?40?30?7014因为1．79<2．706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．
【考点】1．频率分布直方图的应用；2．独立性检验；3．古典概型．
19．如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB∥CD ，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别为CD和PC的中点．求证：
（1）BE∥平面PAD；
（2）平面BEF⊥平面PCD． 【答案】详见解析 【解析】试题分析：（1）根据条件，易证四边形ABED是平行四边形，所以BE//AD，BE?平面PAD，AD?平面PAD，所以BE//平面PAD； （2）由条件易证PA?平面ABCD，CD?AD，所以CD?平面PAD，CD?PD，根据中点，EF//PD，所以CD?EF，CD?BE，那么可证明CD?平面BEF，CD?平面PCD，根据面面垂直的判定定理，平面BEF?平面PCD． 试题解析：证明：（1）因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD．
因为AB∥CD，CD=2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB=DE． 所以ABED为平行四边形，所以BE∥AD．
又因为BE?平面PAD，AD?平面PAD，所以BE∥平面PAD．
（2）因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD． 由（1）知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，因为PA?AD=A，
试卷第9页，总13页
所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD．
因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF． 又EF?BE=E，所以CD⊥平面BEF．
所以平面BEF⊥平面PCD．
【考点】1．线面垂直的判定；2．线面，面面垂直的判定． 20．已知函数f(x)?ax3?x2(a?R)在x??（1）确定a的值；
（2）若g(x)?f(x)ex，讨论g（x）的单调性． 【答案】（1） a?4处取得极值． 31；（2）详见解析． 24是函数3【解析】试题分析：（1）第一步，先求函数的导数，y??3ax2?2x，x??的极值点，所以f???4?4?x??，求，并回代验证两侧导数异号； a?0?3?3?（2）先求函数g?x????13?x?x2?ex，再求函数的导数并化简为?2?g?(x)?1x(x?1)(x?4)ex，并求函数的极值点，和极值点两侧的正负，得到函数的2单调区间．
试题解析：解：（1）f?(x)?3ax2?2x，
44处取得极值，所以f?(?)?0， 331641681?2?(?)?a??0，得a?． 即3a?93332因为f（x）在x??经验证成立．
32x（2）由（1）得g(x)?(x?x)e，
12故
31151g?(x)?(x2?2x)ex?(x3?x2)ex?(x3?x2?2x)ex?x(x?1)(x?4)ex，
22222当g?(x)?0时，x=0，x=-1，或x=-4，
当g?(x)?0时，即-4 综上可知g（x）在区间（-4，-1）和(0,??)上为增函数；在区间(??,?4)和（-1，0）上为减函数． 【考点】导数的基本应用 21．如图，椭圆长轴的端点为A、B，O为椭圆的中心，F为椭圆的右焦点，且AF?FB?1， 试卷第10页，总13页 OF?1． （1）求椭圆的标准方程； （2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． x2?y2?1；【答案】（1）（2）存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心，直线l的方程2为y?x?4． 3【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何性质，设出点A,B,F的坐标，代入数量积的 222坐标表示，以及方程a?b?c，解出a2,b2，得到方程； （2）假设存在这样的直线，若点F为?PQM的垂心，所以FM?PQ，点F,M是已知坐标，所以能够根据垂直关系得到直线l的斜率k?1，这样直线l的方程设为 y?x?m，和椭圆方程联立，根据韦达定理得到根与系数的关系，并设交点P(x1,y1)， Q(x2,y2)，同样根据垂心关系MP?FQ， 代入向量数量积的坐标表示，并进行化简 得到m的值并且满足??0． x2y2试题解析：解：（1）设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，则c=1， ab又∵AF?FB?(a?c)?(a?c)?a2?c2?1， 22∴a?2，b?1， x2?y2?1． 故椭圆方程为2Q(x2,y2)，（2）假设存在直线l交椭圆于P、Q两点，且F恰为△PQM的垂心，设P(x1,y1)， ∵M（0，1），F（1，0），∴直线l的斜率k=1． ?y?x?m?22于是设直线l为y=x+m，由?x2，得3x?4mx?2m?2?0， 2?y?1??2试卷第11页，总13页 2m2?24x1?x2??m，①x1x2?，② 33∵ MP?FQ?x1(x2?1)?y2(y1?1)?0，又y=x+m，∴ x1(x2?1)?(x2?m)(x1?m?1)?0， 即 2x1x2?(x1?x2)(m?1)?m2?m?0．将①②代入得 2m2?24m2?(m?1)?m2?m?0， 33解得m??44或m=1，经检验m??符合条件， 334． 3故存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心，直线l的方程为y?x?【考点】1．椭圆方程；2．直线与椭圆的位置关系． 22．已知直线l经过点P(,1)，倾斜角??12?6，圆C的极坐标方程为 ???2cos?(?)． 4（1）写出圆C的直角坐标方程； （2）设l与圆C相交于两点A、B，求A、B两点间的距离． 22【答案】（1） (x?)?(y?)?121215；（2）． 22【解析】试题分析：（1）首先根据两角差的余弦公式展开，然后两边同时乘以?，根据 ?2?x2?y2，?sin??y，?cos??x化简，得到圆的直角坐标方程； 1??x??tcos?26，代入圆的方程得到关于（2）根据定点和倾斜角写出直线的参数方程???y?1?tsin6?t的二次方程，根据韦达定理和t的几何意义，AB?t?t?(t?t)2?4tt ，121212即可求出结果． 试题解析：解：（1）由??2co?s(?)得??sin??cos?，所以4??2??si?n??co?s， 2222即x?y?x?y，故圆C的直角坐标方程为(x?)?(y?)?12121． 21???13x??tcosx??t???2622（t为参数）（2）直线l的参数方程为?，即?， ?1?y?1?t?y?1?tsin?6?2?试卷第12页，总13页 ?13x??t?1212111?222把?（t为参数）代入(x?)?(y?)?得t?t??0， 22224?y?1?1t?2?2设方程t?1111t??0的两根为t1，t2，则t1t2??，t1?t2??． 24422故AB?t1?t2?(t1?t2)?4t1t2?(?)?4?(?)?122145． 2【考点】1．极坐标方程与直角坐标方程的互化；2．弦长公式． ?x?x0?at【易错点睛】极坐标与参数方程的问题，属于基础题型，对于形如?（t为 y?y?bt0?参数）的参数方程，应先化为直线参数方程的标准形式后才能利用t的几何意义解题．在 参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致． 试卷第13页，总13页
