2014年北京市西城区初三二模
数 学 试 卷 2014. 6
学校 姓名 准考证号 考生须知 1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分。考试时间120分钟。 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。 一、选择题(本题共32分，每小题4分)
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1，0，?1，?2这四个数中，最小的数是 21 A． B．0 C．?1
21．在
元， 将93 210用科学记数法表示为
D．?2
2．据报道，按常住人口计算，2013年北京市人均GDP（地区生产总值）达到约93 210
A．93.21?10 B．9.321?10 C．0.9321?10 D． 932.1?10 3．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形， 若∠BCD=110°，则∠BAD的度数为 A．140° B．110° C．90° D．70°
3452CBODA
4．在一个不透明的口袋中装有5张完全相同的卡片，卡片上面分别写有数字－2，－1，0， 1，3，从中随机抽出一张卡片，卡片上面的数字是负数的概率为
4 3 2 1 A． B． C． D． 55555．如图，为估算学校的旗杆的高度，身高1.6米的小红旗杆在地面的影子AB由A向B走去，当她走到点C处
同学沿着时，她的
影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC=2m，BC=8m，则旗杆的高度是（ ） A．6.4m B．7m C． 8m D．9 6．如图，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于若BD=6，则菱形ABCD的面积是 A． 6 B． 12 C． 24 D．48
yBAC点O，
OD7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y?3x经过点A，⊥x轴于点B，将△ABO绕点B顺时针旋转60o得到△BCD，标为（2，0），则点C的坐标为 A． (5,3) B． (5,1)
OBxADC作AB若点B的坐
C． (6,3) D．(6,1)
8．右图表示一个正方体的展开图，下面四个正方体中只有一求，那么这个正方体是
A． B． C． D． 二、填空题(本题共16分，每小题4分) 9．函数y=个符合要
x-1中，自变量x的取值范围是_________
10．若一次函数的图像过点（0，2），且函数y随自变量x的增大而增大，请写出一个符合要求的一次函数表达式：_________
11．一组数据：3，2，1，2，2的中位数是_____，方差是12．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝?x(x?3)
BD_____． （0≤x≤3）在x
ACE
轴上方的部分，记作C1，它与x轴交于点O，A1，将旋转180°得C2，C2与x 轴交于另一点A2．请继续操将C2绕点A2旋转180°得C3，与x 轴交于另一点A3；A 2旋转180°得C4，与x 轴交于另一点A4，这样依次
C1绕点A1作并探究：将C3绕点得到x轴上
的点A1，A2，A3，?，An，?，及抛物线C1，C2，?，Cn，?．则点A4的坐标为 ；Cn的顶点坐标为 (n为正整数，用含n的代数式表示) ． 三、解答题(本题共30分，每小题5分) 13．计算： ()?1??3?(??3)0?3tan30?
14．已知：如图，C是AE上一点，∠B=∠DAE，BC∥DE，AC=DE． 求证：AB=DA． 15．解分式方程：
142x??1 2x?4x?2
16．列方程或方程组解应用题：
一列“和谐号”动车组，有一等车厢和二等车厢共6节，一共设有座位496个．其中每节一等车厢设有座位64个，每节二等车厢设有座位92个．问该列车一等车厢和二等车厢各有多少节？
17．已知关于x的一元二次方程x2+2x+3k-6=0有两个不相等的实数根 （1）求实数k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
18．抛物线y?x2?bx?c（b，c均为常数）与x轴交于A(1,0),B两点，与y轴交于点C(0,3)．． （1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）若P是抛物线上一点，且点P到抛物线的对称轴的距离为3，请直接写出点P的坐标．
四、解答题(本题共20分，每小题5分)
19．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC， DB平分∠ADC， E是CD的延长线上一点，且?AEC??ADC．
[来源学。科。网]
12（1）求证：四边形ABDE是平行四边形．
（2）若DB⊥CB，∠BCD＝60°，CD＝12，作AH⊥BD于H， 求四边形AEDH的周长．
E
ABCD21．据报道：2013年底我国微信用户规模已到达6亿．以下是根据相关数据制作的统计图表的一部分：
请根据以上信
息，回答以下问题：
（1）从2012年到2013年微信的人均使用时长增加了________分钟；
（2）补全2013年微信用户对“微信公众平台”参与关注度扇形统计图，在我国6亿微信用户中，经常使用户约为_________亿（结果精确到0.1）；
（3）从调查数学看，预计我国微信用户今后每年将以20%的增长率递增，请你估计两年后，我国微信用户的规模将到达_________亿. 21．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线与AD的延长线交于F． A（1）求证：?ABC??F （2）若sinC=.
22．阅读下面材料:
3，DF=6，求⊙O的半径． 5COHBDF
小明遇到这样一个问题: 如图1，五个正方形的边长都为1，将这五个正方形分割为四部分，再拼接为一个大正方形．
小明研究发现：如图2，拼接的大正方形的边长为5， “日”字形的对角线长都为5，五个正方形被两条互相垂直的线段AB，CD分割为四部分，将这四部分图形分别标号，以CD为一边画大正方形，把这四部分图形分别移入正方形内，就解决问题．
请你参考小明的画法，完成下列问题：
（1）如图3，边长分别为a，b的两个正方形被两条互相垂直的线段AB，CD分割为四部分图形，现将这四部分图形拼接成一个大正方形，请画出拼接示意图
（2）如图4，一个八角形纸板有个个角都是直角，所有的边都相等，将这个纸板沿虚线分割为八部分，再拼接成一个正方形，如图5所示，画出拼接示意图；若拼接后的正方形的面积为8?42，则八角形纸板的边长为 ．
五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分) 23．经过点（1，1）的直线l：
y?kx?2 (k?0)与反比例函数G1:y1?m (m?0)的图象交于点A(?1,a)，B（b，-1），与y轴交于点D． x（1）求直线l对应的函数表达式及反比例函数G1的表达式； （2）反比例函数G2::y2?t (t?0)， x①若点E在第一象限内，且在反比例函数G2的图象上，若EA=EB，且△AEB的面积为8，求点E的坐标及t值；
②反比例函数G2的图象与直线l有两个公共点M，N（点M在点N的左侧）， 若DM?DN?32，直接写出t的取值范围．
24．在△ABC，∠BAC为锐角，AB>AC， AD平分∠BAC交BC于点D．
（1）如图1，若△ABC是等腰直角三角形，直接写出线段AC，CD，AB之间的数量关系； （2）BC的垂直平分线交AD延长线于点E，交BC于点F．
①如图2，若∠ABE=60°，判断AC，CE，AB之间有怎样的数量关系并加以证明；
②如图3，若AC?AB?3AE，求∠BAC的度数．
[来源学+科+网Z+X+X+K]
[来源学科网ZXXK]
25.在平面直角坐标系xOy中，对于⊙A上一点B及⊙A外一点P，给出如下定义：若直线PB与 x轴有公共点（记作M），则称直线PB为⊙A的“x关联直线”，记作lPBM. （1）已知⊙O是以原点为圆心，1为半径的圆，点P（0,2），
①直线l1：y?2，直线l2：y?x?2，直线l3：y?3x?2，直线l4：y??2x?2都经过点P，在直线l1， l2， l3， l4中，是⊙O的“x关联直线”的是 ；
②若直线lPBM是⊙O的“x关联直线”，则点M的横坐标xM的最大值是 ； （2）点A（2,0）,⊙A的半径为1，
①若P（-1,2）,⊙A的“x关联直线”lPBM：y?kx?k?2，点M的横坐标为xM，当xM最大时，求k的值；
②若P是y轴上一个动点，且点P的纵坐标yp?2，⊙A的两条“x关联直线”lPCM,lPDN是⊙A的两条切线，切点分别为C,D，作直线CD与x轴点于点E，当点P的位置发生变化时， AE的长度是否发生改变？并说明理由.
北京市西城区2014年初三二模试卷
数学试卷参考答案及评分标准 2014.6
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
题号 答案 1 D 2 B 3 D 4 C 5 C 6 C 7 A 8 B 二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9 10 答案不唯一， 如：y?x?2 2 11 0.4 (12,0) 12 (3n?39,(?1)n?1?) 24x?1 [来源学科网]（n为正整数） 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解： ()?1??3?(??3)0?3tan30?
14=4?3?1?3?3 ···································································· 4分 3=3?23. ········································································· 5分
14. 证明：（1）∵BC∥DE，
∴∠ACB＝∠DEA． …………1分 在△ABC和△DAE中,
BD??B??DAE，? ??ACB＝?DEA ?AC?DE,?ACE∴△ABC≌△DAE． ·············································· 4分
∴AB=DA． ··························································· 5分
15.方程两边同时乘以x2?4，得2?x(x?2)?x2?4， ································· 3分 解得，x??3. ················································································· 4分 经检验，x??3是原方程的解x??3 ······················································· 5分
16.解：设该列车一等车厢有x节，二等车厢有y节．········································ 1分
?x?y?6，由题意，得 ? ························································ 2分
64x?92y?496,?解得 ??x?2， ················································································· 4分
?y?4,答：该列车一等车厢有2节，二等车厢有4节 ·············································· 5分 ?? .
17.解:(1)由题意，得 Δ=4-4(3k-6)>0
∴k?7. ················································································ 2分 3(2)∵k为正整数，
∴k=1，2 ·············································································· 3分 当k=1时，方程x2+2x-3=0的根x1=-3，x2=1都是整数; ······················ 4分 当k=2时，方程x2+2x=0的根x1=-2，x2=0都是整数. 综上所述，k=1，2.······································································ 5分
18.解:(1) ∵抛物线y?x2?bx?c与y轴交于点C(0,3),
∴c=3 . ∴y?x2?bx?3.
又∵抛物线y?x2?bx?c与x轴交于点A(1,0), ∴b=-4 .
∴y?x2?4x?3. ······································································· 3分
（2）点P的坐标为(5,8)或(?1,8)． 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．解：（1）∵DB平分∠ADC，
121 又∵?AEC??ADC,
2∴?AEC??1．
∴?1??2??ADC．
∴AE∥BD ． ······································································ 1分 又∵AB∥EC，
∴四边形AEDB是平行四边形． ··········································· 2分 （2）∵DB平分∠ADC，，∠ADC＝60°，AB∥EC，
∴∠1=∠2=∠3=30°． ∴AD =AB． 又∵DB ⊥BC， ∴∠DBC=90°．
在Rt△BDC中， CD=12，
∴BC=6，DB?63． ·························································· 3分 在等腰△ADB中，AH ⊥BD， ∴DH= BH=DB?33． 在Rt△ABH中，∠AHB=90°，
∴AH=3，AB=6． ·································································· 4分 ∵四边形AEDB是平行四边形． ∴AE?BD?63， ED=AB=6．
∴AE?ED?DH?AH?93?9． ········································ 5分
12
∴四边形AEDH的周长为93?9．
20．解：（1）6.7； ··················································································· 1分
（2）42.4%， 1.5·········································································· 4分 （3）8.64 ···················································································· 5分
21．（1）证明：∵BF为⊙O的切线，
∴AB⊥BF于点B． ∵ CD⊥AB，
∴∠ABF =∠AHD =90°． ∴CD∥BF． ∴∠ADC=∠F． 又∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC=∠F． ·································································· 2分
（2）解：连接BD．
∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB =90°，
由（1）∠ABF =90°， ∴∠A=∠DBF． 又∵∠A=∠C．
∴∠C=∠DBF． ····································································· 3分 在Rt△DBF中，sinC?sin?DBF?ACOHBDF3，DF=6， 5∴BD=8． ················································································· 4分 在Rt△ABD中，sinC?sinA?3， 5
∴AB?40． 320． ································································· 5分 3∴⊙O的半径为
22．解：（1）拼接示意图如下；……………… 2分
（2）接示意图如下，八角形纸板的边长为 1 ． ······························· 5分
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（1）解：∵直线l:y?kx?2 (k?0)经过(?1,1)，
∴k??1，
∴直线l对应的函数表达式y??x?2． ···································· 1分 ∵直线l与反比例函数G1:y1?∴a?b?3．
∴A(?1,3)，B（3，-1）．
∴m??3．
∴反比例函数G1函数表达式为y??m (m?0)的图象交于点A(?1,a)，B（b ，-1）， x3． ·································· 2分 x
（2）∵EA=EB，A(?1,3)，B（3，-1），
∴点E在直线y=x上．
∵△AEB的面积为8，AB?42， ∴EH?22．
∴△AEB 是等腰直角三角形．
∴E (3,3)， ················································································· 5分
（3）分两种情况：
（ⅰ）当t?0时，则0?t?1； ························································· 6分 （ⅱ）当t?0时，则??t?0．
综上，当??t?0或0?t?1时，反比例函数G2的图象与直线l有两个公共点M，N，且·················································································· 7分 DM?DN?32． ·
24．解：（1）AB=AC+CD； ································································· 1分 （2）①AB=AC+CE； ······································································· 2分
证明：在线段AB上截取AH=AC，连接EH． ∵AD平分∠BAC ∴?1??2． 5454ECDAHFB
又∵AE=AE，
∴△ACE≌△AHE．
∴CE=HE． ······································································· 3分 EF垂直平分BC，
∴CE=BE． ············································································ 4分 又∠ABE=60°，
∴△EHB是等边三角形． ∴BH=HE．
∴AB=AH+HB=AC+CE． ······················································ 5分②在线段AB上截取AH=AC，连接EH，作EM⊥AB于点M． 易证△ACE≌△AHE， ∴CE=HE． ∴△EHB是等腰三角形． ∴HM=BM． ∴AC+AB=AH+AB =AM-HM+AM+MB =2AM． ∵AC?AB?3AE， ∴AM?[来源:Zxxk.Com]
CDF3AE． 2E在Rt△AEM中，cos?EAM?∴∠EAB=30°．
AM3， ?AE2AHMB∴∠CAB=2∠EAB=60°． ························································ 7分
25．解：（1）①l3,l4； ············································································· 2分 ②xM?23； ··································································· 3分 3
（2）①如图，当直线PB与⊙A相切于点B时,此时点M的横坐标xM最大，
作PH⊥x轴于点H，
∴HM=xM?1，AM= xM?2， 在Rt△ABM和Rt△PHM中， tan?AMB?AB?PH，
BMHM∴BM=1HM=1(xM?1)．
22222在Rt△ABM中， AM?AB?BM，
2∴(xM?2)?1?1(xM?1)2． 4解得xM?3?43． 343． 3∴点M的横坐标xM最大时，xM?3?∴k?
3?3． ······································································· 6分 4②当P点的位置发生变化时，AE的长度不发生改变． 如图，⊙A的两条“x关联直线”与⊙A相切于点C,D， ∴PC=PD． 又∵AC=AD ∴AP垂直平分BC．
在Rt△ADF和Rt△ADP中，
sin?ADF?sin?APD，
∴AF?AP?AD2
在Rt△AEF和Rt△AOP中，
cos?EAF?AFAO， ?AEAP∴AF?AP?AE?AO ∴AD2?AE?AO ∴AE?1．
2即当P点的位置发生变化时，AE的长度不发生改变．····································· 8分
