高一2014-2015学年度单元测试题
数 学 立体几何部分
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）与第Ⅱ卷（必考题和选考题两部分），考生作答时请将答案答在答题纸上，答在试卷或草纸上无效，考试时间120分钟，满分150分。
参考公式：柱体体积V?Sh，其中S为柱体底面积，h为柱体的高。
4?R3，其中π为圆周率，R为球体半径。 31椎体体积V?Sh，其中S为锥体底面积，h为锥体的高。
3球体体积V?第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.下列说法正确的是
A.两两相交的三条直线共面
B.两条异面直线在同一平面上的射影可以是一条直线
C.一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线和该平面平行 D.不共面的四点中，任何三点不共线
2.设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在α，β内运动时，那么所有的动点C A.不共面
B.当且仅当A，B在两条相交直线上移动时才共面
C.当且仅当A，B在两条给定的平行直线上移动时才共面 D.不论A，B如何移动都共面
3.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A.2 B.1 C.
21 D. 第3题图 第4题图 334.如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB中点。将△ADE与△BEC分别沿ED，
EC向上折起，使A，B重合于点P，则三棱锥P－DCE的外接球的体积为 A.
43? B. 276? C. 26?6? D. 8245.设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是
A.若l⊥m，m?α，则l⊥α B.若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C.若l∥α，m?α，则l∥m D.若l∥α，m∥α，则l∥m 第6题图
6.如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在 A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.△ABC内部 7.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F， 且EF=
1，则下列结论中错误的是 2A. AC⊥BE B.EF∥平面ABCD
C.三棱锥A-BEF的体积为定值 D.△AEF的面积与△BEF的面积相等 第7题图
8.已知有三个命题：①长方体中，必存在到各点距离相等的点；②长方体中，必存在到各棱距离相等的点；③长方体中，必存在到各面距离相等的点。以上三个命题中正确的有
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
1
9.如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于 A.
SSSSSSS B. S D. C. 242?4?10.如图所示，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体B1EF－C1HG后得到的几何 体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中 不正确的是
A.EH∥FG B.四边形EFGH是矩形 C.Ω是棱柱 D.Ω是棱台 第10题图 11.如图所示，定点A、B都在平面α内，定点P?α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC。那么，动点C在平面α内的轨迹是
A.一条线段，但要去掉两个点 B.一个圆，但要去掉两个点 C.一个椭圆，但要去掉两个点 D.半圆，但要去掉两个点
第11题图 第12题图
12.如图所示，在单位正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P，使得AP+D1P最短，则AP+D1P的最小值为
A.2?2 B.
2?6 C.2?2 D.2 2
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题～第24题为平行选考题，考生根据要求作答。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13.如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，侧棱与底面边长均为2a， ∠A1AD=∠A1AB=60°，则侧棱AA1和截面B1D1DB的距离是_________
14.一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为103，则h=______ 第13题图
第14题图 第15题图
15.如图所示，在正三角形ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D、H、G为垂足，若将正三角形ABC绕AD旋转一周所得的圆锥的体积为V，则其中有阴影部分所产生的旋转体的体积与V的比是_________
16.判断下列命题的正确性，并把所有正确命题的序号都填在横线上__________ ①若直线a∥直线b，b?平面α，则直线a∥平面α
②在正方体内任意画一条线段l，则该正方体的一个面上总存在直线与线段l垂直
2
③若平面β⊥平面α，平面γ⊥α，则平面β∥平面γ
④若直线a⊥平面α，直线b∥平面α，则直线b⊥直线a 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB1⊥BC1，AB=CC1=1，BC=2. （1）求证：A1C1⊥AB；
（2）求点B1到平面ABC1的距离.
18.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°， BC=
A1B1C1ABC1AD，PA=PD，Q为AD的中点． 2（1）求证：AD⊥平面PBQ；
（2）若点M在棱PC上，设PM=tMC，试确定t的值，使得PA//平面BMQ．
19.（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=
1PD． 2（1）证明：PQ⊥平面DCQ；
（2）求棱锥Q－ABCD的的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值．
D120.（本小题满分12分）
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1=AD=1，底边AB上有且只有一点M使 得平面D1DM⊥平面D1MC. A1（1）求异面直线CC1与D1M的距离； D（2）求二面角M－D1C－D的大小.
A
21.（本小题满分12分）
已知正四棱锥P－ABCD的底面边长和侧棱长均为13，E、F分别是PA、BD上的点， 且
C1B1CMBPPEBF5??. EAFD8E（1）求证：直线EF∥平面PBC；
（2）求直线EF与平面ABCD所成的角；
DCFAB3
在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题所得的分计分。
22.（本小题满分12分）
BB1已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧面BB1C1C是边长为2的菱形， ∠B1BC=60°， 侧面BB1C1C⊥底面ABC，∠ACB=90°，二面角A-B1B-C为30°. （1）求证：AC⊥BB1C1C；
（2）求AB1与平面BB1C1C所成角的正切值；
（3）在平面AA1B1B内找一点P，使三棱锥P-BB1C为正三棱锥，并求 CC1该棱锥底面BB1C上的高.
23.（本小题满分12分）
A如图，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA//PB，PB=AB=2MA， （1）证明：AC//平面PMD；
（2）求直线BD与平面PCD所成的角的大小；
（3）求平面PMD与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小。
24.（本小题满分12分）
如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为a，P为A1B上的点。 （1）试确定A1PPB的值，使得PC⊥AB；
（2）若
A1PPB?23，求二面角P—AB—C的大小； （3）在（2）条件下，求C1到平面PAC的距离
A14
高一2011-2012学年度单元测试卷
数学试卷答题纸
姓 名：__________ 班 级：__________ 贴 条 形 码 区考 场：__________ 座位号：__________ （正面朝上，切勿贴出虚线方框外） 准考证号 考生禁填 1．答题前，考生务必清楚地将自己的姓名、准考证号和座位号填写在相应位缺考标记? 注置。 缺考考生，由意2．选择题填涂时，必须使用2B铅笔按?填涂；非选择题必须使用0.5毫 监考员贴条形事米的黑色墨迹签字笔作答。 3．考生必须在答题卡各题目的规定答题区域内答题，超出答题区域范围书码，并用2B铅 项写的答案无效。 笔填涂右面的4．保持答题卡清洁、完整、严禁折叠，严禁使用涂改液和修正带。 选择题 （考生须用2B铅笔填涂） 1.[A] [B] [C] [D] 5.[A] [B] [C] [D] 9. [A] [B] [C] [D] 2.[A] [B] [C] [D] . .6.[A] [B] [C] [D] 10. [A] [B] [C] [D] 3.[A] [B] [C] [D] . .. 7.[A] [B] [C] [D] .11.[A] [B] [C] [D] 4.[A] [B] [C] [D] 8.[A] [B] [C] [D] .12.[A] [B] [C] [D] 非选择题 （请用0.5毫米黑色墨水签字笔书写） 17.（本小题满分10分） A1C1B1ACB5
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框
18.（本小题满分12分） 6
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框
19.（本小题满分12分） 20.（本小题满分12分） D1C1AB11DCAMB7
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框
21.（本小题满分12分） PEDCFAB8
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框
用2B铅笔填涂题号 22 23 24 BB1 CC1 A1 A 9
参考答案及评分标准
一、选择题，每小题5分，选错或不选不得分
题号 答案 题号 答案 1 D 7 D 2 D 8 B 3 B 9 D 4 C 10 D 5 B 11 B 6 A 12 A 二、填空题，每小题5分，第16题选错或少选都不得分 13.a 14.
3 15.
5 16.②④ 8三、解答题，考生必须写出解题步骤或证明步骤，只写答案不得分，答题前不写“解”或“证明”字样的扣一分，写了不给分，答题纸上未标注选择哪一道题选做题的不得分，答案答错区域的不得分，超出答题区域的答案不予以审批。
17.（本小题满分10分）
证明：（1）连结A1B，则A1B?AB1
又∵A1B?BC1∴AB1?平面A1BC1
∴ AB1?A1C1???4分
又∵A1C1?BB1 ∴A1C1?平面ABB1
∴A1C1?AB ???????4分 （2）由（1）知AB?AC ∵AB?AC1 ∵AB?1 BC?2
∴S?ABC1∴AC?3 AC1?2
ABCA1B1C1?1 ???????6分 ?VC1?ABB1
设所求距离为d ∵VB1?ABC111S?d?S?ABB1?A1C1 ∴?ABC133 ∴
1113?1?d???3 ∴d? ????10分 33221 AD，Q为AD的中点， 218.（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）AD // BC，BC=
∴ 四边形BCDQ为平行四边形， ∴CD // BQ ． ∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD． ∵ PA=PD，Q为AD的中点， ∴PQ⊥AD． ∵ PQ∩BQ=Q，
∴AD⊥平面PBQ． ……………………6分 （Ⅱ）当t=1时，PA//平面BMQ． 连接AC，交BQ于N，连接MN． ∵BC
1 DQ， 2∴四边形 BCQA为平行四边形，且N为AC中点， ∵点M是线段PC的中点，
10
∴ MN // PA．
∵ MN平面BMQ，PA平面BMQ，
∴ PA // 平面BMQ． ……………………12分 19.（本小题满分12分）
解：（I）由条件知PDAQ为直角梯形
因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.
又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.
在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQ⊥QD 所以PQ⊥平面DCQ. ………………6分 （II）设AB=a.
由题设知AQ为棱锥Q—ABCD的高，所以棱锥Q—ABCD的体积 由（I）知PQ为棱锥P—DCQ的高，而PQ=
，△DCQ的面积为
，
所以棱锥P—DCQ的体积为
故棱锥Q—ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值为1.…………12分 20.（本小题满分12分）
证明:(1)过D作DH?D1M于H
∵平面D1DM?平面D1MC且平面D1DM?平面D1MC?D1M ∴DH?平面D1MC ∴DH?MC
D1C1又∵MC?DD1 ∴MC?平面D1DM F∴MC?DM???????2分 AB1又∵满足条件的M只有一个
1H∴以CD为直径的圆必与AB相切， DEC切点为M，M为的AB中点
∴
12CD?AD ∴CD?2???4分 AMB∵MC?平面D1DM，∴MC?D1M
又∵CC1?MC，所以MC为异面直线CC1与D1M的公垂线段
CM的长度为所求距离 CM?2???????6分
（2）取CD中点E，连结ME，则ME?平面D1CD 过M作MF?D1C于F，连结EF，则EF?CD1
∴?MFE为二面角M?D1C?D的平面角???????9分 又∵ME?1 ,MF?30ME5 在Rt?MEF中sin?MFE?MF?306
∴?MFE?arcsin306 ???????12分 21.（本小题满分12分） 证明：（1）连结AF并延长与BC交于G
11
∵?ADF∽?GBF
∴
BFFD?GF5FA?8 P ∴PEEA?GFFA ∴EF∥PG??????5分 E 又∵EF?平面PBC
∴EF∥平面PBC?????6分
（2）∵EF∥PG
∴EF、PG与平面ABCD所成的角相等???????8分 D 设AC、BD交于O，连结PO、OG
O∵PO?平面ABCD，∴?PGO为所求的角?????9分 AFGB ∵
BFBG5FD?AD?8 ∴BG?13?58 在?OBG中
2 OG???132?22???????13?5?1352138???2?22?13?8?2?817????10分 又∵PA?13 OA?1322 ∴OP?1322 132 在Rt?POG中 tan?PGO?PO24OG?13?34
81717 ∴?PGO?arctan41734???????12分 22.（本小题满分12分）
证明：（1）∵平面BB1C1C?平面ABC
BDB 平面BB1 1C1C?平面ABC?BC O 又∵AC?BC AC?平面ABC P ∴AC?平面BB1C1C???????4分
CC1（2）取BB1的中点D，则CD?BB1 A ∵AC?平面BB11C1C ∴AD?BB1
A ∴?CDA为二面角A?BB?1?C的平面角 ∴?CDA?30 ∵CD?3 ∴AC?1???????6分 连结B1C，则?AB1C为AB1与平面BB1C1C所成的角
C12
在Rt?ACB1中 tan?AB1C?（3）在CD上取一点O使
AC1????????8分 B1C2DO1?，过O作AC的平行线与AD交于P，则点P为所OC2求 ???????10分 ∵AC∥OP ∴OP?平面BB1C且O是正?BB1C的中心 ∴P?BB1C为正三棱锥 ∴所求高为OP?13AC?13???????12分 23.（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：如图1，取PD的中点E，连EO，EM。
∵EO//PB，EO=
12PB，MA//PB，MA=12PB， ∴EO//MA，且EO=MA
∴四边形MAOE是平行四边形， ∴ME//AC 。
又∵AC?平面PMD，ME?平面PMD，
∴AC//平面PMD ??????????3分 （Ⅱ）如图1，PB⊥平面ABCD， CD?平面ABCD， ∴CD⊥PB。 又∵CD⊥BC， ∴CD⊥平面PBC。
∵CD?平面PCD， ∴平面PBC⊥平面PCD。 过B作BF⊥PC于F，则BF⊥平面PDC，连DF， 则DF为BD在平面PCD上的射影。
∴∠BDF是直线BD与平面PDC所成的角。 不妨设AB=2，则在Rt△BFD中，BF?12BD， ∴∠BDF=?6 ∴直线BD与平面PCD所成的角是
?6 ???7分 （Ⅲ）解：如图3，分别延长PM，BA，设PM∩BA=G，连DG， 则平面PMD∩平面=ABCD=DG
过A作AN⊥DG于N，连MN。 ∵PB⊥平面ABCD， ∴MN⊥DG
∴∠MNA是平面PMD与平面ABCD所成
的二面角的平面角（锐角） ??????????9分 在Rt△MAN中，tan?MNA?MANA?22， ∴∠MNA=arctan
22 ∴平面PMD与平面ABCD所成的二面角（锐角）
13
大小是arctan
2 ????????????????12分 224.（本小题满分12分）
解法一：（1）当
A1P?1时，PC⊥AB PB取AB的中点D′，连结CD′、PD′ ∵△ABC为正三角形， ∴CD′⊥AB。
当P为A1B的中点时，PD′//A1A， ∵A1A⊥底面ABC， ∴PD′⊥底面ABC， ∴PC⊥AB ????????2分 （2）当
A1PPB?23时，过P作PD⊥AB于D， 如图所示，则PD⊥底在ABC
过D作DE⊥AC于E，连结PE，则PE⊥AC ∴∠DEP为二面角P—AC—B的平面角。 又∵PD//ABD1A， ∴
DA?BPPA?3， ∴AD?2125a
∴ DE?AD?sin60??2a5?32?35a. 又∵
PD33AA?5,?PD?15a ∴ tan?PED?PDDE?3 ∴∠PED=60° 即二面角P—AC—B的大小为60° ??????????6分 （3）设C1到面PAC的距离为d，则VC1?PAC?VP?ACC1
∵PD//A1A ∴PD//平面A1C ∴DE即为P点到平面A1C的距离。又PE=PD2?DE2?(35a)2?(35a)2?235a2 ∴
13S?d?1?PAC3S?ACC1?DE ∴1(1a?235a)?d?113323(2a2)?5a 解得 d?a2 即C11到平面PAC的距离为
2a ??????????12分 14
