江苏省镇江市合作盟校2013届高三考前全真模拟密卷数学卷4
数学（?）（正题）
一、填空题.本大题共10小题，每小题5分，共50分.把正确答案填在相应位置.
1.某校共有学生2000名，各年级人数如下表所示： 年级 人数 高一 800 高二 600 高三 600 现用分层抽样的方法在全校抽取120名学生，则应在高三年级抽取的学生人数为 ．
2.若命题“?x?R，x2?ax?a?0”为真命题，则实数a的取值范围是 ． 3.某程序框图如图所示，若输出的S?10，则自然数a? ． 4.若直线y?kx?1与直线2x?y?4?0垂直，则k? ． 5.已知集合P???1,m?，Q??x?1?x???3? ?，若P?Q??，则整数m? ．
4?6.一根绳子长为6米，绳上有5个节点将绳子6等分，现从5个节点中随机选一个将绳子剪断，则所得的两段绳长均不小于2米的概率为 ．
5.若复数z满足z?i?1（其中为虚数单位），则z的最大值为 ． 6.已知向量a的模为2，向量e为单位向量，e?(a?e)，则向量a与e的夹角大小为 ．
9.在等比数列?an?中，已知a1a2a3?5,a7a8a9?40,则a5a6a7? ． 10.函数f(x)?sin2xsin为 ．
11.过圆x?y?9内一点P(1,2)作两条相互垂直的弦AC，BD，当AC?BD时，四边形ABCD的面积为 ．
12.若y?f(x)是定义在R上周期为2的周期函数，且f(x)是偶函数，当x??0,1?时，
22?6?cos2xcos5?????在??,?上的单调递增区间6?22?f(x)?2x?1，则函数g(x)?f(x)?log3x的零点个数为 ．
13.设f(x)是定义在R上的可导函数，且满足f(x)?xf(x)?0.则不等式
'f(x?1)?x?1f(x2?1)的解集为 a2?5，a6?21，14.在等差数列?an?中，记数列?第 1 页 共 12 页
?1?mnS的前项和为，若S?S??n2n?1na15?n?
对n?N?恒成立，则正整数m的最小值为 ．
二、解答题.本大题共2小题，共30分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.
15.（本小题满分14分）
在四棱锥P?ABCD中，PA?底面ABCD，AB//CD，AB?BC，AB?BC?1，DC?2，点E在PB上.
（1）求证：平面AEC?平面PAD；
（2）当PD//平面AEC时，求PE：EB的值.
16.（本小题满分14分）
设?ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且b2?（1）求证：cosB?
1ac. 23； 4（2）若cos(A?C)?cosB?1，求角B的大小.
17（本小题满分14分）
因客流量临时增大，某鞋店拟用一个高为50cm(即EF=50cm)的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜.根据经验，一般顾客AB的眼睛B到地面的距离x(cm)在区间[140,180]内.设支架FG高为h(0 (1)当h=40cm时，试求y关于x的函数关系式和y的最大值； 第 2 页 共 12 页 (2)当顾客的鞋A在镜中的像A1满足不等关系GC?GA1?GD(不计鞋长）时，称顾客可在镜中看到自己的鞋，若一般顾客都能在镜中看到自己的鞋，试求h的取值范围. 18.（本小题满分16分） x2y2221已知椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为，且过点P(,)，记椭圆的左顶点为 ab222A. （1）求椭圆的方程； （2）设垂直于y轴的直线交椭圆于B，C两点，试求?ABC面积的最大值； （3）过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆于D，E两点，且k1k2?2，求证：直线DE恒过一个定点. 19（本小题满分16分） 第 3 页 共 12 页 在数列{an}中，a1?1,且对任意的k?N*,a2k?1,a2k,a2k?1成等比数列，其公比为qk. （1）若qk=2(k?N*),求a1?a3?a5?...?a2k?1； （2）若对任意的k?N*，a2k，a2k?1，a2k?2成等差数列，其公差为dk，设bk? ① 求证：{bk}成等差数列，并指出其公差； ②若d1=2,试求数列{dk}的前k项的和Dk. 1. qk?1 20.已知函数f1(x)?e|x?2a?1|,f2(x)?e|x?a|?1,x?R. (1)若a=2,求f(x)?f1(x)?f2(x)在x?[2,3]上的最小值； (2)若x?[a,??)时，f2(x)?f1(x)，求a的取值范围； (3)求函数g(x)?f1(x)?f2(x)|f1(x)?f2(x)|在x?[1,6]上的最小值； ?22 数学（Ⅱ）（附加题） 21.选做题 A.选修4?1：几何证明选讲 如图，等边三角形ABC内接于圆O，D为劣弧BC上一点，连结BD，CD并延长分别交AC，AB的延长线于点E，F. 求证：CE?BF?BC2. 第 4 页 共 12 页 B.选修4?2：矩阵与变换 ?1? 已知二阶矩阵A将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是??，求矩阵A. ?1? C.选修4?4：坐标系与参数方程 x2y2已知点P(x,y)在椭圆??1上，试求z?2x?3y的最大值. 1612 D.选修4?5：不等式选讲 设a1，a2，a3均为正数，且a1?a2?a3?m.求证： 22.（本小题满分10分） 甲，乙，丙三人投篮，甲的命中率为p，乙，丙的命中率均为q（p,q?(0,1)）.现每人独立投篮一次，记命中的总次数为随机变量?. （1）当p?q?1119???. a1?a2a2?a3a3?a12m1时，求数学期望E(?)； 2（2）当p?q?1时，试用p表示?的数学期望E(?). 第 5 页 共 12 页 23.某班级共派出n?1个男生和n个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生甲为领队.入场时，领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有入场后，又需从男生（含男生甲）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有FnEn种排法；种选法. （1）试求En和Fn； （2）判断lnEn和Fn的大小（n?N?），并用数学归纳法证明. 参考答案 第 6 页 共 12 页 第 7 页 共 12 页 第 8 页 共 12 页 第 9 页 共 12 页 第 10 页 共 12 页
