2014届吉林省吉林市高三开学摸底考试文科数学试卷
一、选择题
1．设集合U={0，l，2，3，4，5，6}，M ={l，3，5}，N={4，5，6}，则(eUM)?N=（ ）
A． {0，2，4，6} B． {4, 5，6}
C． {4, 6} D． {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
2．设i为虚数单位，则复数
i?2i=（ ） A．1?2i B．1?2i C．?1?2i D．?1?2i
3．抛物线x2?4y的焦点坐标是（ ）
A．（2，0） B．（0，2） C．（l，0） D．（0，1） 4．f(x)?tanx?sinx?1，若f(b)?2，则f(?b)?（ ） A. 0 B. 3 C. ?1 D. ?2
5．如图. 程序输出的结果s=132 , 则判断框中应填（ ）
开始i = 12 , s = 1否是s = s i输出si = i 1结束 A. i≥10? B. i≥11? C. i≤11? D. i≥12? 6．设m,n是两条不同的直线，?,?是两个不同的平面，有下列四个命题： ① 若m??,???,则m??；
② 若?//?,m??,则m//?； ③ 若n??,n??,m??,则m??； ④ 若m//?,m//?,则?//?
其中正确命题的序号是（ ） A. ①③ B. ①②
C. ③④ D. ②③
7．直线x?y?5和圆O: x2?y2?4y?0的位置关系是（ ） A．相离
B．相切
C．相交不过圆心
D．相交过圆心
8．已知向量a??(cosθ,sinθ)，向量b??(3,1)，且a??b?，则tanθ的值是（ A. 33B. ?3 C. ?3 D. 3 39．右图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（ ）
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）
4主视图23俯视图32侧视图
A． 17?65 B． 34?65 C． 6?65?43 D． 6?63?413 10．已知数列?an?，an??2n2??n，若该数列是递减数列，则实数?的取值范围是（ ）
A. ???,6? B. ???,4? C. ???,5?
D. ???,3?
a2x2y211．已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右焦点F，直线x?与其渐近线交于A，
cabB两点，且?ABF为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. （3，??） B. （1，3） C. （2，??） D. （1，2）
1??x?a,x?,??212．设函数f(x)??的最小值为?1，则实数a的取值范围是（ ）
1?logx,x?2??2 A. [?111C. (??,?) D. [?1,??) ,??) B. (?,??)222
二、填空题
13．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a?2，c?3，B?60?．则
b= .
14．边长是22的正?ABC内接于体积是43?的球O，则球面上的点到平面ABC的最大距离为 . 15．下列说法：
① “?x?R，使2>3”的否定是“?x?R，使2?3”； ② 函数y?sin(2x?)的最小正周期是?；
xx?3③ “在?ABC中，若sinA?sinB，则A?B”的逆命题是真命题；
④ “m??1”是“直线mx?(2m?1)y?1?0和直线3x?my?2?0垂直”的充
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要条件；
其中正确的说法是 （只填序号）.
?x?y?1?0?16．设变量x,y满足约束条件?x?2y?2?0，则z?x?y的最大值是 .
?2x?y?7?0?
三、解答题
17．在锐角?ABC中，3sinA?cosA?1. （Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求cos2B?4cosAsinB的取值范围.
18．公差不为零的等差数列{an}中，a3?7，又a2,a4,a9成等比数列. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn?2n，求数列{bn}的前n项和Sn.
19．某校高三期末统一测试，随机抽取一部分学生的数学成绩分组统计如下表：
（Ⅰ）求出表中m、n、M、N的值，并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图； 分组 频数 频率 a(0,30] 3 3 37 0.03 0.03 0.37 (30,60] (60,90] (90,120] m n 0.15 N (120,150] 15 合计 M 试卷第3页，总5页
频率/组距 0.016 0.015 0.014 0.013 0.012 0.011 0.010 0.009 0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 30 60 90 120 150 分数
（Ⅱ）若全校参加本次考试的学生有600人，试估计这次测试中全校成绩在90分以上的人数；
（Ⅲ）若该校教师拟从分数不超过60的学生中选取2人进行个案分析，求被选中2人分数不超过30分的概率． 20．在四棱锥V?ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD?底面ABCD．
VDCAB
（Ⅰ）如果P为线段VC的中点,求证：VA//平面PBD；
（Ⅱ）如果正方形ABCD的边长为2, 求三棱锥A?VBD的体积．
x2y221．已知椭圆2?2?1（a?b?0）右顶点到右焦点的距离为3?1，短轴长为
ab22.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若线段AB的长为线AB的方程． 22．已知x?1是
33，求直2f(x)?2x?b?lnxx的一个极值点.
（Ⅰ） 求b的值；
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（Ⅱ） 求函数f(x)的单调递减区间；
g(x)?f(x)?（Ⅲ）设说明理由.
3x，试问过点(2,5)可作多少条直线与曲线y?g(x)相切？请
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2014届吉林省吉林市高三开学摸底考试文科数学试卷参考答案
1．C． 【解析】
试题分析：易知(CUM)?N??0,2,4,6???4,5,6???4,6?． 考点：集合的运算． 2．A． 【解析】 试题分析：
i?2i?(i?2)?1?2i???1?2i． 2ii?1考点：复数的运算.
3．D． 【解析】
试题分析：由题意易知p?2，抛物线的焦点坐标为(0,考点：抛物线的性质. 4．A. 【解析】
试题分析：?f(b)?tanb?sinb?1?2，即tanb?sinb?1，
p)，即(0,1)． 2?f(?b)?tan(?b)?sin(?b)?1??(tanb?sinb)?1?0.
考点：三角函数的性质. 5．B. 【解析】
试题分析：由题意知当i?12时，s?1；当i?11时，s?12；当i?10时，s?132，此时应输出s，则判断框中应填i?11?. 考点：程序框图. 6．D. 【解析】
试题分析：根据题意若m??,???，则m???P或m//?，故①错误；若则m//?，故②正确；若n??,n??，则?//?，又m??，所以m??，?//?,m??，
故③正确；若m//?,m//?，则?//?或????l，故④不正确. 考点：线面关系和面面关系.
7．A． 【解析】
试题分析：圆O的圆心坐标为(0,2),r?2，根据点到直线的距离公式得圆心到已知直线的
距离为：d?0?2?51?1?32?r?2，所以直线与圆的位置关系为相离． 2答案第1页，总8页
考点：直线与圆的位置关系. 8．C. 【解析】
????试题分析：?a?b，?a?b?(cos?,sin?)?(3,1)?3cos??sin??0，即得
tan???3．
考点：向量的坐标运算. 9．B． 【解析】
试题分析：由四棱锥的三视图可知，此四棱锥的底面表面积为(3?3)?2?12，垂直底面的
11?(3?3)?4?12；左右两个侧面的面积和为2?(?2?42?32)?10；另221一个侧面的面积为?(3?3)?42?22?65，所以四棱锥的表面积为
2侧面面积为
12?12?10?65?34?65．
考点：四棱锥的三视图及表面积的求法. 10．A. 【解析】
试题分析：数列{an}的通项公式是关于n(n?N)的二次函数，若数列是递减数列，则
???2?(?2)?1，
即??4．
考点：数列的性质. 11．D. 【解析】
a2试题分析：由题意设直线x?与x轴的交点为D，因三角形ABF为钝角三角形，且?BFDca2b2?与?AFD相等，则?AFD?，又因DF?c?，双曲线的渐近线方程为cc4?a2aba2abby??x，可得A、B两点坐标分别为(,)、(,?)，所以
ccccaabADatan?AFD??c2??1，即b?a，
bDFbc答案第2页，总8页
ca2?b22a2??2，即e?(1,2). 则e??aaa考点：双曲线的性质. 12．A. 【解析】
1111时，函数f(x)有最小值为f()?log2()??1，则当x?2222111时，f()???a??1，即a??．
222试题分析：由题意，当x?考点：分段函数. 13．7. 【解析】
试题分析：根据题意在?ABC中，由余弦定理得b2?a2?c2?2a?即b?7. c?cosB?7，考点：余弦定理. 14．
43. 3【解析】
试题分析：根据题意球O的体积为V?4?3?r?43?，即r?3，设?ABC的中心为D，3222333?(??22)2?，所以球
323则球心O到?ABC的距离为OD?r2?AD?面上的点到平面ABC的最大距离为考点：球心到球截面的距离的算法.
15．①②③. 【解析】
343． ?3?33试题分析：“?x?R，使2x?3”的否定是“不存在x?R，使2x?3”，即“?x?R，使
?2?，故①正确；函数f(x)?sin(2x?)的最小正周期是“在2x?3”??，故②正确；
32?ABC中，若sinA?sinB，则A?B”的逆命题为“在?ABC中，若A?B，则sinA?sinB”是真命题，故③正确；对于④，由两直线垂直，可得3m?m?(2m?1)?0，
即m?0或m??1，则④错误．
考点：全称命题、三角函数的性质和直线与直线垂直的充要条件. 16．5. 【解析】
试题分析：变量x,y的线性约束区域如下图中?ABC阴影部分所示，则目标函数z?x?y经
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过B（2,3）点时取得最大值，最大值为2+3=5.
2x+y-7=0 7 x-y+1=0 x+2y-2=0 A O 考点：线性规划. 17．（Ⅰ）【解析】
试题分析：（Ⅰ）在锐角?ABC中，先化简3sinA?cosA?1.即可得角A；（Ⅱ）根据（I）结论，先化简三角函数式，再由锐角三角形ABC分析得函数式的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）由题意：2sin(A?∵〈0A〈2 x C B y ?3；（Ⅱ）(1,). 32?6)?1即sin(A??6)?1， 3分 2?2631（Ⅱ）由（1）知：cosA?
2，∴ -〈A-〈???6∴A??6＝?6即A＝?3. 5分
∴cos2B?2sinB?1?2sin2B?2sinB??2(sinB?)2?∵?ABC为锐角三角形，∴B?C?123. （7分） 22?2??，C??B?， 332????1∴B?，又0?B? ∴?B?，∴?sinB?1， （8分）
62622
3∴1?cos2B?2sinB?. （10分）
2考点：1、三角函数的二倍角公式；2、三角函数运算. 18．（Ⅰ）an?3n?2；（II）Sn?【解析】
2试题分析：（Ⅰ）设公差为d（d?0），由已知得：(a1?3d)?(a1?d)(a1?8d)， d?3a1，
2n(8?1). 73n?2又因为a3?7，所以a1?2d?7，从而得通项公式；（II）由（1）得bn?2，因为
bn?123(n?1)?2?3n?2?8，知数列{bn}为等比数列，可得前n项和Sn. bn22试题解析：（1）设公差为d（d?0）由已知得：(a1?3d)?(a1?d)(a1?8d)， d?3a1，
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又因为a3?7，所以a1?2d?7， 所以a1?1,d?3,?an?3n?2. 6分 （2）由（1）得bn?23n?2bn?123(n?1)?2?3n?2?8， ，因为bn2所以?bn?是以b1?2为首项，以8为公比的等比数列，所以Sn?2n(8?1). 127分
考点：1、等差数列的通项公式；2、等比数列的性质；3、等比数列的前n项和公式. 19．（Ⅰ）m?42,n?0.42,M?100,N?1，图形见解析；（Ⅱ）342人；（Ⅲ）【解析】
试题分析：（Ⅰ）先利用频数及频数所对应的频率求出总数M，易得其他m,n,N的值，再根据表格数据画出频率分布直方图；（Ⅱ）由题意知，全区90分以上学生估计为
1． 542?15（Ⅲ）设考试成绩在?0,30?内的3人分别为A、B、C，考试成绩在?600?342人；
100?30,60?内的3人分别为a、b、c，列出从中任意抽取2人的结果，易得所求结论．
试
题
解
析
：（
I
）
由
频
率
分
布
表
得
M?3?1000.03,
1分
所以m?100?(3?3?37?15)?42， 2分
n?42?0.42， 3分 100N?0.03?0.03?0.37?0.42?0.15?1． 4分
6分
答案第5页，总8页
（Ⅱ）由题意知，全区90分以上学生估计为
42?15?600?342人． 9分 100（III）设考试成绩在?0,30?内的3人分别为A、B、C；考试成绩在?30,60?内的3人分别为a、b、c，
从不超过60分的6人中，任意抽取2人的结果有： (A，B)，(A，C)，(A ，a)，(A，b)，(A，c)， (B，C)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(C，a)，
(C，b)，(C，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)共有15个. 设抽取的2人的分数均不大于30分为事件D．
则事件D含有3个结果： (A，B)，(A，C) ，(B，C)， ∴P(D)?分
考点：1、频率分布直方图；2、概率． 20．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】
试题分析：（Ⅰ）连结AC与BD交于点O， 连结OP，证明OP∥VA,易得VA//平面PBD；（Ⅱ）在面VAD内，过点V作VH⊥AD,可得VH为三棱锥的高，由体积公式易得三棱锥的体积． 试题解析：（Ⅰ）连结AC与BD交于点O， 连结OP，因为ABCD是正方形，所以OA=OC,又因为PV=PC
所以OP∥VA,又因为PO?面PBD,所以VA//平面PBD． 6分
（Ⅱ）在面VAD内，过点V作VH⊥AD,因为平面VAD?底面ABCD．所以VH⊥面ABCD 111323所以VA?VBD?VV?ABD?S?ABD?． 12分 VH???22??2?3322331?． 12155
23． 3vPDOABC
考点：1、面面垂直的性质；2、线面平行的判定定理；3、三棱锥的体积公式．
x2y2??1.；21．（Ⅰ）（Ⅱ）lAB:2x?y?2?0或lAB:2x?y?2?0． 32【解析】
试题分析：（Ⅰ）由题意列关于a、b、c的方程组，解方程得a、b、c的值，既得椭圆的方程；（Ⅱ）分两种情况讨论：当直线AB与x轴垂直时，
AB?43，此时S?AOB?3不符
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合题意故舍掉；当直线AB与x轴不垂直时，设直线 AB的方程为：y?k(x?1)，代入椭圆方程消去y得：(2?3k2)x2?6k2x?(3k2?6)?0，再由韦达定理得
43(k2?1)AB?2?3k2，从而可得直线的方程．
?a?c?3?1???b?2?a2?b2?c2x2y2a?3,c?1??1. 试题解析：（Ⅰ）由题意，?，解得，即：椭圆方程为?324分 （Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，6分
当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y?k(x?1)， 代入消去y得：(2?3k2)x2?6k2x?(3k2?6)?0 ．
AB?43，此时S?AOB?3不符合题意故舍掉；
??6k2x1?x2???2?3k2?2?xx?3k?612设A(x1,y1),B(x2,y2) ，则?2?3k2 8分 ?43(k2?1)AB?所以 2?3k2 ， 11分
由AB?33?k2?2?k??2， 13分 2所以直线lAB:2x?y?2?0或lAB:2x?y?2?0． 14分 考点：1、椭圆的方程；2、直线被圆锥曲线所截弦长的求法；3、韦达定理． 22．（Ⅰ）3；（Ⅱ）(0,1]；（Ⅲ）2条. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先对原函数求导，则f?(1)?0，即得b的值；（Ⅱ）求当f?(x)?0时的xg(x)?f(x)?3?2x?lnxx，设过点（2，5）
的取值范围，就得函数的单调减区间；（Ⅲ）易知与曲线g(x)相切的切点为(x0,y0)，
答案第7页，总8页
所以
y0?5?g?(x0)x0?2，
2x0?lnx0?5?(2?12)(x0?2),?lnx0??2?0x0x0，令
h(?x)2l?xn?2，利用导数求函数h(x)的单调区间及极值，可得h(x)与x轴的交点个xf(x)?2x?b?lnx?x的一个极值点，所f(1)?0,b?3，
数，从而得结论.
试题解析：（I）因为x?1是
经检验，适合题意，所以b?3. 3分
312x2?x?33f?(x)?2?2??0,?0,??x?12(0,??)xxx2（II）定义域为，，
所以函数的单调递减区间为(0,1] 6分
g(x)?f(x)?3?2x?lnxx，设过点（2，5）与曲线g(x)相切的切点为(x0,y0)
（III）
y0?512?g?(x0)2x0?lnx0?5?(2?)(x0?2),?lnx0??2?0x0x0所以x0?2， 9分
令h(x)?lnx?递增，
212所h(x)在(0,2)上单调递减，在(2,??)上单调?2,?h?(x)??2?0,x?2，
xxx12因为h()?2?ln2?0,h(2)?ln2?1?0,h(e2)?2?0，所以h(x)与x轴有两个交点，
2e所以过点
(2,可作
2条直线与曲线
y?g(x)相切.
12分
考点：1、利用导数求函数的极值和单调性；2、导数与基本函数的综合应用.
答案第8页，总8页
