2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的. 1．已知集合A,B,C,A?xx?3x?2?0,
?2?B??x0?x?5,x?N?，则满足条件
D．4
A?B?C的集合C的个数为 ( )
A．1 B．2 C．3 【测量目标】集合的基本运算. 【考查方式】子集的应用. 【参考答案】D
2【试题解析】求A?x|x?3x?2?0,x?R?x|?x?1??x?2??0,x?R
??????1,2?，易知B??x|0?x?5,x?N???1,2,3,4?.因为A?C?B，所以根据子集的定
义，集合C必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合?3,4?的子集个数，即有
22?4个.故选D.
2．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
分组 频数 [10,20) 2 [20,30) 3 [30,40) 4 [40,50) 5 [50,60) 4 [60,70) 2 则样本数据落在区间[10,40)的频率为 ( ) A．0.35 B．0.45 C．0.55
D
．
0.65
【测量目标】频数分布表的应用，频率的计算,对于頻数、频率等统计问题
【考查方式】通过弄清楚样本总数与各区间上样本的个数，用区间上样本的个数除以样本总数就可得到相应区间上的样本频率.
【参考答案】B
【试题解析】由频数分布表可知：样本数据落在区间[10,40)内的頻数为2+3+4=9，样本总数为2?3?4?5?4?2?20，故样本数据落在区间[10,40)内频率为B.
3．函数f(x)?xcos2x在区间上?0,2π?的零点的个数为 ( )
9?0.45.故选20A．2 B．3 C．4 D.5 【测量目标】函数零点求解与判断.
【考查方式】通过函数的零点，要求学会分类讨论的数学思想. 【参考答案】D
【试题解析】由f(x)?xcos2x?0，得x?0或cos2x?0；其中，由cos2x?0，得2x?k??πkππ?k?Z?，故x???k?Z?.又因为x??0,π2?，所以224π3π5π7πx?,,,.所以零点的个数为1?4?5个.故选D.
44444．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 ( ) A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数【测量目标】命题的否定.
【考查方式】求解特称命题或全称命题的否定，千万别忽视了改变量词； 【参考答案】B
【试题解析】根据特称命题的否定，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故
该命题的否定为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”.故选B.
5．过点P(1,1)的直线，将圆形区域分为两部分，使{(x,y)x?y?4)}得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 ( ) A．x?y?0 B. y?1?0 C. x?y?0 D.x?3y?4?0 【测量目标】考查直线、线性规划与圆的综合运,并学会用数形结合思想.
【考查方式】通过观察图形发现当面积之差最大时，所求直线应与直线OP垂直，利用这一条件求出斜率，进而求得该直线的方程.
【参考答案】A
【试题解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP垂直即可.又已知点P(1,1)，则kOP?1,故所求直线的斜率为?1.又所求直线过点P(1,1)，故由点斜式得，所求直线的方程为y?1???x?1?，即x?y?2?0.故选A.
6．已知定义在区间（0,2）上的1?图象为 ( )
222函数的图象y?f(x)如图所示，则y??f(2?x)的π
【测量目标】函数的图象的识别.
【考查方式】利用特殊值法（特殊点），特性法（奇偶性，单调性，最值）结合排除法求解 【参考答案】B
【试题解析】排除法：当x?1时，y??f?2?x???f?1?2???f?1???1，故可排除A,C项；当x?2时，y??f?x?2???f?2?2???f?0??0，故可排除D项；所以由排除法知选B.
7．定义在(??,0)?(0,??)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则{f(an)}称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下
(??,0)?(0,??函数：) ( )
2x①f(x)?x； ②f(x)?2； ③f(x)?x； ④f(x)?lnx.
则其中是“保等比数列函数”的的f(x)序号为 A．① ②
B．③ ④ C．① ③
D
．
②
④
【测量目标】等比数列的新应用，函数的概念.
【考查方式】读懂题意，然后再去利用定义求解，注意数列的通项. 【参考答案】C
2f(an?1)an?1【试题解析】设数列?an?的公比为q.对于①，?2?q2,是常数，故①符合
f(an)anf(an?1)2an?1条件;对于②，?an?2an?1?an，不是常数，故②不符合条件;对于③，
f(an)2|an?1|f(an?1)?
f(an)|an|?f(an?1)ln|an?1|an?1，不是常数，故④不??q，是常数，故③符合条件;对于④,
f(an)ln|an|an符合条件.由“保等比数列函数”的定义知应选C
8．设△ABC的内A,B,C所对的边分别为a,b,c. 若三边的长为连续的三个正整数，且
A?B?C ，3b?20acosA，则sinA:sinB:sinC为 ( )
A.4:3:2 B.5:6:7 C．5:4:3 D.6:5:4
【测量目标】正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.
【考查方式】本题需求解三个角的正弦的比值，明显是要利用正弦定理转化为边长的比值，因此必须求出三边长,注意正余弦定理与和差角公式的结合应用.
【参考答案】D
【试题解析】因为a,b,c为连续的三个正整数，且A?B?C，可得a?b?c，所以
a?c?2,b?c?1①；又因为已知3b?20acosA，所以cosA?3b②.由余弦定理可得20a222b2?c2?a23bb?c?a?cosA?③，则由②③可得④，联立①④，得20a2bc2bc7c2?13c?60?0，解得c?4或c??15（舍去），则a?6，b?5.故由正弦定理可得，7sinA:sinB:sinC?a:b:c?6:5:4.故应选D.
9．设a,b,c?R,“abc?1”是“111???a?b?c ”的 ( ) abcB．必要条件但不是充分条件
A．充分条件但不是必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要的条件 【测量目标】充要条件的判断，不等式的证明.
【考查方式】首先需判断条件能否推得结论，然后需判断结论能否推得条件. 【参考答案】A
【试题解析】abc?1时，
111abcabcabc??????ab?bc?ca， abcabc而2?a?b?c???a?b???b?c???c?a?…2ab?2bc?2ca（当且仅当a?b?c，且abc?1，即a?b?c时等号成立），故111???ab?bc?ca?a?b?c；abc但当取a?b?c?2,显然有
111???a?b?c,但abc?1,即由abc111???a?b?c不可以推得abc?1；综上，abc?1是abc111???a?b?c的充分不必要条件,应选A. abc10．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB
内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 ( )
111? B．2ππ 22C． 1? D．
ππA．
【测量目标】古典概型的应用以及观察推理的能力.
【考查方式】求解阴影部分的面积，将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解. 【参考答案】C
【试题解析】如下图所示，设OA的中点为O1，OB的中点为O2，半圆O1与半圆O2的交点分别为O,F，则四边形OO1FO2是正方形.不妨设扇形的半径为2，记两块白色区域的面积分别为S1,S2，两块阴影部分的面积分别为S3,S4.
1π?22?π, ① 4111122而S1?S3???1?π,S2?S3?π?1?π，即S1?S2?2S3?π, ②
2222则S1?S2?S3?S4?S扇形OAB?由①-②，得S3?S4.
又由图象观察可知，S4?S扇形OAB?S扇形OFB?S扇形OAF?S正方形OOFO
12211111?π?12?π?12?π?12?12?π?12?12?π?1.
4422故由几何概型概率公式可得，此点取自阴影部分的概率：
P?S3?S42S4π?22???1?.故选C.
S扇形OABS扇形OABππ
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分. 请将答案填在答题卡对应题号的位
置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
11．一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人. 现用分层抽样的方法抽取若干人，
若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有 人． 【测量目标】分层抽样的应用.
【考查方式】分层抽样在生活中的应用.分层抽样时，各样本抽取的比例应该是一样的，即为抽样比.
【参考答案】6
【试题解析】 设抽取的女运动员的人数为a，则根据分层抽样的特性，有得a?6.故抽取的女运动员为6人. 12．若b2k?1a8?，解42563?bi?a?bi（a，b为实数，i为虚数单位），则a?b? . 1?i【测量目标】复数代数形式的四则运算.
【考察方式】通过考查复数相等来判断学生对复数的掌握.
【参考答案】3 【试题解析】因为
3?bi?a?bi，所以3?bi??a?bi??1?i??a?b??b?a?i.又因为a,b都1?i?a?b?3?a?0,,所以a?b?3. 为实数，故由复数的相等的充要条件得?解得??b?a?b?b?313已知向量a?(1,0)，b?(1,1)，则
（Ⅰ）与2a?b同向的单位向量的坐标表示为 ；
（Ⅱ）向量与b?3a向量a夹角的余弦值为 .
【测量目标】单位向量的概念，平面向量的坐标运算，向量的数量积运算等. 【考查方式】给出两个向量，利用向量的坐标和向量的数量积来运算求值.
?31010?25,【参考答案】（Ⅰ）?；（Ⅱ） ???10?105??【试题解析】（Ⅰ）由a=?1,0?,b=?1,1?，得2a?b=?3,1?.设与2a?b同向的单位向量
?310x?,22??x?y?1,?10故c=?310,10?.即与
为c=?x,y?，则?且x,y?0，解得????10?103y?x?0,????y?10.?10??31010?2a?b同向的单位向量的坐标为??10,10??.
??（Ⅱ）由a=?1,0?,b=?1,1?，得b?3a=??2,1?.设向量b?3a与向量a的夹角为?，则
cos???b?3a??a???2,1???1,0???2b?3aa5?155. ?x?y…?1?14．若变量x,y满足约束条件?x?y…1,则目标函数z?2x?3y的最小值是 .
?3x?y?3?【测量目标】二元线性规划求目标函数最小值.
【考查方式】给出约束条件，判断可行域，利用可行域求解. 【参考答案】2
?x?y…?1?【试题解析】作出不等式组?x?y…1所表示的可行域(如下图的△ABM及其内部）,目
?3x?y?3?标函数z?2x?3y在△ABM的三个端点A?2,3?,B?0,1?,M?1,0?处取的值分别为13,3,2，比较可得目标函数z?2x?3y的最小值为2.
15．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .
【测量目标】考查圆柱的三视图的识别，圆柱的体积. 【考查方式】在生活中要多多观察身边的实物都是由什么几何形体构成的，以及它们的三视图的画法.
【参考答案】12π
【试题解析】由三视图可知，该几何体是由左右两个相同的圆柱（底面圆半径为2，高为1）与中间一个圆柱（底面圆半径为1，高为4）组合而成，故该几何体的体积是
V?π?22?1?2?π?12?4?12π.
16．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s? .
【测量目标】顺序结构框图和判断结构框图的执行求解.
【考查方式】对于循环结构的输出问题，一步一步按规律写程序结果. 【参考答案】9
【试题解析】由程序框图可知：
第一次:a?1,s?0,n?1,s?s?a?1,a?a?2?3,满足判断条件n?3?; 第二次n?2,a?4,a?5,满足判断条件n?3?
第三次:n?3,s?9,a?7,此时不满足判断条件n?3?，故终止运行，输出s的值.
综上，输出的s值为9.
17．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数. 他们研究
过如图所示的三角形数：
···
1
3
6
第17题图
将三角形数1，3，6，10，?记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}. 可以推测： （Ⅰ）b2012是数列{an}中的第________项； （Ⅱ）b2k?1________.（用k表示）
【测量目标】数学归纳法.
【考查方式】本题考查归纳推理，猜想的能力.
10
5k?5k?1? 2n(n?1)【试题解析】易知an?，写出数列?an?的若干项依次为：
2【参考答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）
1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,136,153,171,190,210，?,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120,190,210，故b1?10?a4,b2?15?a5. 同理，b3?a9,b4?a10,b5?a14,b6?a15,b7?a19,b8?a20.
从而由上述规律可猜想：
b2k?a5k?5k?5k?1?2，
b2k?1?a5k?1??5k?1??5k?1?1??5k?5k?1?（k为正整数）.
22故b2012?b2?1006?a5?1006?a5030,即b2012是数列?an?中的第5030项.
三、解答题：本大题共5小题，共65分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）
设函数f(x)?sin2?x?23sin?x?cosx?cos2?x??(x?R),的图象关于直线
1x?π对称，其中?,π为常数，且??(,1)
2（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；
（Ⅱ）若y?f(x)的图象经过点(,0)，求函数f(x)的值域. 【测量目标】三角函数的图象的周期性，值域，诱导公式的应用. 【考查方式】给出函数，利用三角函数的性质求最小值和周期.
【试题解析】解：（Ⅰ）因为f(x)?sin2?x?cos2?x?23sin?xcos?x??
π4π=2sin(2?x?)+?.
6由直线x?π是y?f(x)图象的一条对称轴，可得sin(2?x?)??1， 所以2?π?π6ππk1?kπ?(k?Z)，即???(k?Z)． 622315又??(,1)，k?Z，所以k?1，故??.
26所以f(x)的最小正周期是
6π. 5ππ（Ⅱ）由y?f(x)的图象过点(,0)，得f()?0，
445πππ即???2sin(??)??2sin??2，即???2.
62645π故f(x)?2sin(x?)?2，函数f(x)的值域为[?2?2,2?2].
36
19．（本小题满分12分）
某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的
等腰梯形的四棱台A1BC11D1?ABCDB1D1?，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱.ABCD?A2B2C2D2
（Ⅰ）证明：直线B1D1?平面ACC2A2；
（Ⅱ）现需要对该零部件表面进行防腐处理. 已知AB?10，
D C 平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？ A B 【测量目标】线面垂直，空间几何体的表面积；考查空间想象，
D1 C1 运算求解以及转化与划归的能力.
【考查方式】通过线线垂直证明面面垂直，并用公式求体积 A1 B1
第19题图 【试题解析】解：（Ⅰ）因为四棱柱ABCD?A2B2C2D2的侧面
是全等的矩形，
所以AA2?AB，AA2?AD. 又因为AB?AD?A，所以AA2平面ABCD. 连接BD，因为BD?平面ABCD，所以AA2?BD.
A2
D2 C2 B2
A2B2?20, AA2?30，AA1?13（单位：厘米），每
因为底面ABCD是正方形，所以AC?BD 根据棱台的定义可知，BD与B1 D1共面.
又已知平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D?平面ABCD?BD， 平面BB1D1D?平面A1B1C1D1?B1D1，所以B1 D1∥BD. 于是
由AA2?BD，AC?BD，B1 D1∥BD，可得AA2?B1D1，.AC?B1D1 又因为AA2?AC?A，所以B1D1?平面ACC2A2.
（Ⅱ）因为四棱柱ABCD?A2B2C2D2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以
S1?S四棱柱上底面?S四棱柱侧面?(A2B2)2?4AB?AA2?102?4?10?30?1300(cm2). 又因为四棱台A1B1C1D1?ABCD的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，
1所以S2?S四棱台下底面?S四棱台侧面?(A1B1)2?4?(AB?A1B1)h等腰梯形的高
211?202?4?(10?20)132?[(20?10)]2?1120(cm2).
22于是该实心零部件的表面积为S?S1?S2?1300?1120?2420(cm2)， 故所需加工处理费为0.2S?0.2?2420?484（元）.
20．（本小题满分13分）
已知等差数列{an}前三项的和为?3，前三项的积为8. （Ⅰ）求等差数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{an}的前n项和. 【测量目标】本题考查等差数列的通项，求和等.
【考查方式】考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式an?a1??n?1?d求解；有时需要利用等差数列的定义：an?an?1?c（c为常数）或等比数列的定义：
an?c'（c'为常数，c'?0）来判断该数列是等差数列或等an?1比数列，然后再求解通项；有些数列本身不是等差数列或等比数列，但它含有无数项却是等差数列或等比数列，这时求通项或求和都需要分段讨论.
【试题解析】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则a2?a1?d，a3?a1?2d，
?3a1?3d??3,?a?2,?a??4,由题意得? 解得?1或?1
a(a?d)(a?2d)?8.d??3,d?3.???111所以由等差数列通项公式可得
an?2?3(n?1)??3n?5，或an??4?3(n?1)?3n?7.
故an??3n?5，或an?3n?7. （Ⅱ）当an??3n?5时，a2，a3，a1分别为?1，?4，2，不成等比数列；
当an?3n?7时，a2，a3，a1分别为?1，2，?4，成等比数列，满足条件. ??3n?7,n?1,2,故|an|?|3n?7|??
3n?7,n?3.?记数列{|an|}的前n项和为Sn.
当n?1时，S1?|a1|?4；当n?2时，S2?|a1|?|a2|?5； 当n?3时，
Sn?S2?|a3|?|a4|???|an|?5?(3?3?7)?(3?4?7)???(3n?7)
?5?(n?2)[2?(3n?7)]3211?n?n?10. 当n?2时，满足此式.
222n?1,?4,?综上，Sn??3211
n?n?10,n?1.??22.21．（本小题满分14分）
l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x 设A是单位圆x2?y2?1上的任意一点，
轴的交点，点M在直线l上，且满足DM?mDA(M>0,且M?1). 当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；
（Ⅱ）过原点斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，且它在y轴
上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H. 是否存在m，使得对任意的，
K>0都有PQ?PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.
【测量目标】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.
【考查方式】考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论.
(,)【试题解析】解：（Ⅰ）如图1，设Mxy，A(x0,y0)，则由DM?mDA(m>0,且m?1)，
可得x?x0，y?my0，所以x?x0，. y0?21y ① my2因为A点在单位圆上运动，所以x?2?1(m?0,且m?1) ②
my2将①式代入②式即得所求曲线C的方程为.x?2?1(m?0,且m?1)
m因为m?(0,1)?(1,??)，所以
2当0?m?1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(?1?m2,0)，(1?m2,0)； 当m?1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0,?m2?1)，(0,m2?1).
（Ⅱ）?x1?(0,1)，设P(x1,y1)，H(x2,y2)，则Q(?x1,?y1)， N(0,y1)，
2222??mx1?y1?m,因为P，H两点在椭圆C上，所以?22 两式相减可得 22??mx2?y2?m,m2(x12?x22)?(y12?y22)?0. ③
依题意，由点P在第一象限可知，点H也在第一象限，且P，H不重合， 故(x1?x2)(x1?x2)?0. 于是由③式可得
(y1?y2)(y1?y2)??m2. ④
(x1?x2)(x1?x2)又Q，N，H三点共线，所以kQN?kQH，即于是由④式可得kPQ?kPH2y1y1?y2?. x1x1?x2y1y1?y21(y1?y2)(y1?y2)m2??????. x1x1?x22(x1?x2)(x1?x2)2m2而PQ?PH等价于kPQ?kPH??1，即???1，又m?0，得m?2，
2y22故存在m?2，使得在其对应的椭圆x??1上，对任意的k?0，都有
2PQ?PH.
22．（本小题满分14分）
设函数f(x)?axn(1?x)?b,x+y?1，f(x)?1，n为正整数，a，b为常数. 曲线ney?f(x)在(1,f(1))处的切线方程为.x+y?1
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f(x)的最大值； （Ⅲ）证明：f(x)?1. ne【测量目标】函数导数的几何意义以及单调性的应用，还考查不等式的证明.
【考查方式】通过转化与划归，分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程，导数的应用一般用来求解函数的极值，最值，证明不等式等.
【试题解析】解：（Ⅰ）因为f(1)?b，由点(1,b)在x?y=1上，可得1?b?1，即b?0.
因为f'(x)?anxn?1?a(n?1)xn，所以f'(1)??a.
又因为切线x?y?1的斜率为?1，所以?a??1，即a?1. 故a?1，b?0. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)?xn(1?x)?xn?xn?1，f?(x)?(n?1)x令f?(x)?0，解得x?在(0,?而在(n?1(n?x). n?1nn)(0,??)上有唯一零点. ，即f'(x)在(0,?n?1n+1n)上，f?(x)?0，故f(x)单调递增； n+1n，+?)上，f?(x)?0，f(x)单调递减. n+1nnn故f(x)在(0,??)上的最大值为f(. )?n?1n?1(n?1)（Ⅲ）令??(t)?lnt?1?(t?0)，则??(t)??1t11t?1?2(t?0). 2ttt在(0,1)上，??(t)?0，故?(t)单调递减； 而在(1,??)上??(t)?0，?(t)单调递增.
故?(t)在(0,??)上的最小值为?(1)?0. 所以?(t)?0(t?1)，
即lnt?1?(t?1).
1t令t?1+1n?1n?1n?11)?lne， ，得ln，即ln(?nnnn?1n?1n?1nn1)?1，即所以(. ?n?1n(n?1)ne由（Ⅱ）知，x?
n，故所证不等式成立.
n?1
