练习题 一、填空
y2?z?z??(xy)，其中有?连续导数，求x21、设z??xy= . 3x?x?y 答案：?y2
?3x2?2y2?122、求由曲线?绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0,3,2)处的指向外侧
z?0?的单位法向量是 。 答案：
1(0,2,3) 53.已知级数
?un?1?n的前n项部分和Sn?3n,?n?1,2,??,则此级数的通项un= . n?1答案：un?3
n?n?1?x2y24、L:沿椭圆2?2?1逆时针方向绕一周，计算?(3x?2y)dx?(x?4y)dy= 。
abL 答案： ?3?ab
?ex,0?x??5、 设f(x)是以2?为周期的周期函数，它在区间[??,?]上定义为f(x)??，
?0,???x?0e?则f(x)的付里叶级数在x??收敛于_______________
26、设r?x2?y2?z2，则计算grad1= r?11??答案：grad??3(xi?yj?zk)
rr5x27. 微分方程2y???y??15y?0的通解是y?C1e二、选择 1、曲面z?(A) 2、 ??3x?C2e
x2?y2包含在圆柱x2?y2?2x内部的那部分面积S=( B )
3? (B) 2? (C) 5? (D) 22?
?x?y?z?0dx 则=（ B ） 222dz?x?y?z?1(A )
x?z1?2x?4zx?yy?z； (B ); (C ); (D)
4x?2zx?zy?zx?y3、设f(x,y)连续，
(A) (C)
1?dx?01x20f(x,y)??dx?122?x0f(x,y)dy =（ D ）
?20dy?2f(x,y)dx (B)
y2?y?10dy?y2?y2?yyf(x,y)dx f(x,y)dx
?dy?0y0f(x,y)dx??dy?122?y0f(x,y)dx (D)
?dy?014、设z??(x?y)??(x?y)，则必有（ B ）
a) zxx?zyy?0; b) zxx?zyy?0 ; c) zxy?0; d) zxx?zxy?0 5、若L是以O(0,0)，A(1,0)和B(0,1)三点为顶点的三角形的边界，则于(C)
（A）1?2（B）
?(x?y)ds的值等
L1?2（C）1?2（D）2 2?z?2z三.1、设z?yf(x?y,x?y)，f具有二阶连续偏导数，求及
?y?y?x答案：
?z?f?y?f1?f2? ?y?2z?f1?f2?y?f11?f12?f21?f22??f1?f2?y?f11?f22? ?y?x2. 求球面x2?y2?z2?3x?0与平面2x?3y?5z?4?0的交线在点（1，1，1）处的切线及法平面的方程。
dydz?2x?2y?2z?3?0?x?y?z?3x?0?dxdx答案: 将方程组?两边对x求导：?
dydz2x?3y?5z?4?0??2?3?5?0dxdx?222解得：
dy7.5?5x?2zdz4.5?3x?2y?,? dx5y?3zdx5y?3z??dydz?1?1?9切向量为T??1,,?(1,1,1)??1,,????16,9,?1?,
dxdx161616????所以所求切线方程为
x?1y?1z?1??, 169?1法平面方程为16(x?1)?9(y?1)?(z?1)?0即16x?9y?z?24?0
1?22(x?y)sin,?22求f(x,y)??x?y?0,?的连续性。
x2?y2?0x2?y2?0的偏导数，并讨论在点(0,0)处偏导数
答案：不连续
求曲面z?ez?2xy?3在点(1,2,0)处的切平面与法线方程。
答案：2x?y?4，
x?1y?2z?0?? 210?3x2?2y2?12求由曲线?绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0,3,2)处的指向外侧的
z?0?单位法向量。
答案：
1(0,2,3) 5已知曲面方程为xyz?1(x?0,y?0,z?0)在曲面上求一点，使其到原点的距离最短并求出最短距离。 答案：（1,1,1）最短距离：3 8.3．设z?f(2x?y)?g(x,xy)，其中f(t)二阶可导，g(u,v)具有二阶连续偏导，求??yg2?,zxy??2f??(2x?y)?xg12???xyg22???g2?。 解：zx?2f?(2x?y)?g1?2z。?x?y8.6．设n是曲面x2?2y2?z2?4在点M(1,1,1)处的外法线向量，求函数u?xy2z3在点M沿方向n的方向导数，并求方向导数的最大值。
???1?u?u?u?u18解:n?{2x,4y,2z}M?{2,4,2},n0?, {1,2,1},?{,,}M?n0?{1,2,3}?{1,2,1}??n?x?y?z666方向导数的最大值为:graduM?14. z?z8.14． 设x2?z2?y?(),求.
y?yzzzzz解 F(x,y,z)?x2?z2?y?(),Fy???()???(),Fz?2z???()，
yyyyyFy?z????yFz???()???()
zzxy z2z???()xzy
设L为正向圆周x2?y2?2在第一象限中的部分，计算曲线积分
?Lxdy?2ydx
3? 2 答案：
设S:x2?y2?z2?4，计算
设?:z???S(x2?y2)dS。 答案：
128? 3x2?y2(0?z?1)的下侧，求
??xdydz?2ydxdz?3(z?1)dxdy
?答案：2?
验证(3x2y?8xy2)dx?(x3?8x2y?12yey)dy是某个函数u(x,y)的全微分，并求
u(x,y)。 答案：u(x,y)?x3y?4x2y2?12(yey?ey?1)
1八. (8分)判别级数?nn?13答案：解：un???2???1?nn?的敛散性。
2?13n13n?2???1??n?n??n?n?2?1???? ?3?n因0??2?1?2?1?1，故???收敛 故原级数收敛。
3?3n?1?6、求幂级数
?3n?1?xn1的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性. nn?(?2)n?2n??1?()?n?3n?(?2)nn13???lim?解：limn?1，所以收敛半径为3，收敛区
n??3?2n?1??(?2)n?1(n?1)n???33?1?()?(n?1)3??????间为（-3，3）；
?13n11当x?3时，由于n，且发散，所以原级数在此处发散； ??n3?(?2)n2nn?1n?(?3)n12n1n1n1当x??3时，由于n，且与(?1)?(?1)??n3?(?2)nnn3n?(?2)nnn?12n1都收敛，所以原级数在x??3处收敛. ?nnn?13?(?2)n?
?xy22,x?y?0?221、证明z?f(x,y)??x?y在点(0,0)连续、偏导数存在，但不可微。
?0,x?y?0?七、（10分）设曲面?:x2?y2?z2,0?z?h . cos?,cos?,cos?是?的外法线方向余弦，求I???(x?2cos??y2cos??z2cos?)ds
八、（5分）设正向数列{an}单调减少，且七、解： 加辅助平面?1：z=h 取上侧 利用高斯公式 I??(?1)an发散，证明级数?(nn?1????n?11n)收敛 an?1???2(x?y?z)dv???z??12dxdy
?2 =24 (x?y)dv?2zdv??h????????2?hh1d??rdr?zdz??h4=??h4
0r2?0八、 证：由{an}单调递减有下界（非负），故极限存在 liman?a
n?? 则有an?a?0 （a?0 否则与
??(?1)n?1?nan发散矛盾）
?1n1n ?()??()
n?11?an?11?an
1?1 由等比级数收敛，由比较判别法原级数收敛 1?a3确定常数m,使区域 3
??mcos(x?y)dxdy?2，其中D是由直线y?x,y?2x,x?D?2所围成的
2x22dx m=-3 cos(x?y)dxdy?cos(x?y)dy??????0x3D?1222，其中r?x?y?z r?11??grad??3(xi?yj?zk)
rr?n五．（11分）求幂级数?xn在其收敛域x?1内的和函数s?x?。
n?1n?12计算grad
1?1??ln?1?x?,x???1,1?,x?0,故s?x???1?xx
?0,x?0?求
???xy?z?ds，其中?为半球面z?2?8?x2?y2位于圆柱面x2?y2?4内的部分。
128?22?1 3计算
????z?2cos?ds,其中?是上半平面：x2?y2?z2?1,z?0；?是球面?的法线与z
轴正向夹成的锐角。2??
.
?11????? 24?2????x展开成 ?x??的幂级数。 将函数y?cos4??3. 计算三重积分
2222?z?2?x?y,其中为曲面及z?x?y所围成的闭区域. zdv????解：联立?的两曲面方程，得交线：x2?y2?1，(z?1)；
投影柱面：x2?y2?1；?在xoy面的投影域为：Dxy:x?y?1(z?0)， 用柱面坐标：?：0?r?1,0???2?,r2?z?222?r2,
2?r2???zdv????z?rdrd?dz?????2?0d??dr?20r1r?zdz
?2???rdr?01117?2?r2?r4????2r?r3?r5dr?
0212????7.求微分方程 yy???y??yy?的通解。
22dPdP,则原方程化为 yP?P2?y2P,dydydP1dy即 P?0,或?P?y,即得 y?C, 或 P??y(y?C1),dyydx
dy11从后一等式得 ?dx, 即 (?)dy?C1dx,y(y?C1)yy?C1解: 令y??P , y???PC2yC1eC1x得通解 ln?C1x, 即 y?(包含y?C)y?C1C2?eC1x求级数
?n?2???1?n?ln??1??(n?1)?????n??nn?1lnn?ln(n?1) 的和。
1??ln?(1?)n(n?1)?n?于是有 记un??n,lnnln(1?n)1?n un? sn?11?，所以， nlnn(n?1)lnn(?1)111?，故s?limsn?
n??2ln2(n?1)lnn(?1)2ln2十. (8分)设x?0，求微分方程2ydx?y2?6xdy?0通解. 答案：原方程化为
??dx3y?x?? 这是一阶线性方程 dyy23dy??3lny， y?p(y)dy????Q(y)e?p(y)dydy???y11?3dy?2y2y
y2?Cy3 所以通解为x?2十一. (10分)求二元函数f(x,y)?3xy?xy?xy的极值. 答案： 联立fx(x,y)?3y?2xy?y2?y(3?2x?y)?0
及fy(x,y)?3x?x?2xy?x(3?x?2y)?0
得到驻点: ?222?x?0?x?3?x?0?x?1 ,?,?,?y?0y?0y?3y?1????在(x,y)点: fxx(x,y)??2y，fxy(x,y)?3?2x?2y，fyy(x,y)??2x 在(0,0)点: 因为AC?B??9?0，所以(0,0)不是极值点， 在(3,0)点: 因为AC?B??9?0，所以(3,0)不是极值点， 在(0,3)点: 因为AC?B??9?0，所以(0,3)不是极值点， 在(1,1)点: 因为AC?B?3?0， 所以(1,1)是极值点，
2222又fxx(1,1)??2?0，所以f?1,1??1是极大值. 解答全部结束
六．（8分）求微分方程
y???y??sin2x?0满足初始条件yx???1,特解。
解：对应齐次微分方程的特征方程为：
r2?r?0
故特征根 r1?0，r2??1从而齐次微分方程的通解为： y?c1?c2e?x 因
2i 不是特征根，故可令非齐次方程特解为：
y*?Acos2x?Bsin2x
代入方程解得 A?110，B?1
5
于是原方程通解为： y?c?x111?c2e?10cos2x?5sin2x 代入初始条件得c3?32??5e，c1?2
所以满足初始条件的特解为：y?33??x12?5ee?10cos2x?15sin2x。
?x???1的
（2分）
（2分）
（2分）
（2分） y
