高中数学教案 第九章直线平面简单几何体(B)（第16课时） 王新敞
课 题：9 5
空间向量及其运算(五)
教学目的：
1．巩固空间向量数量积的概念；
2．熟练应用空间向量数量积解决立体几何中的一些简单问题 教学重点：应用空间向量数量积解决问题 教学难点：应用空间向量数量积解决问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：
一、复习引入：
1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下
OB?OA?AB?a?b;BA?OA?OB?a?b;OP??a(??R)
????运算律：⑴加法交换律：a?b?b?a
??????⑵加法结合律：(a?b)?c?a?(b?c) ????⑶数乘分配律：?(a?b)??a??b
aD'A'B'C'DCB3．平行六面体：
?A平行四边形ABCD平移向量a到A?B?C?D?的轨迹所形
成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD－A?B?C?D?它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱 4. 平面向量共线定理
方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．
????向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λa.
?要注意其中对向量a的非零要求．
5 共线向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫
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????做共线向量或平行向量．a平行于b记作a//b．
??????当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的
直线可能是同一直线，也可能是平行直线．
??????6． 共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是
??存在实数λ，使a＝λb.
推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式
???OP?OA?ta．其中向量a叫做直线l的方向向量.
空间直线的向量参数表示式：
?OP?OA?ta或OP?OA?t(OB?OA)?(1?t)OA?tOB，
1OP?(OA?OB) 中点公式．
27．向量与平面平行：已知平面?和向量a，作OA?a，如果直线OA平行于?或在?内，那么我们说向量a平行于平面?，记作：a//?．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的 8．共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的充要条件是存在实数x,y使p?xa?yb 推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y，
使MP?xMA?yMB ①或对空间任一点O，有OP?OMxM?AyMB?或OP?xOA?yOB?zOM,(x?y?z?1) ③ 上面①式叫做平面MAB的向量表达式 ②
9 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，
存在一个唯一的有序实数组x,y,z，使p?xa?yb?zc 若三向量a,b,c不共面，我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个
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有序实数x,y,z，使OP?xOA?yOB?zOC 10 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作
OA?a,OB?b，则?AOB叫做向量a与b的夹角，记作?a,b?；且规定0??a,b???，显然有?a,b???b,a?；若?a,b??垂直，记作：a?b.
11．向量的模：设OA?a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|.
12．向量的数量积：已知向量a,b，则|a|?|b|?cos?a,b?叫做a,b的数量积，记作a?b，即a?b?|a|?|b|?cos?a,b?．
已知向量AB?a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A?，作点B在l上的射影B?，则A?B?叫做向量AB在轴l上或在e上的正射影. 可以证明A?B?的长度|A?B?|?|AB|cos?a,e??|a?e|． 13．空间向量数量积的性质：
（1）a?e?|a|cos?a,e?．（2）a?b?a?b?0．（3）|a|2?a?a． 14．空间向量数量积运算律：
（1）(?a)?b??(a?b)?a?(?b)．（2）a?b?b?a（交换律）． （3）a?(b?c)?a?b?a?c（分配律） ?2，则称a与b互相
二、讲解范例：
例1 已知线段AB,BD在平面?内，BD?AB，线段AC??，若
AB?a,BD?b,AC?c，求C,D间的距离 新疆奎屯市第一高级中学 第 3页（共8页）
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解：（方法一）连结AD，
∵AC??,AD??，∴AC?AD， 在?ABD中∵BD?AB， ∴AD?AB?BD?a?b， 在?ACD中∵AC?AD， 所以，CD?22222CcAC?AD?a?b?c．
?22222AaBDb（方法二）：|CD|2?(CA?AB?BD)2
?|CA|2?|AB|2?|BD|2?2CA?AB?2CA?BD?2AB?BD
又∵AC??,AB??,BD??，∴AC?BD,AC?AB， 又∵AB?BD，∴BD?AB，
∴CA?AB?0,AB?BD?0,CA?BD?0，
∴|CD|2??|CA|2?|AB|2?|BD|2?a2?b2?c2， 所以 |CD|?a2?b2?c2．
A'D'B'C'例2．已知平行六面体ABCD?A?B?C?D?中，
AB?4,AD?3,AA??5,?BAD?90，
?BAA???DAA??60，求AC?的长 DCB解：|AC?|2?(AB?AD?AA?)2
A?|AB|2?|AD|2?|AA?|2?2AB?AD?2AB?AA??2AD?AA? ?42?32?52?2?4?3?cos90?2?4?5?cos60?2?3?5?cos60?16?9?25?0?20?15?85
所以，|AC?|?85．
例3．已知S是边长为1的正三角形所在平面外一点，且SA?SB?SC?1，
M,N分别是AB，SC的中点，求异面直线SM与BN所成角的余弦值 新疆奎屯市第一高级中学 第 4页（共8页）
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分析：要求异面直线SM与BN所成角的余弦值，只要求SM与BN所成的角的余弦值，因此就要求SM?BN以及|SM|?|BN|，然后再用向量夹角公式求解 解：设SA?a，SB?b，SC?c，∴a?b?b?c?a?c?∵SM?BN?1， 2111(SA?SB)?(SN?SB)?(a?b)?(c?b) 2222111 ?(a?c?a?b?b?c?b)
2221111111?(?????1)?? 22222221A?SM?BN2??2， ∴cos?SM,BN???M3|SM|?|BN|33?222所以，异面直线SM与BN所成角的余弦值为．
3SNCB点评：设出空间的一个基底后，求数量积SM?BN的时候目标就更加明确了，只要将SM与BN都化为用基向量表示就可以了本题中SM与BN的夹角是
异面直线SM与BN所成角的补角 例4．如图
AB?BC?4，E为AC长方体ABCD?A1B1C1D1中，11与B1D1的交点， F为BC1与B1C的交点，又AF?BE，求长方体的高BB1．
分析：本题的关键是如何利用AF?BE这个条件，在这里可利用
AF?BE?AF?BE?0 将其转化为向量数量积问题 D1解法一：∵AF?BE，
A1EB1FC1∴AF?BE?(AB?BF)?(BB1?B1E)
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11?[AB?(BC?BB1)]?[BB1?(BC?AB)]?0
221∴(2AB?BC?BB1)?(2BB1?BC?AB)?0 4∴?2|AB|2?|BC|2?2|BB1|2?0，∴|BB1|2?8， 所求高BB1?22． 解法二：
设AB?a,AD?b,AA1?c，
则a?b?b?c?c?a?0，|a|2?a2?16,|b|2?b2?16
1(b?a) 21 AF?AB?BF?a?(c?b)
2则 BE?BB1?B1E＝c?∵AF?BE ∴BE?AF＝0
A1D1EB1FC111(b?a)]?[a?(c?b)]＝0 22121212∴c?b?a?0 242 即[c?∴|c|?c?8，即所求高BB1?22．
22DCBA点评：本题从表面上看是求线段长度，但实际上却是充要条件：
AF?BE?AF?BE?0的应用问题 三、课堂练习： 1设a?b，?a,c???3,?b,c???6，且|a|?1,b|?|2,c|?|，求向量
a?b?c的模 2．已知|a|?2,|b|?5，?a,b??取何值时p与q垂直 2?，p?3a?b，q??a?17b，问实数?33．若a?b?c?0，且|a|?3,|b|?2,|c|?1，求a?b?b?c?c?a的值 新疆奎屯市第一高级中学 第 6页（共8页）
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4．在棱长为1的正方体ABCD?A?B?C?D?中，E,F分别是D?D,DB中点，
1CD，H为C?G的中点， 4（1）求证：EF?B?C； G在棱CD上，CG?（2）求EF,C?G所成角的余弦； （3）求FH的长 解：设AB?a,AD?b,AA'?c，
则a?b?b?c?c?a?0，|a|2?a2?1,|b|2?b2?1,|c|2?c2?1 （
1
）
∵
D'A'B'HC'111EF?ED?DF??c?(a?b)?(a?b?c)，
222 B'C?BC?BB'?b?c
E1∴EF?B'C?(a?b?c)?(b?c)
2D1212?(c?b)?(1?1)?0
A22F ∴EF?B?C 111（2）∵EF?ED?DF??c?(a?b)?(a?b?c)，
2221 C'G?C'C?CG??c?a，
41111232∴EF?C'G?(a?b?c)?(?c?a)?(?a?c)?
2424811232222 |EF|?(a?b?c)?(a?b?c)?
44412121722a? |C'G|?(?c?a)?c?41616GBC∴|EF|?317，|C'G|?， 24cos?EF,C'G??EF?C'G51, ?|EF||C'G|17新疆奎屯市第一高级中学 第 7页（共8页）
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所以EF,C?G所成角的余弦为51 17（3）∵FH?FB?BC?CC'?C'H
11(a?b)?b?c?C'G 22111 ?(a?b)?b?c?(?c?a)
224311 ?a?b?cc
8223112921212412a?b?c?∴|FH|?(a?b?c)?
822644464 ?∴FH的长为
41 8四、小结 ：利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题 五、课后作业： 六、板书设计（略） 七、课后记：
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