角的概念的推广、弧度制
一. 教学内容
角的概念的推广、弧度制
二. 教学重难点
1. 重点：终边相同的角的集合的表示形式；轴线角和象限角的集合的表示形式；度数与弧度数的换算。
2. 难点：对弧度和弧度制的理解。
【典型例题】
[例1]
（1）写出与?1840?终边相同的角的集合M；
（2）把?1840?的角写成k?360???（0????360?）的形式； （3）若角??M，且??[?360?,360?]求?； 解： （1）M?????k?360??1840?,k?Z?
（2）?1840???6?360??320? （3）∵ ??M且?360????360?
∴ ?360??k?360??1840??360? ∴ 1480??k?360??2200?
3755?k?9 又 ∵ k?Z ∴ k?5,6 ∴ 9∴ ???40?或??320?
[例2] 写出各限角的集合
?????2k????2k??,k?Z?2? 解：第I象限角的集合：?????2k?????2k???,k?Z??2? 第II角限角的集合：?
??3?2k??????2k???,k?Z??2?? 第III象限角的集合：
??3?2k??????2(k?1)?,k?Z??2? 第IV象限角的集合：?[例3] 写出各轴线角的集合
?[例4] 若?是第三象限角，2是哪个象限的角？2?的终边在哪？
解：k?360??180????k?360??270? k?Z
k?180??90???2?k?180??135?
?（1）k为偶数时，2是第二象限角 ?（2）k为奇数时，2是第四角限角
又 ∵ k?720??360??2??k?720??540?
∴ (2k?1)?360??2??(2k?1)?360??180?
∴ 2?的终边在第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上
[例5] 写出满足下列关系的?，?的关系式
（1）?与?的终边重合：????2k?，k?Z
（2）?与?的终边关于原点对称：????(2k?1)?，k?Z （3）?与?的终边在一条直线上：????k?，k?Z
（4）?与?的终边关于x轴对称：????2k?，k?Z （5）?与?的终边关于y轴对称：????(2k?1)?，k?Z [例6] 将下列弧度（或角度）转化为角度（或弧度）
57???（1）4 （2）8 （3）18? （4）?105?
解：
?7??（1）225° （2）?157?30? （3）10 （4）12
????A??xk???x?k??,k?Z?2B?x6?x?x?042??，[例7] 求A?B？
??22解：∵ 6?x?x?0 ∴ x?x?6?0 ∴ ?2?x?3
对
k???4?x?k????2取k?0有4?x??2
3??????x??[k??,k??)2当k取其他值时，42与[?2,3]没有公共 取k??1有4元素。
?????A?B??x?2?x??或?x??242? ?由图可得
[例8] 一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧
度？扇形面积是多少？
解：设圆心角为?弧度 ∵ 弧长为r? ∴ 2r?r???r ??(??2)rad
11S??r2?(??2)r222 ∴
[例9] 一只正常的时钟，自零点开始到分针与时针再一次重合，分针所转过的角的弧度数是多
少？
解：设再一次重合时分针转过的弧度数为?
∴
??12(??2?) ∴
??2424?????11 又 ∵ ??0 ∴ 11（rad）
[例10] 已知弧度数为2的圆心角所对弦长也是2，求这个圆心角所对的弧长是多少？
??AOB?2radOC?ABAB解：如图过O作于C，延长OC交于D
?AOD??BOD?1rad且AC?OA?1AB?12 在Rt?AOC中，AC12??的长l??R?sin?AOCsin1 ∴ ABsin1 DACBO
【模拟试题】 一. 选择题
1. 若?是第一象限角，则下面各角中第四象限角是（ ） A. 90??? B. 90??? C. 360??? D. 180??? 2. 与?460?终边相同的角可表示为（ ）
A. 460??k?360?(k?Z) B. 100??k?360?(k?Z) C. 260??k?360?(k?Z) D. ?260??k?360?(k?Z) 3. 若?180?????90?，则180???与?的终边（ ）
A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 以上都不对 4. 若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形面积是（ ）
22A. 4cm2 B. 2cm2 C. 4?cm D. 2?cm
二. 填空题
C? 弧B? 弧度，1. 在?ABC中，若?A:?B:?C?3:5:7，则A? 弧度，
度。
????k??M??xx???,k?Z?N??xk??,k?Z?244??，??则M、N的关系是 。 2. 设
13. 圆的半径变为原来的2，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的 倍。
4.
?为第四象限角，则2?在 。
三. 解答 1.
（1）已知?终边与?50?角终边关于y轴对称，求?的集合M。 （2）已知?终边与?50?角终边互相垂直，求?的集合N。 2. 扇形的周长为定值l，该扇形具有怎样的中心角时面积最大？
3. 半径为12cm的轮子，每3分钟转1000圈。 求：（1）它的平均角速度；（2）轮沿上一点1秒经过的距离；（3）轮沿上一点转过1000°所经过的距离。
【试题答案】
一.
1. C 2. C 3. B 4. A 二.
??7?53151. ，， 2. M?N 3. 2倍
4. 第三或四象限或终边在y轴的非正半轴上 三. 1.
（1）M?????230??k?360?,k?Z?
?????50??90??k?360?,k?Z?
121l?2r1r??r2()??r2?lr22r2
1l4时，面积S最大，此时??2，即中心角为2弧度
（2）∵ ?50??90?与?50?角终边互相垂直
∴ N?2. 解：设扇形半径为r，则弧长L为l?2r
∴
S?∴ 当
3. 解：
r?5050100?2???/s999（1）因3分钟转1000圈 ∴ 1秒转圈 ∴ 平均角速度为
l???R?100400???12?cm93
（2）∵
（3）
l???R?1000??180?12?200?cm3
【试题答案】
一.
1. C 2. C 3. B 4. A 二.
??7?53151. ，， 2. M?N 3. 2倍
4. 第三或四象限或终边在y轴的非正半轴上 三. 1.
（1）M?????230??k?360?,k?Z?
?????50??90??k?360?,k?Z?
121l?2r1r??r2()??r2?lr22r2
1l4时，面积S最大，此时??2，即中心角为2弧度
（2）∵ ?50??90?与?50?角终边互相垂直
∴ N?2. 解：设扇形半径为r，则弧长L为l?2r
∴
S?∴ 当
3. 解：
r?5050100?2???/s999（1）因3分钟转1000圈 ∴ 1秒转圈 ∴ 平均角速度为
l???R?100400???12?cm93
（2）∵
（3）
l???R?1000??180?12?200?cm3
