功，对于平时只重难、偏、怪题的学生来说，并不是好事，虽然题难度不大，但要把分数拿到也非易事，对于数学复习来说，无疑释放了一个重要信息——就是基本功扎实是非常重要的。也就是不管高考题千变万变，我们的复习要以不变应万变，“考点和知识考查是不变的”。 5． 中间层面高兴，尖优生欲哭无泪。整卷由于只顾考生的得分率和平均分，迎合社会的好评，因而少了区分度较高的题，中间学生来说是该大欢喜，但对于高层学生来说就毫无优势。 2012年广东省理科数学详细答案 一 、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 设i为虚数单位，则复数5?6i= iA 6+5i B 6-5i C -6+5i D -6-5i 5?6i5i?6i2解：????6?5i，故选C 2ii2 设集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,2,4 } 则CM = A .U B {1,3,5} C {3,5,6} D {2,4,6} 选C 3 若向量BA=（2,3），CA=（4,7），则BC= A （-2,-4） B (3,4) C (6,10 D (-6,-10) 解：BC?BA?AC?(2,3)?(4,7)?(?2,?4)，故选 A 4.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是 A.y=ln（x+2） B.y=-x?1 C.y=（解：A X1x1） D.y=x+2x
?y?2?5.已知变量x，y满足约束条件?x?y?1，则z=3x+y ?x?y?1?的最大值为 A.12 B.11 C.3 D.-1 解：画约束区域如右，令z=0得y??3x，化目标函数为 2x+y=1斜截式方程：y??3x?z得，当x?3,y?2时 C(-1,2)B(3,2)y=2zmax?11，故选B 【评】1-5题是送分题，确是宽和仁厚的题。 6,某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 y=x-1A(1,0)y=-3xX
PAO1B 版权所有：中华资源库 www.ziyuanku.com DC斜截式方程：y??x?z得，当x?y?时 z?11，故选B P【评】1-5题是送分题，确是宽和仁厚的题。 6,某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 AO1BDOC A．12π B.45π C.57π D.81π 解：几何体直观图如右，几何体由一个圆柱和一个同底的圆锥构成。 圆锥的高PO1?5?3?4， V?V圆柱?V圆锥?45???9??4?57? 故选C 【评】此题难度圆锥的高如何求和由三视图恢复直观图这两个点，有少量的学生在这一题上会丢分。 7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是 A. 23134121 B. C. D. 9399 解：设个位数与十位数分别为x,y，则x?y?2k?1,k?1,2,3,4,5,6,7,8,9 所以x,y分别为一奇一偶， 第一类x为奇， y为偶数共有C5?C5?25个数 第一类x为偶， y为厅数共有C4?C5?20个数 两类共有45个数，其中个位是0十位数是奇数的两位有10，30，50，70，90这5个数 所以其个位数为0的概率是111151?，选D。 459【评】此题看似简单，但知识考查点却比较多，又涉及到分类与分步混合问题，对计数原理及排列组合学得不好的同学，难得分数，因而本题就成了一个得分率较低的题了，从而也是有区分度的题。
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没有变化题，看命题人真是好人。 11.已知递增的等差数列{an}满足a1,a3?a2?4，则an?_____________。 解： 【评】此题与2011年广东理科第11题“等差数列{an}前9项的和等于前4项的和。若a1?1,ak?a4?0，则k=____________”比较就是一道没有变化题，看命题人真是好人。 12.曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方程为 。 解：点（1，3）在.曲线y=x3-x+3上。y??3x2?1,?k?2 由点斜式方程可得点（1，3）处的切线方程为：y?2x?1 【评】此题与2011年广东理科第12题“．函数f(x)?x?3x2?1在x=____________处取得极小值．”比较就是一道没有变化题，看命题人真是好人。 13.执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为8， 则输出s的值为 。 （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14，（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为???x?2cos??x?t,(?为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为_______。 和,(t为参数)?????y?t?y?2sin??x2?y?0解：曲线C1的普通方程为x?y?0，C2的普通方程为x?y?2，联立?2 2x?y?2?222
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解得??x?1?x??1则曲线C1与C2的交点坐标为（-1，1）或（1，1） 或?y?1y?1?? 15.（几何证明选讲选做题）如图3，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A做圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA=_____________。 A解：连OA得∠AOP=60°，所以OP=2，PC=1 所以PA2?PC?(PC?2)?1?3,?PA?3 O B 三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16.（本小题满分12分） CP已知函数f(x)?2cos??x?（1）求ω的值； ????（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π。 ?，6?5?55?16)??,f(5??)?，求cos（α＋β）的值。 2366172?1解：（1）T?10??,???0 ?5（2）设?,??[0,?],f(5?? （2）由（1）得f(x)?2cos????1x??， 6??565?15?????f(5??)?2cos[(5??)?]?2cos(??)??2sin? 535362 34?sin??,cos?? 55165?15??815?f(5??)?2cos[(5??)?]?2cos?,?cos??,sin?? 17656617174831513?cos??????cos?cos??sin?sin??????? 517517851π5π【评】此题与2011年广东理科第16题“．已知函数f(x)=2sin(x-),x∈R..（1）求f()的值；（2）364ππ10f(3??2?)6设?,?∈[0,]，f(3?+)=，=，求cos(???)的值。”比较就是一道没有变化题，52213也前三年三角考试题变化不大，但是三角函数如此命题看似做好人。其实在“角上还是做足了功夫”，如果对角的观察不细，或是有心理压力，此题也不好得分。 版权所有：中华资源库 www.ziyuanku.com
17. （本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。 （1）求图中x的值； （2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求得数学期望。 解：（1）图中x所在组为[80，90]即第五组 f5?1?10(0.054?0.01?3?0.006)?1?0.82?0.18,?x?0.018 （2）成绩不低于80分的学生所占的频率为f?10(0.018?0.006)?0.24 所以成绩不低于80分的学生有：50f?50?0.24?12人 成绩不低于90分的学生人数为：50?10?0.006?3 所以为的取值为0，1，2 11C926C9?C3C3291?P(??2)?? P(??0)?2?，P(??1)?， 22C1211C1222C1222 所以为的分布列为： ? P 0 1 2 12 229 221 22 所以为的数学期望E???? 0?12?1?9?2?1111?? 22222
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18.（本小题满分13分） 如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形， PA⊥平面ABCD，点 E在线段PC上，PC⊥平面BDE。 （1） 证明：BD⊥平面PAC； （2） 若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值； （1）证明：因为PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD,?BD?PA 又因为PC⊥平面BDE，BD?平面BDE,?BD?PC 而PAPC?P，所以：BD⊥平面PAC； （2）由（1）BD⊥平面PAC，所以BD⊥AC，又四边形ABCD为矩形 所以四边形ABCD是正方形。 设AC交BD于O点，因为PC⊥平面BDE，所以?BEO即二面角B-PC-A的平面角 PA?1,AD?2,?AC?22,BO?OC?2 ?PC?PA2?AC2?13， 又OE?OECO2 ??PAPC13BO?EO2?13 213 在直角三角形BEO中，tan?BEO? 所以二面角B-PC-A的正切值为13。 【评】2012年广东省立体几何考试题是实行新课程标准以来最简单的一年。但是对于只会用坐标法同学来说，复杂的计算也会占用很多时间。 19. （本小题满分14分） 设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn?an?1?2（1） 求a1的值； （2） 求数列{an}的通项公式。 （3） 证明：对一切正整数n，有n?1?1,n?N?,且a1,a2?5,a3成等差数列。 111???a1a2a3?13?. an2解：（1）2Sn?an?1?2n?1?1,n?N?, 又a1,a2?5,a3成等差数列， ?2a1?a2?3?a1?1?? ?2a1?2a2?a3?7??a2?5 ??2a?10?a?a?a?19213??3 (2) 2Sn?an?1?2n?1?1, ?2Sn?1?an?2n?1,
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（2）假设点M（m,n）存在，则有m2?n2?1 |AB|?21?1 m2?n211(1?) m2?n2m2?n2 ?S?oAB? 11121??2m2?n2m2?n211?1,?1??0 m2?n2m2?n211122 当且仅当2即时有最大值 ?1?Sm?n?2?1?oAB222m?nm?n2m2?n2?1,?0??23m???m?n?2?2 联立?2??2?m?3n?3?n2?1??222 所以所求M点的坐标为(32323232,),(,?),(?,),(?,?) 22222222【评】2012年广东省理科解析几何题，体现了与广州市的水平测试题的有效结合，与2011年高二水平测试析其相似。 21.（本小题满分14分） 设a?1，集合A?{x?R|x?0},B?{x?R|2x?3(1?a)x?6a?0},D?A（1）求集合D（用区间表示） （2）求函数f(x)?2x?3(1?a)x?6ax在D内的极值点。 解：（1）设g(x)?2x?3(1?a)x?6a，其对称轴方程为：x?当a??1时，x?2322B 3(1?a) 43(1?a)?0，g(0)?6a?0，方程g(x)?2x2?3(1?a)x?6a?0 43(1?a)?9a2?30a?93(1?a)?9a2?30a?9?0?x2?有解为x1? 443(1?a)?9a2?30a?9,??) ?D?(x2,??)?(4当?1?a?0时，x?3(1?a)?0，g(0)?6a?0，方程g(x)?2x2?3(1?a)x?6a?0 43(1?a)?9a2?30a?93(1?a)?9a2?30a?9?0?x2?有解为x1? 443(1?a)?9a2?30a?9,??) ?D?(x2,??)?(4 版权所有：中华资源库 www.ziyuanku.com
当0?a?13时，x?(1?a)?0，g(0)?6a?0，方程g(x)?2x2?3(1?a)x?6a?0 343(1?a)?9a2?30a?93(1?a)?9a2?30a?9有解为0?x1? ?x2?44 3(1?a)?9a2?30a?93(1?a)?9a2?30a?9?D?(0,x1)(x2,??)?(0,)(,??) 44当1?a?1时，方程g(x)?2x2?3(1?a)x?6a?0的判别式??9a2?30a?9?0 3 ?D?(0,??) 3(1?a)?9a2?30a?9综上所述：当a?0时，D?(,??) 413(1?a)?9a2?30a?93(1?a)?9a2?30a?9 当0?a?时，D?(0,)(,??) 344 当（2）1?a?1时， ?D?(0,??) 3f?(x)?6[x2?[(1?a)x?a]?6(x?a)(x?1)，又a?1， 32 ?f(x)?2x?3(1?a)x?6ax的极值点为a,1 3(1?a)?9a2?30a?91?1，解得a?矛盾。 当a?0时， 只须考虑433(1?a)?9a2?30a?913(1?a)?9a2?30a?9?1不成立 当0?a?时，?1显然成立，4343(1?a)?9a2?30a?92 若a?成立，则3?a?9a?30a?9 4 解得a(a?3)?0?a?(0,]， ?f(x)?2x?3(1?a)x?6ax在D内有一个极值点a 当32131?a?1时，?D?(0,??)， 332 ?f(x)?2x?3(1?a)x?6ax在D内有肉个极值点a和1。 【评】将三次多项函数与二次结合，并考查分类讨论思想和数形结合思想，但代数推理繁，增加运算难度。
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