2014-2015学年云南省昆明一中高三（上）第一次双基检测数学
试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
2
1．已知集合A={x|x﹣2x≤0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则A∩B=（ ） A． ? B． {x|﹣1＜x≤0} C． {x|0≤x＜1} D． R 2．复数
（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
3．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）
A． r2＜r4＜0＜r3＜r1 C． r4＜r2＜0＜r3＜r1
4．有以下四个命题 p1：?x0∈（﹣∞，0），4
＜5
，
B． r4＜r2＜0＜r1＜r3
D． r2＜r4＜0＜r1＜r3
p2：在锐角三角形ABC中，若tanA＞tanB，则A＞B； p3：?x∈R，cosx0≥1；
2
p4：?x∈R，x﹣x+1＞0 其中假命题是（ ） A． p1
B． p2
C． p3
D． p4
5．已知向量=（λ，1），向量=（2，1+λ），且与﹣垂直，则λ的值为（ ） A． 0
B． 0或3
C． ﹣3或0
D． 4
6．已知双曲线（ ） A．
﹣=1的一条渐近线与直线l：2x+y+2=0垂直，则此双曲线的离心率是
B． C． D． 4
7．设x，y满足，则z=x+2y的最小值等于（ ）
A． ﹣3
B． 3 C． 6 D． 12
8．等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a3=，S4=，则Sn（ ）
n﹣3
A．
9．已知棱长为 A． π
B． C． D． 2
四面体ABCD的各顶点在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
B． π
C．
π
D． 3π
10．执行如图所示的程序框图，若输出y=2，则输出的x的取值范围是（ ）
A． [6，23] B． （12，25] C． （14，26]
11．一个组合体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
D． [25，52]
A． 16
12．已知函数f（x）=|2﹣2|，若m≠n，且f（m）=f（n），则m+n的取值范围是（ ） A． （1，+∞） B． （2，+∞） C． （﹣∞，1） D． （﹣∞，2）
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．曲线y=x+在点（1，2）处的切线方程为 ．
14．已知数列{an}满足a1=2，an+1=an+n（n∈N），则an的最小值是 ．
15．已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，|φ|＜
），当x=π时，f（x）取最大值，则f
*
x
B． 20 C． D．
（x）在[﹣π，0]上的单调增区间是 ．
16．已知抛物线y=2x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|+|BD|的最小值为 ．
三、解答题（共6小题。解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．如图所示，在△ABC中，已知BC=2，AC=4，sinB=
，sinC=
，求BC边上的
2
中线AD的长．
18．有A，B，C，D，E五位同学参加英语口语竞赛培训，现分别从A，B二人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次得到的两组数据，这两组数据的样本茎叶图如图所示．
（1）现要从A，B中选派一人参加英语口语竞赛，从平均水平个方差的角度考虑，你认为派哪位同学参加较合适？请说明理由；
（2）若从参加培训的5位同学中任选二人参加英语口语竞赛，求A，B二人都没有参加竞赛的概率．
19．已知数列{an}的前n项和Sn=2an﹣2（n∈N），数列{bn}的前n项和为Tn，且bn=2n+1． （1）求出数列{an}的通项an和数列{bn}的前n项和Tn； （2）求数列{
20．在三棱锥A﹣BCD中，底面BCD是正三角形，AC=BD=2，AB=AD=中点．
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求二面角A﹣DC﹣B的余弦值．
，O为BC的
}的前n项和Gn．
*
21．已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点F为椭圆C的右焦点，过 点F的直线交该椭圆于P，Q两点（P，Q不是长轴的端点），线段PQ的垂直平分线交y轴于点M（0，y0），求y0的取值范围．
22．已知函数f（x）=lnx+ax﹣（2a+1）x﹣1（a为常数，且a≠0）． （Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈（0，e]时，f（x）≤0，求实数a的取值范围．
2
2014-2015学年云南省昆明一中高三（上）第一次双基检
测数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
2
1．已知集合A={x|x﹣2x≤0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则A∩B=（ ） A． ? B． {x|﹣1＜x≤0} C． {x|0≤x＜1} D． R
考点： 交集及其运算． 专题： 集合． 分析： 解不等式求出A，代入集合交集公式，可得答案．
2
解答： 解：∵集合A={x|x﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，B={x|﹣1＜x＜1}， ∴A∩B={x|0≤x＜1}， 故选：C 点评： 本题考查的知识点是集合的交集运算，解不等式求出集合A，是解答的关键． 2．复数
（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题： 计算题． 分析： 将复数的分子分母同乘以1+i，利用多项式的乘法分子展开，求出对应的点的坐标，判断出所在的象限即可． 解答： 解：由题
，所以在复平面上对应的点位于第
一象限． 故选A． 点评： 本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，属于基础题．
3．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）
A． r2＜r4＜0＜r3＜r1 B． r4＜r2＜0＜r1＜r3 C． r4＜r2＜0＜r3＜r1 D． r2＜r4＜0＜r1＜r3
考点： 相关系数． 专题： 概率与统计． 分析： 根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小．
解答： 解：由给出的四组数据的散点图可以看出， 图1和图3是正相关，相关系数大于0， 图2和图4是负相关，相关系数小于0，
图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以r1接近于1，r2接近于﹣1， 由此可得r2＜r4＜r3＜r1． 故选：A 点评： 本题考查了两个变量的线性相关，考查了相关系数，散点分布在左下角至右上角，说明两个变量正相关；分布在左上角至右下角，说明两个变量负相关，散点越集中在一条直线附近，相关系数越接近于1（或﹣1），此题是基础题．
4．有以下四个命题 p1：?x0∈（﹣∞，0），4
＜5
，
p2：在锐角三角形ABC中，若tanA＞tanB，则A＞B； p3：?x∈R，cosx0≥1；
2
p4：?x∈R，x﹣x+1＞0 其中假命题是（ ）
A． p1 B． p2 C． p3
考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 简易逻辑． 分析： 根据全称命题和特称命题的性质分别进行判断即可． 解答： 解：p1：当x0∈（﹣∞，0），幂函数f（x）=x＞5
，错误．命题为假命题
D． p4
在（0，+∞）上为减函数，∴4
p2：在锐角三角形ABC中，函数y=tanx为增函数，若tanA＞tanB，则A＞B；正确，命题为真命题．
p3：?x=2kπ，k∈Z，有cosx0≥1成立；正确，命题为真命题． p4：?x∈R，x﹣x+1=（x﹣）+＞0，正确，命题为真命题．
故p1是假命题， 故选：A 点评： 本题主要考查命题的真假判断，根据全称命题和特称命题的性质是解决本题的关键．
5．已知向量=（λ，1），向量=（2，1+λ），且与﹣垂直，则λ的值为（ ） A． 0 B． 0或3
考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用．
C． ﹣3或0
D． 4
2
2
分析： 求出﹣=（λ﹣2，﹣λ），由向量垂直可得其数量积为0，运用坐标表示，可得λ的方程，即可得到所求值．
解答： 解：向量=（λ，1），向量=（2，1+λ）， 即有﹣=（λ﹣2，﹣λ）， 由与﹣垂直， 即有?（﹣）=0，
即为λ（λ﹣2）﹣λ=0， 解得λ=0或3． 故选B． 点评： 本题考查向量的垂直与向量的数量积的关系，属基础题．
6．已知双曲线（ ） A．
B．
C．
D． 4
﹣
=1的一条渐近线与直线l：2x+y+2=0垂直，则此双曲线的离心率是
考点： 双曲线的简单性质． 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 由双曲线的渐近线斜率即可计算该双曲线的离心率，本题中已知渐近线与直线2x+y+2=0垂直，故=，再利用c=a+b，e=即可得双曲线的离心率．
2
2
2
解答： 解：双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=±x，
∵渐近线与直线2x+y+2=0垂直，故渐近线的斜率为， ∴=，
即a=4b=4（c﹣a），即5a=4c，e= 双曲线的离心率e==
2
2
2
2
2
2
2
故选：B． 点评： 本题考考查了双曲线的标准方程及其几何性质，双曲线渐近线与离心率间的关系，求双曲线离心率的一般方法．
7．设x，y满足，则z=x+2y的最小值等于（ ）
A． ﹣3 B． 3 C． 6 D． 12
考点： 简单线性规划． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论． 解答： 解：作出不等式组对应的平面区域， 由z=x+2y，得y=直线y=
，平移直线y=
，由图象可知当直线经过点C时，
的截距最小，此时z最小，
由，得，即C（1，1）
此时z=1+2×1=3． 故选：B．
点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．
8．等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a3=，S4=
，则Sn（ ）
n﹣3
A． B． C． D． 2
考点： 等差数列的前n项和． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： 由题意可得a2+a4的值，可得公比q，进而可得a1，代入求和公式计算可得． 解答： 解：由题意可得a2+a4=S4﹣（a1+a3）=
﹣=，
∴公比q=
2
=2，
∴a1+a3=a1（1+q）=5a1=，∴a1=，
∴Sn=
=
故选：C 点评： 本题考查等差数列的求和公式，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题．
9．已知棱长为四面体ABCD的各顶点在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A． π
B． π
C．
π
D． 3π
考点： 球的体积和表面积． 专题： 计算题；空间位置关系与距离；球． 分析： 把四面体补成正方体，两者的外接球是同一个，求出正方体的棱长，然后求出正方体的对角线长，就是球的直径，即可求出球的体积．
解答： 解：如图，将四面体补成正方体，则正方体的棱长是1， 正方体的对角线长为：， 则此球的体积为：π×故选：C．
=
π
点评： 本题是基础题，考查空间想象能力，正四面体的外接球转化为正方体外接球，使得问题的难度得到降低，问题得到解决，注意正方体的对角线就是球的直径，也是比较重要的．
10．执行如图所示的程序框图，若输出y=2，则输出的x的取值范围是（ ）
A． [6，23] B． （12，25] C． （14，26] D． [25，52]
考点： 程序框图． 专题： 图表型；算法和程序框图． 分析： 由框图知，此程序输出的y是循环次数，循环退出的条件是x＞51，由此关系得出不等式，求出x的取值范围即可． 解答： 解：当输出y=2时，应满足
，得12＜x≤25．
故选：B． 点评： 本题考查循环结构，解题的关键是根据框图得出其运算律，从而得到x所满足的不等式，解不等式求出要求的范围，由运算规则得出不等式组是本题的难点．
11．一个组合体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． 16 B． 20 C． D．
考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 由已知中的三视图，可知该几何体是以俯视图为底面的四棱锥和四棱柱的组合体，求出它们的体积，相加可得答案． 解答： 解：由已知中的三视图，可知该几何体是以俯视图为底面的四棱锥和四棱柱的组合体，
其底面面积S=2×2=4， 棱柱的高h=4，
棱锥的高h=5﹣4=1， ∴棱柱的体积为4×4=16， 棱锥体积为×4×1=， 故组合体的体积V=16+=
，
故选：C 点评： 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
12．已知函数f（x）=|2﹣2|，若m≠n，且f（m）=f（n），则m+n的取值范围是（ ） A． （1，+∞） B． （2，+∞） C． （﹣∞，1） D． （﹣∞，2）
考点： 指数函数的图像变换． 专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
xmnmn
分析： 由题意f（x）=|2﹣2|，由f（m）=f（n），可得2﹣2=2﹣2，故2+2=4， 再利用基本不等式求解． 解答： 解：不妨设m＜n，
mn
由f（m）=f（n），可得2﹣2=2﹣2， mn
∴2+2=4， ∴4=2+2=≥
m
n
m
n
x
，
当且仅当2=2时，即m=n时取等号，而m≠n，故上述等号不成立， m+n
∴2＜4， ∴m+n＜2
∴m+n的取值范围是（﹣∞，2） 故选：D． 点评： 此题考查了利用绝对值的性质脱去绝对值，同时考查基本不等式的应用，注意，利用基本不等式要验证等号成立的条件．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．曲线y=x+在点（1，2）处的切线方程为 y﹣2=0 ．
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 导数的概念及应用；直线与圆． 分析： 求出函数的导数，求得切线的斜率，再由点斜式方程，即可得到所求切线的方程． 解答： 解：y=x+的导数为y′=1﹣
，
则在点（1，2）处的切线斜率为k=0，
即有在点（1，2）处的切线方程为y﹣2=0（x﹣1）， 即为y﹣2=0．
故答案为：y﹣2=0． 点评： 本题考查导数的运用：求切线方程，掌握导数的几何意义和运用点斜式方程是解题的关键．
14．已知数列{an}满足a1=2，an+1=an+n（n∈N），则an的最小值是 2 ．
考点： 数列递推式． 专题： 点列、递归数列与数学归纳法． 分析： 通过an+1=an+n可知数列{an}是递增数列，进而可得结论． 解答： 解：∵an+1=an+n，∴an+1﹣an=n＞0， ∴数列{an}是递增数列， ∴an的最小值即为a1=2， 故答案为：2． 点评： 本题考查数列的简单性质，注意解题方法的积累，属于基础题．
15．已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，|φ|＜（x）在[﹣π，0]上的单调增区间是 [﹣
考点： 正弦函数的单调性． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 由题意可得
+φ=2kπ+
，k∈Z，求得φ=﹣
，可得f（x）=Asin（x﹣
）．再
），当x=π时，f（x）取最大值，则f
*
，0] ．
根据正弦函数的增区间求得函数f（x）的增区间． 解答： 解：由于函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，|φ|＜值， 可得
+φ=2kπ+
，k∈Z，即 φ=2kπ﹣）．
，k∈Z，∴φ=﹣
，
），当x=π时，f（x）取最大
故f（x）=Asin（x﹣
令2kπ﹣﹣
≤x﹣≤2kπ+，求得 2kπ﹣≤x≤2kπ+，故函数f（x）的增区间为[2kπ
，2kπ+]，k∈Z．
，0]，
再结合x∈[﹣π，0]，可得f（x）的增区间为[﹣故答案为：[﹣
，0]．
点评： 本题主要考查正弦函数的最大值、正弦函数的单调性，属于中档题．
16．已知抛物线y=2x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|+|BD|的最小值为 1 ．
考点： 抛物线的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义，可得|AC|+|BD|=|AF|+|BF|﹣1=|AB|﹣1，求得|AB|的最小值即可．
解答： 解：抛物线y=2x的焦点F（，0），准线方程为x=﹣， 由抛物线的定义可得，|AF|=|AC|+，|BF|=|BD|+， 即有|AC|+|BD|=|AF|+|BF|﹣1 =|AB|﹣1，
当直线AB⊥x轴时，|AB|最小． 令x=，则y=1，解得y=±1，
即有|AB|min=2，
则|AC|+|BD|的最小值为1． 故答案为：1． 点评： 本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法及运算能力，属于中档题．
三、解答题（共6小题。解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．如图所示，在△ABC中，已知BC=2，AC=4，sinB=
，sinC=
，求BC边上的
2
22
中线AD的长．
考点： 解三角形． 专题： 计算题；解三角形． 分析： 确定B＞C，利用sinC=的长．
，可得cosC=，利用余弦定理求BC边上的中线AD
解答： 解：∵sinB=∴sinB＞sinC， ∴B＞C， ∵sinC=∴cosC=
， ，
，sinC=，
△ADC中，AD==
是关键．
点评： 本题考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，确定cosC=
18．有A，B，C，D，E五位同学参加英语口语竞赛培训，现分别从A，B二人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次得到的两组数据，这两组数据的样本茎叶图如图所示．
（1）现要从A，B中选派一人参加英语口语竞赛，从平均水平个方差的角度考虑，你认为派哪位同学参加较合适？请说明理由；
（2）若从参加培训的5位同学中任选二人参加英语口语竞赛，求A，B二人都没有参加竞赛的概率．
考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图． 专题： 概率与统计．
分析： （1）根据所给的数据做出两个人的平均数和方差，把平均数和方差进行比较，得到两个人的平均数相等，然后根据方差是反映稳定程度的，比较方差，越小说明越稳定； （2）从5人中任意派两人的可能情况有10种，每种结果出现的可能性相同，记“A，B二人都没有参加竞赛”为事件M，则M包含的结果有3种，由等可能事件的概率可求． 解答： 解：（1）派B参加比较合适．理由如下： =（75+80+80+83+85+90+92+95）=85， =（78+79+80+83+85+90+92+95）=85，
SA=[（75﹣85）+（80﹣85）+（80﹣85）+（83﹣85）+（85﹣85）+（90﹣85）+（92﹣85）+（95﹣85）]=41；
SB=[（78﹣85）+（79﹣85）+（80﹣85）+（83﹣85）+（85﹣85）+（90﹣85）+（92﹣85）+（95﹣85）]=35.5 ∵
=
，SB＜SA，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
∴B的成绩较稳定，派B参加比较合适．
（2）从参加培训的5位同学中任派两个共有： （A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C）， （B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共10种情况； A、B两人都不参加（C，D），（C，E），（D，E）有3种． 所以A，B二人都没有参加竞赛的概率P=
点评： 对于两组数据，通常要求的是这组数据的方差和平均数，用这两个特征数来表示分别表示两组数据的特征，即平均水平和稳定程度．
19．已知数列{an}的前n项和Sn=2an﹣2（n∈N），数列{bn}的前n项和为Tn，且bn=2n+1． （1）求出数列{an}的通项an和数列{bn}的前n项和Tn； （2）求数列{
}的前n项和Gn．
*
考点： 数列的求和． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： （1）通过Sn=2an﹣2与Sn+1=2an+1﹣2作差、整理得an+1=2an，进而可知数列{an}
n
的通项an=2；利用等差数列的求和公式计算可得Tn=n（n+2）； （2）通过（1）、裂项可知
=（﹣
*
），并项相加即得结论．
解答： 解：（1）∵Sn=2an﹣2（n∈N）， ∴Sn+1=2an+1﹣2，
两式相减得：an+1=2an+1﹣2an， 整理得：an+1=2an，
又∵a1=2a1﹣2，即a1=2，
n﹣1n
∴an=2?2=2； ∵bn=2n+1， ∴Tn=
（2）由（1）得
=
=n（n+2）；
=（﹣
） ），
∴Gn=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣=（1+﹣=﹣
﹣
） ．
点评： 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中
档题．
20．在三棱锥A﹣BCD中，底面BCD是正三角形，AC=BD=2，AB=AD=，O为BC的中点．
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求二面角A﹣DC﹣B的余弦值．
考点： 直线与平面垂直的判定；棱锥的结构特征． 专题： 空间位置关系与距离；空间角．
分析： （1）由已知得AO⊥BD，AO⊥CO，由此能证明AO⊥平面BCD．
（2）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣DC﹣B的余弦值． 解答： 解：（1）证明：∵在三棱锥A﹣BCD中， 底面BCD是正三角形，O为BD的中点， ∴AO⊥BD，
连结CO，∵AC=BD=2，AB=AD=， ∴AO=
2
2
=1，CO=
2
，
∴AO+CO=AC，∴AO⊥CO， 又BD∩CO=O，∴AO⊥平面BCD． （2）解：以O为原点，OB为x轴， OC为y轴，OA为z轴， 建立空间直角坐标系， A（0，0，1），D（﹣2，0，0）， C（0，，0），B（1，0，0）， =（﹣2，0，﹣1），
=（0，
，﹣1），
设平面ADC的法向量 =（x，y，z）， 则
，取x=1，得 =（1，﹣
，﹣2），
平面BDC的法向量 =（0，0，1）， cos＜，＞=
=﹣
，
∵二面角A﹣DC﹣B是锐二面角， ∴二面角A﹣DC﹣B的余弦值为
．
点评： 本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用，属于中档题．
21．已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点F为椭圆C的右焦点，过 点F的直线交该椭圆于P，Q两点（P，Q不是长轴的端点），线段PQ的垂直平分线交y轴于点M（0，y0），求y0的取值范围．
考点： 椭圆的简单性质． 专题： 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）由题意可得b=
，e==，a﹣b=c，解方程可得a=2，进而得到椭圆方
2
2
2
程；
（2）分类讨论，设直线MN的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），代入椭圆方程，求出线段MN的垂直平分线方程，令x=0，得y0=
=
，利用基本不等式，即可求y的取值范围．
解答： 解：（1）由短轴长为2可得b=
，e==，a﹣b=c，
2
2
2
，且离心率为．
解得a=2，c=1． 则椭圆的方程为
+
=1；
（2）当PQ⊥x轴时，显然y0=0．
当PQ与x轴不垂直时，可设直线PQ的方程为y=k（x﹣1）（k≠0）．
由消去y整理得（3+4k）x﹣8kx+4（k﹣3）=0．
2222
设P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点为D（x3，y3）， 则x1+x2=
．
所以x3=
=
，y3=k（x3﹣1）=
，
线段PQ的垂直平分线方程为y+=﹣（x﹣），
在上述方程中令x=0，得y0=
=
当k＜0时，+4k≤﹣4所以﹣
；当k＞0时，+4k≥4
． ]．
．
≤y0＜0，或0＜y0≤
，
综上y0的取值范围是[﹣
点评： 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查基本不等式的运用，确定线段MN的垂直平分线方程是关键．
22．已知函数f（x）=lnx+ax﹣（2a+1）x﹣1（a为常数，且a≠0）． （Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈（0，e]时，f（x）≤0，求实数a的取值范围．
考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 导数的综合应用．
分析： （Ⅰ）把a=1代入函数解析式，求其导函数，由导函数的符号确定原函数的单调区间；
（Ⅱ）求出原函数的导函数，得到导函数的零点1和
，然后分
多种情况进行讨论，求
2
出函数在（0，e]上的最大值，由最大值小于等于0求得a的范围，最后去并集得答案．
2
解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx+x﹣3x﹣1，
=
当x当x
，（1，+∞）时，f′（x）＞0， 时，f′（x）＜0．
（x＞0），
∴f（x）在
2
上为增函数；在上为减函数；
（Ⅱ）由f（x）=lnx+ax﹣（2a+1）x﹣1，得
=
=
．
令g（x）=（x﹣1）（2ax﹣1），
当a=0时，x∈（0，1）时，f′（x）＞0．x∈（1，e）时f′（x）＜0， ∴函数f（x）在（0，e]上有最大值为f（1）=﹣a﹣2． 由﹣a﹣2≤0，得a≥﹣2，∴a=0； 当
，即
时，g（x）≥0，f′（x）≥0，
2
2
函数f（x）在（0，e]上得到递增，当x=e时函数有最大值为lne+ae﹣（2a+1）e﹣1=ae﹣2ae﹣e，
由ae﹣2ae﹣e≤0，得a当
2
．∴；
＜0，即a＜0时，若x∈（0，1），f′（x）＞0，x∈（1，e），f′（x）＜0，
∴在（0，e]上有最大值为f（1）=ln1+a﹣2a﹣1﹣1=﹣a﹣2． 由﹣a﹣2≤0，得a≥﹣2．∴﹣2≤a＜0； 当0＜＜0，
∴函数f（x）在（0，e]上有最大值为f（）与f（e）的最大者，
=．
f（e）=ae﹣2ae﹣e，f（e）＞
2
＜1，即a时，x∈（0，），（1，e）时，f′（x）＞0．x∈时f′（x）
，
2
2
∴函数f（x）在（0，e]上有最大值为ae﹣2ae﹣e，由ae﹣2ae﹣e≤0，得a∴当1＜
；
＜e，即
＜a＜时，x∈（0，1），（
，e）时，f′（x）＞0．x∈
．
时f′
（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，e]上有最大值为f（1）与f（e）的最大者，
2
f（1）=ln1+a﹣2a﹣1﹣1=﹣a﹣2，f（e）=ae﹣2ae﹣e， 由
，解得：
，∴
；
当≥e，即0时，x∈（0，1）时，f′（x）＞0．x∈（1，e）时f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，e]上有最大值为f（1）=﹣a﹣2． 由﹣a﹣2≤0，得a≥﹣2，∴0综上，实数a的取值范围是[﹣2，
． ]．
点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了学生的计算能力，正确分类是解答该题的关键，属于难度较大的题目．
