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专题四 导数的简单应用及定积分
1．曲线y＝e1A. 32C. 3
－2x
＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( )．
1B. 2D．1
－2x
答案： A [y′＝－2e，曲线在点(0,2)处的切线斜率k＝－2，∴切线方程为y＝－2x＋2，
22?该直线与直线y＝0和y＝x围成的三角形如图所示，其中直线y＝－2x＋2与y＝x的交点A??3，3?，121
所以三角形面积S＝×1×＝，故选A.]
233
2．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 解析 曲线方程为y＝x3－x＋3，则y′＝3x2－1，又易知点(1,3)在曲线上，有y′|x＝1＝2，即在点(1,3)处的切线方程的斜率为2，所以切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.
答案 2x－y＋1＝0 ?ln x，x＞0，?3．设函数f(x)＝?D是由x轴和曲线y＝f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所
?－2x－1，x≤0，? 围成的封闭区域，则z＝x－2y在D上的最大值为________． 1解析 当x＞0时，求导得f′(x)＝，所以曲线在点(1,0)处的切线的斜率k＝1，切线方程为
x1
－，0?，(0，－1)，(1,0)，平移y＝x－1，画图可知区域D为三角形，三个顶点的坐标分别为??2?直线x－2y＝0，可知在点(0，－1)处z取得最大值2.
答案 2
4．计算定积分?1－1(x2＋sin x)dx＝________.
?
x3?＝2. 2?1解析 ?－1(x＋sin x)dx＝?3－cos x?????－13答案
2
3
1．利用导数的几何意义求曲线的切线方程；考查定积分的性质及几何意义．
1
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2．考查利用导数的有关知识研究函数的单调性、极值和最值，进而解(证)不等式． 3．用导数解决日常生活中的一些实际问题，以及与其他知识相结合，考查常见的数学思想方法．
首先要理解导数的工具性作用；其次要弄清函数单调性与导数符号之间的关系，掌握求函数极值、最值的方法步骤，对于已知函数单调性或单调区间，求参数的取值范围问题，一般先利用导数将其转化为不等式在某个区间上的恒成立问题，再利用分离参数法求解.
必备知识
导数的几何意义
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．
(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． (3)导数的物理意义：s′(t)＝v(t)，v′(t)＝a(t)．基本初等函数的导数公式和运算法则 (1)基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)＝c f(x)＝xn(n∈R) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax(a＞0且a≠1) f(x)＝ex f(x)＝logax(a＞0且a≠1) f(x)＝ln x (2)导数的四则运算法则 ①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)； ②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)； ③?
u?x??u′?x?v?x?－u?x?v′?x?
′＝(v(x)≠0)．
[v?x?]2?v?x??
导函数 f′(x)＝0 f′(x)＝nxn1 －[来源:21世纪教育网] f′(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f′(x)＝axln a f′(x)＝ex f′(x)＝1 x ln a1f′(x)＝ x(3)复合函数求导
复合函数y＝f(g(x))的导数和y＝f(u)，u＝g(x)的导数之间的关系为yx′＝f′(u)g′(x)． 利用导数研究函数单调性的一般步骤
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(1)确定函数的定义域； (2)求导数f′(x)；
(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数y＝f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0；②若已知y＝f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．
求可导函数极值的步骤 (1)求f′(x)； (2)求f′(x)＝0的根； (3)判定根两侧导数的符号； (4)下结论．
求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤 (1)求f′(x)；
(2)求f′(x)＝0的根(注意取舍)； (3)求出各极值及区间端点处的函数值；
(4)比较其大小，得结论(最大的就是最大值，最小的就是最小值)．必备方法
1．利用导数解决优化问题的步骤
(1)审题设未知数；(2)结合题意列出函数关系式；(3)确定函数的定义域；(4)在定义域内求极值、最值；(5)下结论．
2．定积分在几何中的应用
被积函数为y＝f(x)，由曲线y＝f(x)与直线x＝a，x＝b(a＜b)和y＝0所围成的曲边梯形的面积为S.
(1)当f(x)＞0时，S＝?b f(x)dx；
[来源:21世纪教育网]
?a(2)当f(x)＜0时，S＝－?b f(x)dx；
?a
(3)当x∈[a，c]时，f(x)＞0；当x∈[c，b]时，f(x)＜0，则S＝?c f(x)dx－?b
?a?c
f(x)dx.
导数的几何意义及其应用
常考查：①根据曲线方程，求其在某点处的切线方程；②根据曲线的切线方程求曲线方程中的某一参数．可能出现在导数解答题的第一问，较基础．
【例1】已知函数f(x)＝
aln xb
＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，x＋1x
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求a、b的值．
[审题视点] [听课记录]
f?1?＝1，??
[审题视点]求f′(x)，由?1可求．
f′?1?＝－?2?x＋1?a??x－ln x?b
解 f′(x)＝－2，
x?x＋1?21
由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，
2f?1?＝1，b＝1，????故?1即?a1
f′?1?＝－－b＝－.??22??2解得a＝1，b＝1.
函数切线的相关问题的解决，抓住两个关键点：其一，切点是交点；其二，在切点处的导数是切线的斜率．因此，解决此类问题，一般要设出切点，建立关系——方程(组)．其三，求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异．过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上；在点P处的切线，点P是切点．
