第一章 多元正态分布的参数估计
一、填空题
1.设X、Y为两个随机向量，对一切的u、v，有 ，则称X与Y相互独立。
2.多元分析处理的数据一般都属于 数据。
3．多元正态向量X X1, ,Xp 的协方差阵 是，则X的各分量是相
互独立的随机变量。
4．一个p元函数f x1,x2, ,xp 能作为Rp中某个随机向量的密度函数的主要条件是 和 。
5．若p个随机变量X1，X2， ，Xp的联合分布等于则称X1，X2， ，Xp是相互独立的。
6.多元正态分布的任何边缘分布为 。
7.若X~Np , ，A为s p阶常数阵，d为s维常数向量，则AX d~。
8.多元正态向量X的任何一个分量子集的分布称为X的 。
9.多元样本中，不同样品的观测值之间一定是 。
10.多元正态总体均值向量和协差阵的极大似然估计量分别是 。
1S具11.多元正态总体均值向量 和协差阵 的估计量、n 1
有 、 和 。
12．设和S分别是多元正态总体Np , 的样本均值向量和离差阵，则 ~，和S
13.若X ~Np , ， 1,2, ,n且相互独立，则样本离差阵
S X X ~ 。
1n
i 1, ,k，14．若Si~Wp ni, ，且相互独立，则S S1 S2 Sk~
二、判断题
1.多元分布函数F x 是单调不减函数，而且是右连续的。
2.设X是p维随机向量，则X服从多元正态分布的充要条件是：它的任何组合 X Rp 都是一元正态分布。
3.是一个P维的均值向量，当A、B为常数矩阵时，具有如下性质：
（1）E（AX）=AE（X） （2）E（AXB）=AE（X）B
4．若P个随机变量X1，…XP的联合分布等于各自边缘分布的乘积，则称X1，… XP是相互独立的。
5．一般情况下，对任何随机向量 1, , p ，协差阵 是对称阵，也
是正定阵。
6．多元正态向量 1, , p 的任意线性变换仍然服从多元正态分布。
7．多元正态分布的任何边缘分布为正态分布，反之一样。
8．多元样本中，不同样品之间的观测值一定是相互独立的。
9．多元正态总体参数均值 的估计量具有无偏性、有效性和一致性。
10．1S是 的无偏估计。 n
11.Wishart分布是 2分布在p维正态情况下的推广。
12．若X ~Np , ， 1, ,n，且相互独立，则样本离差阵
S X X ~Wp n 1,
1n
13．若X~Wp n, ，C为奇异矩阵，则CXC ~Wp n,c c
三、简答题
1.多元正态分布有哪些基本性质?
2.均值向量和协差阵的最大似然估计量有哪些优良性质?
3.维希特分布有哪些基本性质?
4.试述多元联合分布和边缘分布之间在关系。
四、证明题
1.样本均值向量和离差阵也可以用样本资料X直接表示如下：
11 X 1n，S X In 1n1 n X nn
1 其中：1n 1,1, ,1 ，I 0 0 1
试分别给以证明。
五、计算题
1.已知随机向量X X1,X2 的联合分布密度函数为
f x1,x2 2 d c x1 a b a x2 c 2 x1 a x2 c
b ab c22
其中,a x1 b,c x2 d.求:
(1)随机变量X1和X2各自的边缘密度函数、均值与方差;
(2)随机变量X1和X2的协方差和相关系数;
(3)判断X1和X2是否相互独立。
