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2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
课时过关·能力提升
1.已知a=(2,-3),b=(1,-2),且c⊥a,b·c=1,则c的坐标为( )
A.(3,-2) C.(-3,-2)
B.(3,2) D.(-3,2)
解析:设c=(x,y),则有
解得答案:C 故c=(-3,-2).
2.已知m=(a,b),向量n与m垂直,且|m|=|n|,则n的坐标为( ) A.(b,-a)
B.(-a,b)
D.(b,-a)或(-b,a)
C.(-a,b)或(a,-b) 答案:D 3.已知点A(1,2),B(4,0),C(8,6),D(5,8),则四边形ABCD是( ) A.梯形 C.菱形 解析:由已知得所以即答案:B 4.已知向量a=(cos θ,sin θ),b=(3,0),则|2a-b|的最大值为( ) A.4
B.2
C.25
D.5
,
B.矩形 D.正方形
=(3,-2),
,且
=(4,6),=(-3,2),
=0,
,所以四边形ABCD是矩形.
解析:|2a-b|=因此当cos<2a,b>=-1时,|2a-b|取得最大值5. 答案:D 5.在Rt△ABC中,∠C=,AC=3,取点D使精品推荐
=2,则等于( )
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A.3
B.4
C.5
D.6
解析:以C为原点,分别以CA,CB所在直线为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设CB=a,
∴C(0,0),A(3,0),B(0,a).
设D点坐标为(m,n),
∵=2,
即(m,n-a)=2(3-m,-n),得m=2,n=.
∴答案: D 6.已知O为坐标原点,为 . 答案:(11,6) ·(3,0)=6,故选D.
=(3,1),=(-1,2),,则满足的向量的坐标
7.设O为原点,已知点A(a,0),B(0,a)(a>0),点P在线段AB上,且为 . 解析:·(
)=·(
=t(0≤t≤1),则的最大值
+t)=+t=a2+t(a,0)·(-a,a)=a2+t(-a2+0)=(1-t)a2.
∵0≤t≤1,∴0≤1-t≤1, ∴答案:a
8.以原点及点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB,使∠B=90°,求点B和向量
的坐标.
2
的最大值为a.
2
解:如图,设点B的坐标为(x,y),则
=(x,y),=(x-5,y-2).
∵精品推荐
,
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∴x(x-5)+y(y-2)=0,
即x+y-5x-2y=0.
2
2
∵||=||,
∴x2+y2=(x-5)2+(y-2)2,
即10x+4y=29.
解方程组
得
∴点B的坐标为;
当点B的坐标为时,;
当点B的坐标为时,.
综上,点B的坐标为,
或点B的坐标为.
|a-kb|(k>0).
★9.已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),且|ka+b|=(1)用k表示数量积a·b;
(2)求a·b的最小值,并求此时a,b的夹角θ. 解:(1)由|ka+b|=2
|a-kb|,
2
得(ka+b)=3(a-kb),
∴k2a2+2ka·b+b2=3a2-6ka·b+3k2b2. ∴(k2-3)a2+8ka·b+(1-3k2)b2=0. ∵|a|=1,|b|=1, ∴k2-3+8ka·b+1-3k2=0,
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∴a·b=.
(2)由(1),得a·b=,由函数的单调性的定义,易知f(k)=在(0,1]上单调
递减,在[1,+∞)上单调递增,故当k=1时,a·b的最小值为f(1)=×(1+1)=.此时a,b的夹角为θ,
则cos θ=★10.
,∴θ=60°.
如图,
=(6,1),=(x,y),=(-2,- 3),.
(1)求x与y的关系式; (2)若解:(1)∵,求x,y的值及四边形ABCD的面积.
=(6,1)+(x,y)+(-2,-3)=(x+4,y-2),
=-=(-x-4,2-y). =(x,y),
∴∵∴x(2-y)-(-x-4)y=0, ∴x与y的关系式为x+2y=0.
(2)因为
=(6,1) +(x,y)=(x+6,y+1),
,∴=(x,y)+(-2,-3)=(x-2,y-3).
∵=0,
即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0. 又由(1)的结论x+2y=0,
得(6-2y)(-2y-2)+(y+1)(y-3)=0. 化简,得y-2y-3=0.
2
∴y=3或y=-1.
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①当y=3时,x=-6,于是∴||=4,||=8.
=(-6,3),=(0,4),=(-8,0).
∴S四边形ABCD=②当y=-1时,x=2,
于是有
|||=16.
=(2,-1),|=8,||=4.
=(8,0),=(0,-4),
∴|∴S四边形ABCD=|||=16.
综上,
四边形ABCD的面积为16.
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