空间向量期末复习
知识要点:
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
? ? ????????????????????????? ??????OB?OA?AB?a?b;BA?OA?OB?a?b;OP??a(??R)
????运算律：⑴加法交换律：a?b?b?a
??????⑵加法结合律：(a?b)?c?a?(b?c)
????⑶数乘分配律：?(a?b)??a??b
????向量或平行向量，a平行于b，记作a//b。
??????当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同
一直线，也可能是平行直线。
3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线
????????（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b存在实数λ，使a＝λb。
?????（2）共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的条件是存在实数
???x,y使p?xa?yb。
????5. 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个
????唯一的有序实数组x,y,z，使p?xa?yb?zc。
?????????若三向量a,b,c不共面，我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空
间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数
4. 共面向量
（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。
????????????????x,y,z，使OP?xOA?yOB?zOC。
6. 空间向量的数量积。
??（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作?????????????????AOBa则叫做向量与b的夹角，记作?a,b?；且规定0??a,b???，OA?a,OB?b，???????????a?a,b??显然有?a,b???b,a?；若，则称与b互相垂直，记作：a?b。
2???????????|a|。（2）向量的模：设OA?a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：
????????（3）向量的数量积：已知向量a,b，则|a|?|b|?cos?a,b?叫做a,b的数量积，记
1
????????作a?b，即a?b?|a|?|b|?cos?a,b?。
（4）空间向量数量积的性质： （5）空间向量数量积运算律：
????????????①a?e?|a|cos?a,e?。②a?b?a?b?0。③|a|2?a?a。
??????????①(?a)?b??(a?b)?a?(?b)。②a?b?b?a（交换律）。
???????③a?(b?c)?a?b?a?c（分配律）。
7.空间向量的坐标运算： (1).向量的直角坐标运算
??设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)则
????(1) a＋b＝(a1?b1,a2?b2,a3?b3)； (2) a－b＝(a1?b1,a2?b2,a3?b3)；
???(3)λa＝(?a1,?a2,?a3) (λ∈R)； (4) a·b＝a1b1?a2b2?a3b3；
????????????(2).设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB?OB?OA= (x2?x1,y2?y1,z2?z1).
rr(3).设a?(x1,y1,z1)，b?(x2,y2,z2)，则
???|a|2?a?a=x12?y12?z12
rrrrrrrrrraPb?a??b(b?0)； a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?z1z2?0.
??(4).夹角公式 设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，
a1b1?a2b2?a3b3??则cos?a,b??. 222222a1?a2?a3b1?b2?b3(5)．异面直线所成角
rrrr|a?b|cos??|cosa,b|=rr?|a|?|b||x1x2?y1y2?z1z2|x?y?z?x2?y2?z2212121222.
(6).直线和平面所成的角的求法
如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝
|n·e|
. |n||e|
(7). 二面角的求法
(1)如图①，AB，CD是二面角α -l -β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ
????????＝〈AB，CD〉．
(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α -l -β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉．
cos??cos?n1,n2??练习题：
n1n2n1n2
1．已知a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)且a·b＝2，则x的值是( )
2
A．3 B．4 C．5 D．6
2．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，则( )
15
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝ 215
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝ 2
→→
3．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝3，且a分别与AB，AC垂直，则向量a为( ) A．(1,1,1)
B．(－1，－1，－1)
C．(1,1,1)或(－1，－1，－1) D．(1，－1,1)或(－1,1，－1)
4．若a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)，则|a－2b|＝________. 5．如图所示，
11
已知正四面体ABCD中，AE＝AB，CF＝CD，则直线DE和BF所成角的余弦值为
44
________． 4.258
解析 ∵a－2b＝(8，－5,13)，
∴|a－2b|＝82＋?－5?2＋132＝258. 45. 13
解析 因四面体ABCD是正四面体，顶点A在底面BCD内的射影为△BCD的垂心，所以有BC⊥DA，AB⊥CD.设正四面体的棱长为4， →→→→→→则BF·DE＝(BC＋CF)·(DA＋AE)
→→→→＝0＋BC·AE＋CF·DA＋0 ＝4×1×cos 120°＋1×4×cos 120°＝－4， BF＝DE＝42＋12－2×4×1×cos 60°＝13， 所以异面直线DE与BF的夹角θ的余弦值为：
cos θ＝＝
4. 13
????????????6.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
????(1)AP； ?????(2)A1N；
3
?????????(3)MP＋NC1.
解：(1)∵P是C1D1的中点， ??????????????????∴AP＝AA1＋A1D1＋D1P ????1??????＝a＋AD＋D1C1
2?1???＝a＋c＋AB
2
1
＝a＋c＋b.
2
(2)∵N是BC的中点，
??????????????????1???AB∴A1N＝A1A＋＋BN＝－a＋b＋BC
2
1????1
＝－a＋b＋AD＝－a＋b＋c.
22(3)∵M是AA1的中点，
????????????1????????∴MP＝MA＋AP＝A1A＋AP
2
1111
a＋c＋b?＝a＋b＋c， ＝－a＋?2?222????????????????????1???又NC1＝NC＋CC1＝BC＋AA1
2
1????????1
＝AD＋AA1＝c＋a， 22
?????????111
a＋b＋c?＋?a＋c? ∴MP＋NC1＝??22??2?
313
＝a＋b＋c. 222
7.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．
(1)求证：DE∥平面ABC； (2)求证：B1F⊥平面AEF.
证明：以A为原点，AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，令AB＝AA1＝4，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B1(4,0,4)，D(2,0,2)，A1(0,0,4)，
4
????????(1)DE＝(－2,4,0)，平面ABC的法向量为AA1＝(0,0,4)， ????????∵DE·AA1＝0，DE?平面ABC，
∴DE∥平面ABC.
?????????(2)B1F＝(－2,2，－4)，EF＝(2，－2，－2)，
?????????EF＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， B1F·
?????????∴B1F⊥EF，B1F⊥EF， ?????????B1F·AF＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0， ?????????∴B1F⊥AF，∴B1F⊥AF. ∵AF∩EF＝F，∴B1F⊥平面AEF.
8.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：
(1)CM∥平面PAD； (2)平面PAB⊥平面 PAD.
证明：以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.
∵PC⊥平面ABCD，
∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角， ∴∠PBC＝30°，
∵PC＝2，∴BC＝23，PB＝4，
∴D(0,1,0)，B(23，0,0)，A(23，4,0)，P(0,0,2)，M?????????DPDA∴＝(0，－1,2)，＝(23，3,0)，
33?
，0，，
2??2
??????33?CM＝，0，.
2??2
5
