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答案：解：（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC+BC=AB，
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即：（4x）+（3x）=10，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm； （2）①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H，
∵AP=x，∴BP=10﹣x，BQ=2x，∵△QHB∽△ACB，
QHQB1，∴QH=错误！未找到引用源。x，y=错误！未找到引用源。BP?QH=（10﹣x）?2ACAB42
?错误！未找到引用源。x=﹣x+8x（0＜x≤3），
5∴
②当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′，
∵AP=x，
∴BP=10﹣x，AQ=14﹣2x，∵△AQH′∽△ABC，
AQQH'14?xQH'??∴，即：错误！未找到引用源。，解得：QH′=错误！未找到引ABBC106用源。（14﹣x）， ∴y=
1133236PB?QH′=（10﹣x）?（14﹣x）=x﹣x+42（3＜x＜7）； 225105?42?x?8x(0?x?3)??5∴y与x的函数关系式为：y=?错误！未找到引用源。；
336?x2?x?42(3?x?7)?5?10（3）∵AP=x，AQ=14﹣x，
∵PQ⊥AB，∴△APQ∽△ACB，∴用源。，
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APAQPQx14?xPQ???，即：?错误！未找到引ACABBC810614561434PQ321BC解得：x=，PQ=，∴PB=10﹣x=，∴错误！未找到引用源。， ???34939PB17AC9∴当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC不相似；
（4）存在．
理由：∵AQ=14﹣2x=14﹣10=4，AP=x=5，∵AC=8，AB=10， ∴PQ是△ABC的中位线，∴PQ∥AB，∴PQ⊥AC，
∴PQ是AC的垂直平分线，∴PC=AP=5，∴当点M与P重合时，△BCM的周长最小， ∴△BCM的周长为：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16．∴△BCM的周长最小值为16．
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