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空间几何体及其表面积和体积
【学习目标】
1．掌握空间几何体的有关概念．
2．掌握空间几何体的侧面积及体积的计算方法．
3．复杂的几何体都是由简单几何体组成的，要注意“割”与“补”等方法的应用，注意改变几何体的观察角度，得到最佳求积法，注意等积变形的应用． 【知识梳理】 1．多面体和旋转体
（1）由若干个 平面多边形 围成的几何体，叫做多面体，围成多面体的 平面多边形 ，叫做多面体的面，相邻两个面的 公共边 叫做多面体的棱，棱与棱的 公共点 叫做多面体的顶点．
（2）有一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的 几何体 叫做旋转体，定直线叫做旋转体的 旋转轴 ． 2．棱柱
（1）概念：由一个平面多边形沿某一个方向平移形成的空间几何体叫做棱柱.平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面．
（2）特点：两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形． （3）分类：按底面多边形的边数分类为 三棱柱 ，四棱柱 ，五棱柱 ，… 3．棱锥
（1）概念：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥． （2）特点：底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．
4．圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱， _这条直线_叫做圆柱的轴； 垂直于轴的边 旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； 不垂直于轴的边 旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱的 母线 ，圆柱和棱柱统称为 柱体 ．
5．圆锥：以直角三角形的一条 直角边 所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆锥.棱锥与圆锥统称为 锥体 ． 6．棱台与圆台：
（1）用一个 平行于棱锥底面 的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台．_截面
1
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与原棱锥底面_分别叫做棱台的下底面和上底面，两底面间的距离叫做棱台的高．棱台也有侧面，侧棱，顶点，棱台侧棱的延长线必相交于一点．
（2）用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分，叫做圆台.与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴，底面、侧面、母线，棱台和圆台统称为台体．
7．球：以半圆的 直径 所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球的 球心 ，半圆的半径叫做球的 半径 ，半圆的直径叫做球的 直径 ． 8．面积和体积：（1）柱体的体积= ，直柱体侧面积 = ． （2）锥体的体积= ，圆锥的侧面积= ，正棱锥的侧面积=_________．
（3）球的表面积= ，体积= ．
【基础训练】
1．一个直角三角形绕斜边旋转一周形成的空间几何体是 ． 2．下列所有正确命题的标号是_____________________．
(1) 棱柱的底面一定是平行四边形 (2) 棱锥的底面一定是三角形 (3)棱台的底面一定是两个相似的正方形 (4) 棱台的侧棱延长后必交于一点 3．棱长都为1的正三棱锥的全面积为 ，体积为 ，直三棱柱的各棱都相等，侧面积为36，则它的高为 ． 4．若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面积等于_________．
5．已知正三棱锥S?ABC，D，E分别是底面边AB，AC的中点，则四棱锥S?BCED与三棱锥S?ABC的体积之比为 ．
6．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积为 ． 7．若一个球的体积为43π，则它的表面积为 ． 8．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图 如右图所示，则该凸多面体的体积V? ．
9．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于_________________．
10．两个相同的正四棱锥组成如图(1)所示的几何体，可放入如图(2)所示棱长为1的正方体
内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一
2
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个面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有 ．
【典型例题】
例1．长方体的底面积是4，对角线长是4，求长方体侧面积的最大值长方体的底面积是4，
对角线长是4，求长方体侧面积的最大值．
例2．如图，一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，
并向容器内注水，使水面恰好与铁球面相切，将球取出后，容器内的水深是多少？
例3．如图，已知三棱锥A-BCD的底面是等边三角形，三条侧棱长都等于1，∠BAC = 30°，
M，N分别在棱AC和AD上，求BM + MN + NB的最小值．
3
A M N
B
O1 O
M
A C B D
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例4．在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1 = a，底面ABCD是边长AB = 2a， BC = a的矩
形，E为C1D1的中点，求三棱锥 B1-BDE的体积．
A
D
B
C
A1
D1
E B1
C1
第1课时 空间几何体及其表面积和体积课后作业
1．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为2，2，3，则此球的表面积为 ．
4
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2．正四棱台的上、下底面均为正方形，它们的边长分别为2cm和6cm，两底面之间的距离为2cm，则该棱台的侧棱长为 cm．
3．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是
．
4．等体积的球与正方体，它们的表面积的大小关系是 ．
5．正方体的棱长为2，则以该正方体的各个面的中心为顶点的多面体体积为 ．
6．如图，模块①~⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①~⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体，则下列选择方案中，能够完成任务的模块是 ．
7．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm，求该棱柱的表面积．
8．如图，圆柱内有一个内接长方体AC1，长方体的对角线为102，圆柱的侧面展开图为矩形，此矩形面积为100π，求圆柱的体积．
C1
5
A
