第4讲 数列求和
一、选择题
1.在等差数列{an}中，a2?1,a4?5,则{an}的前5项和S5=( ) A.7 B.15 C.20 D.25
解析
a2?1,a4?5?S5?a1?a5a?a4?5?2?5?1522.
n答案 B
2．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝( )． A．15
B．12
C．－12
D．－15
解析 设bn＝3n－2，则数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝(－b1)＋b2＋…＋(－b9)＋b10＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b10－b9)＝5×3＝15. 答案 A
3．在数列{an}中，an＝A．2 011 解析 ∵an＝答案 C
4．数列{an}满足an＋1＋(－1)an＝2n－1，则{an}的前60项和为( )． A．3 690
B．3 660
C．1 845
D．1 830
nn1
n＋2 013
，若{an}的前n项和为，则项数n为( )．
2 014
C．2 013
D．2 014
B．2 012 1n＋
n111n2 013＝－，∴Sn＝1－＝＝，解得n＝2 013. nn＋1n＋1n＋12 014
解析 当n＝2k时，a2k＋1＋a2k＝4k－1， 当n＝2k－1时，a2k－a2k－1＝4k－3， ∴a2k＋1＋a2k－1＝2，∴a2k＋1＋a2k＋3＝2， ∴a2k－1＝a2k＋3，∴a1＝a5＝…＝a61.
∴a1＋a2＋a3＋…＋a60＝(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a60＋a61)＝3＋7＋11＋…＋(4×30－1)＝答案 D
1
5. 已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，令bn＝(a1＋a2＋…＋an)，则数列{bn}的前10项
＋2
＝30×61＝1 830.
n和T10＝( )
A．70 B．75 C．80 D．85
1
解析 由已知an＝2n＋1，得a1＝3，a1＋a2＋…＋an＝则bn＝n＋2，T10＝答案 B
＋2
＝75，故选B.
＋2n＋2
＝n(n＋2)，
1*
6．数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N)，且a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝( )．
221A. 2
B．6
C．10
D．11
1
解析 依题意得an＋an＋1＝an＋1＋an＋2＝，则an＋2＝an，即数列{an}中的奇数项、偶数项分
2别相等，则a21＝a1＝1，S21＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20)＋a21＝10(a1＋a2)＋a211
＝10×＋1＝6，故选B.
2答案 B 二、填空题
1
7．在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝
2________.
解析 设等比数列{an}的公比为q，则a4＝a1q，代入数据解得q＝－8，所以q＝－2；11n－1
等比数列{|an|}的公比为|q|＝2，则|an|＝×2，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝
22(1＋2＋2＋…＋2答案 －2 2
n－1
2
3
3
n－1
1n1n－1
)＝(2－1)＝2－. 22
1
－ 2
n2
2
2
8．等比数列{an}的前n项和Sn＝2－1，则a1＋a2＋…＋an＝________. 解析 当n＝1时，a1＝S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2－1－(2又∵a1＝1适合上式．∴an＝2
2
2
nn－1
－1)＝2
n－1
n－1
，
n－1
，∴an＝4
2
.
∴数列{an}是以a1＝1为首项，以4为公比的等比数列． ∴a＋a＋…＋an＝1n答案 (4－1)
3
9．已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列?
项和Sn＝________.
??bnbn＋1?
21
22
2
－41－4
n1n＝(4－1)． 3
1?
?的前n 2
解析 设等比数列{an}的公比为q，则＝q＝27，解得q＝3.所以an＝a1q＝3，故bn＝log3an＝n， 所以
1
na4a1
3n－1
＝3×3
n－1
bnbn＋1n＝
1n＋11＝－. nn＋1
111111n则Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝. 223nn＋1n＋1n＋1答案
nn＋1
x4?1??2??10?10．设f(x)＝x，利用倒序相加法，可求得f??＋f??＋…＋f??的值为________． 4＋2?11??11??11?
4x14x22×4x1＋x2＋x1＋4x2
解析 当x1＋x2＝1时，f(x1)＋f(x2)＝＋＝＝
4x1＋24x2＋24x1＋x2＋x1＋4x2＋41.
?1??2??10?倒序相加有2S＝?f?1?＋f?10??＋?f?2?＋f?9??＋…
设S＝f??＋f??＋…＋f??，??11??11????11??11??
?11??11??11??????????????10??1?＋f??＋f??＝10，即S＝5. ?11??11?
答案 5 三、解答题
11．等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2
＝64，b3S3＝960.
(1)求an与bn； 111(2)求＋＋…＋.
S1S2Sn解 (1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正数，an＝3＋(n－1)d，bn＝q??S2b2＝
依题意有?
??S3b3＝
n－1
.
＋dq＝64，
2
＋3dq＝960，
??d＝2，
解得?
??q＝8
??
或?40
q＝.??3
d＝－，6
5
(舍去)
故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8
n－1
.
(2)Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)， 111111所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋
S1S2Sn1×32×43×5n
1
n＋
3
＝1?2??1－13＋1111
112－4＋3－5＋…＋n－n＋2???
＝1?2??1＋1
2－1n＋1－1n＋2???
＝32n＋34
－n＋n＋
. 12．已知数列{a}的前n项和为S＝1
nn，且a1＝1，an＋12Sn(n＝1,2,3，…)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设b3
?1?n＝log2(3an＋1)时，求数列?
?b?的前n项和Tn. nbn＋1?
??an＋1
＝1
2
Sn，解 (1)由已知得?
??an＝1
2Sn－1
n，
得到a3
n＋1＝2
an(n≥2)．
∴数列{a3
n}是以a2为首项，以2为公比的等比数列．
又a111
2＝2S1＝2a1＝2
，
∴a＝a?3?2?n－21?
?32×??＝2??2??n－2
n?(n≥2)．
?1，n＝1，又a＝1不适合上式，∴a?
1n＝??1??2?3?2??n－2
?，n≥2.
(2)b＝log33n?3?3?n－1?
2(3an＋1)＝log2??2·??2????＝n.
∴
1
b＝1＋n＝1n－1
nbn＋1n1＋n. ∴T1＋1
＋1n＝
b＋…＋1
1b2b2b3b3b4bnbn＋1
＝??11?1－2???＋??11?2－3???＋??111?3－4???＋…＋??1
?n－1＋n??? ＝1－1n1＋n＝n＋1
. 13．设数列{an}满足a1＋3a2
n－1
2＋3a3＋…＋3a＝nn3
，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项；
4
