实验九 用Mathematica软件求函数偏导数与多元函数的极值
实验目的:
掌握用Mathematica软件求函数偏导数与全微分、多元函数的极值的语句和方法。
实验过程与要求:
教师利用多媒体组织教学,边讲边操作示范。
实验的内容:
一、求偏导数
在Mathematica系统中与求一元函数导数类似用D函数求函数f的偏导数，基本格式为：
D[f,{变量,n}] 给出对变量的n阶偏导数. D[f,变量1,变量2，…] 给出高阶混合偏导数.
实验 求z?sinx?xcosy的两个一阶偏导数和四个二阶偏导数. 解 In[1]:=Clear[x,y]
In[2]:=f[x_,y_]:=Sin[x]+x*Cos[y] In[3]:=D[f[x,y],x] In[4]:=D[f[x,y],y] In[5]:=D[f[x,y],{x,2}] In[6]:=D[f[x,y],{y,2}] In[7]:=D[f[x,y],x,y] In[8]:=D[f[x,y],y,x] Out[3]= Out[4]= Out[5]= Out[6]= Out[7]= Out[8]=
二、求全微分
在Mathematica系统中与求一元函数微分类似用Dt函数求函数f的全微分，基本格式为：
Dt[f]
实验 求函数z?x3?y3?xy?9x?6y?20的全微分. 解 In[9]:=Dt[x^3+y^3-x*y+9x-6y+20]
Out[9]=
三、求多元函数的极值
在Mathematica系统中与求一元函数极小值类似用FindMinimum函数求多变量函数f的极小值，基本格式为：
FindMinimum [f,{x,x0}，{y, y0},…]
其中{ x0，y0，…}为初始值，表示求出的是f在（x0，y0，…）附近的极小值.因此，一般需借助于Plot3D函数先作出函数的图象，由图象确定初始值，再利用FindMinimum求出f在（x0，y0，…）附近的极小值.
仍用FindMinimum函数求函数的极大值，基本格式为：
FindMinimum [-f,{x,x0}，{y, y0},…]
其中{ x0，y0，…}为初始值，表示求出的是-f在（x0，y0，…）附近的极小值，设为W，实际上间接地求出了f在（x0，y0，…）附近的极大值，为-W.
实验 求函数z?x2?y2?xy?9x?6y?20的极值.
解 In[10]:=Clear[f,x,y]
In[11]:=FindMinimum[x^2+y^2+9*x-x*y-6y+20,{x,-4},{y,-4}] In[12]:=Plot3D[x^2+y^2+9*x-x*y-6y+20,{x,-4,5},{y,-4,5}] Out[11]=
表示z在x=-4,y=1处取得极小值-1 该函数无极大值. 图形如图
150100500-4-2024-4-2204
实验
1.求下列函数的偏导数：(1)z?exy?yx2(3)z?x?yx?y
2.求下列函数的全微分：(1)z?ex?2y(3)z?arcsin(xy)3.求二元函数的极值：(1)z?（4x?y)?x2?y2(2)z?x3?y3?3x2?3y2?9x(2)z?x2?y2(4)z?(x2?y2)ln(x?y)
(2)z?xy(4)z?(x2?y2)ln(x?y)
