证 首先, 设列矩阵η是方程组b Ax =的特解, 列矩阵ξ是其导出组0=Ax 的特解, 则有
b b A A A =+=+=+0)(ηξηξ, 即列矩阵ηξ+是方程组b Ax =的解.
其次, 设列矩阵ζ是方程组b Ax =的任意的特解, 根据性质3.4, 列矩阵ηζξ-=是导出组0=Ax 的解. 移项, 得ξηζ+=, 即方程组b Ax =的任意的特解ζ可以表示为它的取定的特解η与导出组0=Ax 的解ξ的和. 综合两方面, 即得本推论.
注意 求非齐次线性方程组的通解, 只须求出它的一个特解, 以及它的导出组的通解. 而后面的问题已经解决.
在齐次线性方程组的解题路线中, 用增广矩阵代替系数矩阵, 得非齐次线性方程组的解题路线. 现举例说明.
例 3.10 求非齐次线性方程组
???????=-+++-=-+++-=-----=+++13
33453
3237246225432154321543215432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解. 解 首先写出方程组的增广矩阵
??????
? ??---------1313345331123711
1112462210. 然后做行初等变换, 由增广矩阵产生行阶梯形阵.
??????? ?
?---------13133453311232462210
711111??????? ?
?------?→?0000000000002462210711111r . 继续做行初等变换, 得到增广矩阵的行等价标准形.
??????? ?
?-0000000000002462210
1751101??????
? ??----?→?00000000000024622101751101r . 从行等价标准形得到同解方程组???
????===+++-=---00002462217
554325431x x x x x x x x . 将自由未知数移到右边, 得???
????==+---=-++=00002462217
554325431x x x x x x x x . 将自由未知数取值0, 计算约束未知数的
值, 即得非齐次方程组的一个特解)0,0,0,24,17('-=η.
根据推论 3.3, 还需要求它的导出组的基础解系. 注意到: 如果删除增广矩阵的最后一列, 就是系数矩阵. 在做行初等变换之后, 如果删除增广矩阵的行等价标准形的最后一列, 也就是系数矩阵的行等价标准形. 于是, 如果将非齐次方程组的同解方程组的常数项变成0, 就是它的导出组的同解方程组. 用前面的方法, 得基础解系
)0,0,1,2,1(1'-=ξ, )0,1,0,2,1(2'-=ξ,
)1,0,0,6,5(2'-=ξ.
于是, 非齐次线性方程组的通解的矩阵表示为332211ξξξηk k k x +++=, 其中321,,k k k 是任意常数.
例 3.11 解非齐次线性方程组
???????=-+++-=-+++-=-----=+++13334523237246225432154321543215432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x .
解 这个方程组的增广矩阵为
??????? ?
?---------1313345331123711
1112462210. 通过行初等变换, 得到行阶梯形阵
??????? ??------0000001000002462210
711111. 在这里, 有一个非零行的首元素在最后一列. 当从行阶梯形阵出发, 得同解方程组时, 该行对应矛盾方程: 10=. 因此, 同解方程组无解. 于是, 原线性方程组无解. 反之, 如果不出现这种情况, 则用前面的方法可以求出通解.
于是, 非齐次线性方程组有解的充分必要条件为: 它的增广矩阵的行阶梯形阵的非零行的首元素不出现在最后一列(常数项). 下面的定理用矩阵的秩表述这个结论.
定理 3.6 非齐次线性方程组有解的充分必要条件为: 它的系数矩阵的秩等于它的增广矩阵的秩.
证 在增广矩阵的行阶梯形阵中, 首元素不出项在最后一列的充分必要条件为: 增广矩阵的行阶梯形阵的非零行的个数等于系数矩阵的行阶梯形阵的非零行的个数. 由推论 3.1, 即系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.
推论 3.5 非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件为: 它的系数矩阵的秩等于其列数, 且等于增广矩阵的秩.
证 综合定理3.6和推论3.2即可. 例 3.12 当b a ,取何值时, 非齐次线性方
程组???????-=+++=--+-=++=+++1
232)3(122043214324324321ax x x x b
x x a x x x x x x x x 有唯一解, 无解, 有无穷多解? 对后者求通解.
解 对增广矩阵做行初等变换, 得
??????
? ??----112323101221
001111a b a ??????
? ??-------?→?1321023101221001111a b a r ????
??
? ??-+-?→?01000101001221001111a b a r ??????
? ??-+----?→?01000101001221011101a b a r 根据定理3.6, 当1,1-≠=b a 时无解. 当1,1-==b a 时, 非齐次线性方程组的特解为)0,0,1,1('-=η, 导出组的基础解系为)0,1,2,1(1'-=ξ, )1,0,2,1(2'-=ξ，通解为
