已知0≠k , 因此0=s s D k 的充分必要条件为0=s D .
设r A =)rank(, 则A 有一个r 阶子式不等于0, 而所有1+r 阶子式都等于0. 根据前面的分析, 矩阵kA 具有相同的性质. 因此, r kA =)rank(.
二 行初等变换
用定义计算矩阵的秩时, 需要计算许多个行列式. 计算量非常大.
定理3.4 设矩阵A 与B 行等价, 则rank()rank()A B =.
证 设一次行初等变换将矩阵A 变成矩阵B ，且r A =)rank(, 则A 的所有1+r 阶子式都等于0. 下面对于三种行初等变换证明矩阵B 的所有1+r 阶子式也都等于0.
(1) 矩阵A 的一行乘以非零常数k . 此时B 的一个1+r 阶子式或者就是A 的相同位置的1+r 阶子式, 或者是A 的相同位置的1+r 阶子式的一行乘以非零常数k . 于是, B 的所有1+r 阶子式都等于0.
(2) 交换矩阵A 的两行. 考虑B 的一个1+r 阶子式D , 则A 有一个1+r 阶子式与D 的差别至多是行的顺序不同. 于是, B 的所有1+r 阶子式都等于0.
(3) 将A 的第j 行的k 倍加到第i 行. 如果B 的一个1+r 阶子式不包含A 的第i 行, 它就是A 的相同位置的1+r 子式. 如果B 的一个1+r 阶子式D 包含A 的第i 行, 用行列式的性质, 这个子式可以分解为21kD D +, 其中1D 就是A 的相同位置的1+r 子式. 如果D 不包含A 的第j 行, 则2D 可以由A 的某个1+r 阶子式经交换行得到. 如果D 包含A 的第j 行, 则2D 有两个
相同的行. 于是, B 的所有1+r 阶子式都等于0.
总之, )rank()rank(A r B =≤.
另一方面, 由矩阵的行等价的对称性, 也可以用行初等变换将矩阵B 变成矩阵A . 从而还有)rank()rank(B A ≤. 于是, 无论做哪种行初等变换, 都有rank()rank()A B =.
最后, 由矩阵的行等价的传递性, 进行多次行初等变换也不改变矩阵的秩.
推论 3.1 矩阵的秩等于它的行阶梯形阵中非零行的个数, 也就是行等价标准形中非零行的个数.
证 设矩阵A 的行等价标准形R 中恰有r 个非零行, 则所有1+r 阶子式都等于0. 另一方面, 它的非零行的首元素所在的列的前r 行构成r 阶单位阵. 于是r R =)rank(. 根据定理 3.4, 有r A =)rank(.
例3.6 求矩阵??????
? ??-----=7931181332111511A 的秩. 解 用行初等变换, 得
??????? ??-----=7931181332111511A ?→?r ??????? ??-----81440472047201511?→?r ??????
? ??---0000000047201511. 矩阵A 的行阶梯形阵有两个非零行, 因此, 2)rank(=A .
例3.7 设分块矩阵???
? ??=C O O B A , 求证: )rank()rank()rank(C B A +=. 证 设矩阵C B ,的行等价标准形分别为R 和S , 分别对B 和C 所在的行做行初等变换, 得
???? ??=C O O B A ???
? ???→?S O O R r ,
其中R 和S 分别是B 和C 的行等价标准形. 将R 所在的行中的零行移动到矩阵的最下方, 而不改变非零行的上下顺序, 可得到一个行最简阵. 而且, 这就是A 的行等价标准形. 于是, A 的行等价标准形中非零行的个数恰等于B 与C 的行等价标准形中非零行的个数之和.
用这个方法可以证明: 准对角阵的秩等于各对角块的秩的和.
习题3-2
1. 设矩阵???
? ??=75211111A ，按照从小到大的顺序排列它的所有二阶子式. 2. 设n m ?矩阵A 的秩等于r , 任取A 的s 行构成矩阵B , 求证: m s r B -+≥)rank(. *3. 设A 是n m ?矩阵，求证：1)rank(=A 的充分必要条件为: 存在1?m 非零矩阵B 与n ?1非零矩阵C ，使得BC A =.
4. 用行初等变换求下列矩阵的秩.
(1) 123235471?? ?- ? ??
?; (2) 321322131345561---?? ?-- ? ?--??; (3) 101001
1000011000
011001011?? ? ? ? ? ? ???
; (4) 132541413514243273613-?? ? ? ? ?-??. 5. 求t 的值, 使得方阵????
? ?
?-=t A 2331
2231的秩等于2.
第三节 齐次线性方程组的基础解系
齐次线性方程组的矩阵表示为0=Ax . 此时方程组与其系数矩阵A 互相唯一确定.
齐次线性方程组0=Ax 总有零解. 于是, 解齐次线性方程组的基本问题是:
(1) 对给定的齐次线性方程组，判定是否有
非零解;
(2) 如果有非零解, 求出所有的解(通解). 性质 3.3 如果列矩阵1ξ与2ξ是齐次线性方程组0=Ax 的两个特解, 则对于任意的数k h ,, 列矩阵21ξξk h +也是方程组的解. 证 将21ξξk h +代入方程组, 得
)(21ξξk h A +00021=+=+=ξξkA hA . 由定理3.2与定理3.3可得解齐次线性方程组的基本路线. 下面通过例题予以说明. 例1求齐次线性方程组
???????=-+++=-+++=-----=+++0
434503223006225432154321543215432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解. 解 首先写出方程组的系数矩阵.
??????
? ?
?-------=14345321231111162210A . 然后做行初等变换, 由矩阵A 产生行阶梯形阵. ??????? ??-------143453212362210
11111
??????? ?
?-----?→?00000010006221011111r . 继续做行初等变换, 得到矩阵A 的行等价标准形.
??????? ?
?-000000100060210
50101??????
? ??--?→?00000010006021050101r . 从行等价标准形得到同解方程组
???????===++=--0000620
54532531x x x x x x x .
将行等价标准形的非零行中的首元素对应的未知数留在方程组的左边, 将其余未知数移
到方程组的右边, 得到???
????==--=+=0006254532531x x x x x x x . 任意取定右边未知数(自由未知数)的值, 则左边未知数(约束未知数)的值也随之确定, 由此产生方程组的一个解.
实际上，由此可以得到方程组的全部解. 设),,,,(54321'd d d d d 是方程组的任意的特解, 上面求解时3x 与5x 可以任意取值, 自然包含取值33d x =与55d x =. 由于),,,,(54321'd d d d d 是方程组的解, 必须满足方程组.
因此
5315d d d +=,53262d d d --=,04=d . 于是, 这个特解可以由上面的方法产生. 令h x =3,k x =5, 得到齐次线性方程组的通解k h x 51+=,k h x 622--=,h x =3, 04=x , k x =5, 其中k h ,是任意常数.
在通解中令1=h ,0=k , 得到齐次线性方程组的一个特解1(1,2,1,0,0)ξ'=-. 反之, 令0=h ,1=k , 得到另一个特解2(5,6,0,0,1)ξ'=-. 从而得到齐次线性方程组的通解的矩阵表示: 12x h k ξξ=+, 其中k h ,是任意常数. 为了得到方程组的通解, 只须求得特解1ξ与2ξ， 因此, 称12,ξξ为齐次线性方程组的基础解系.
注意 将一个自由未知数取1, 其他自由未知数取0, 得到齐次线性方程组的一个特解. 这些特解的集合就是基础解系. 因此, 如果有s 个自由未知数, 则方程组的基础解系包含s 个特解.
定理 3.5 设A 是n m ?矩阵, 则齐次线性方程组0=Ax 的基础解系中所包含的特解的个数等于)rank(A n -.
证 根据推论 3.1, 系数矩阵A 的秩等于行等价标准形R 中非零行的个数, 也就是约束未知数的个数. 于是, 未知数的个数n 与系数矩阵的秩)rank(A 的差等于自由未知数的个数, 也就是基础解系中所包含的特解的个数.
推论 3.2 齐次线性方程组只有零解的充分
必要条件为: 系数矩阵的秩等于它的列数. 证 根据定理 3.5, 此时没有自由未知数, 于是只有一个零解.
推论3.3 设A 是n 阶方阵，求证：齐次线性方程组0=Ax 只有零解的充分必要条件为: 行列式0||≠A .
证 根据推论3.2, 齐次线性方程组0=Ax 只有零解的充分必要条件为n A =)rank(. 由矩阵的秩的定义, n A =)rank(的充分必要条件为0||≠A .
例 3.9 设A 是n 阶方阵, 且n r A <=)rank(, 求证: 存在n 阶方阵B , 满足O AB =, 且r n B -=)rank(.
证 考虑齐次线性方程组0=Ax , 根据定理3.5, 它的r n -个特解12,,,n r ξξξ-组成基础解系. 即有0i A ξ=, r n i -=,,2,1 .
构造分块n 阶方阵12(,,,,0,,0)n r B ξξξ-=, 即B 的前r n -列是基础解系中的特解构成的列矩阵, 后面的r 个列的元素都是0. 由基础解系的构造, 在B 的前r n -列中, 与自由未知数对应的行可以构成一个单位阵, 因此r n B -=)rank(.
另一方面, 由分块矩阵的运算规则, 有
12(,,,,0,,0)n r AB A ξξξ-=12(,,,,0,,0)n r A A A O ξξξ-==.
习题3-3
1. 求下列齐次线性方程组的通解.
(1)
?????=+=++=+-03200231321321x x x x x x x x ; (2)?????=-+-+=+--+=-+-+024242052420632543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x ; (3)???????=-+++=+++=-+++=++++033450
622032305432154325432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ; （4）
???????=+-+-=-+--=-+-+=+-+-022520
22303220254321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x .
2. 设齐次线性方程组的系数矩阵的列数大于行数, 求证: 该方程组有非零解.
3. 当a 满足什么条件时, 齐次线性方程组?????=++=++=++00
0321321321x x x x ax x x x ax 只有零解?
4. 求a 的值, 使得齐次线性方程组?????=+-=++=++00
4202321321321x x x x x x x x ax 有非零解. 并求其基础解系.
5. 设0>n , 求证: n 次多项式至多有n 个两
两不同的零点.
第四节 非齐次线性方程组的通解
解非齐次线性方程组b Ax =的基本问题是:
(1) 对于给定的方程组, 判断是否有解;
(2) 如果有解, 求出全部解(通解). 定义 3.10 将非齐次线性方程组b Ax =中各方程的右边变成0, 得到的齐次线性方程组0=Ax 称为方程组b Ax =的导出组. 性质3.4 设列矩阵1η与2η是线性方程组b Ax =的两个特解, 则它们的差21ηηξ-=是它的导出组0=Ax 的解.
证 将21ηηξ-=代入导出组的左边, 得 )(21ηηξ-=A A 021=-=-=b b A A ηη. 推论 3.4 如果非齐次线性方程组有解, 则它的通解是它的一个特解与它的导出组的通解的和.
