第三章 线性方程组
第一节 线性方程组与矩阵的行等价
一 线性方程组
以前学过求解二元一次方程组与三元一次方程组的方法. 这里研究一般的一次方程组.
定义3.1 多元一次方程组???????=+++=+++=+++m
n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111称为线性方程组. 方程组有m 个方程, n 个未知数i x (1,2,,i n =), 而ij a (1,2,,i n =;m j ,,2,1 =)是未知数的系数, j b (m j ,,2,1 =)是常数项.
如果0=j b (m j ,,2,1 =), 则称为齐次线性方程组, 否则称为非齐次线性方程组. 数组n c c c ,,,21 是方程组的一个解, 如果用它们分别代替方程组中的未知数n x x x ,,,21 , 可以使方程组变成等式组. 方程组的全部解的集合称为方程组的通解. 相对于通解, 称方程组的一个解为特解.
定义3.2 如果两个线性方程组有相同的通解, 则称它们同解.
按照定义, 两个方程组同解是指它们的解的集合相等. 集合相等是一种等价关系, 因此方程组同解也是一种等价关系. 特别, 方程组同解具有传递性.
通过消元, 可将线性方程组变成比较简单的同解方程组, 从而得到原方程组的解.
例3.1 解线性方程组?????=++=++=+-52452132321
321321x x x x x x x x x .
解 从上向下消元, 得同解方程组1232332312243
x x x x x x -+=??-=??-=-?
. 这种方程组称为阶梯形方程组. 从下向上消元, 得同解方程组?????-=-=-=3102323
21x x x .
再除以第一个未知数的系数, 得线性方程组的解2/31-=x , 52=x , 33=x . 解线性方程组的基本方法是加减消元法. 求解过程中常用三种运算.
定义3.3 下列三种运算称为方程组的初等变换.
(1) 交换两个方程的位置;
(2) 用一个非零常数乘以一个方程;
(3) 将一个方程的k 倍加到另一个方程上去.
注意 如果用一种初等变换将一个线性方程组变成另一个线性方程组, 则也可以用初等变换将后者变成前者. 即初等变换的过程是可逆的.
定理3.1 用初等变换得到的新的线性方程组与原方程组同解.
证 先证明只进行一次初等变换.
首先如果一组数是原方程组的解, 则它满足方程组中的每一个方程. 此后, 无论进行的是哪种初等变换, 这组数也满足新方程组的每个方程, 因此是新方程组的解. 反之, 由于初等变换的可逆性, 新方程组的解也是原方程组的解. 因此, 两个方程组同解.
最后, 由于方程组同解的传递性, 进行任意多次初等变换所得方程组与原方程组同解.
二 矩阵的行等价
用矩阵乘法, 可以将线性方程组???????=+++=+++=+++m
n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111写作 11121121222212n n m m mn n a a a x a a a x a a a x ???? ??? ??? ??? ?????????????
? ??=m b b b 21, 称为线性方程组的矩阵表示. 其中n m ?矩阵)(ij a A =称为方程组的系数矩阵, 1?n 列矩阵),,,(21'=n x x x x 称为未知数(矩阵), 1?m 列矩阵),,,(21'=m b b b b 称为常数(矩阵). 此时, 线性方程组可以简写作b Ax =.
如果数组n c c c ,,,21 是线性方程组b Ax =的解, 令列矩阵12(,,,)n c c c ξ'=, 则有矩阵等式A b ξ=. 列矩阵12(,,,)n c c c ξ'=是方程组的解的矩阵表示.
将常数矩阵添加到系数矩阵上作为最后一列, 得到分块矩阵),(b A A =, 称为线性方程组的增广矩阵.
线性方程组与其增广矩阵是互相唯一确定的. 因此, 可以将方程组的语言翻译成矩阵的语言. 从线性方程组的初等变换, 产生矩阵的行初等变换的概念.
定义3.4 设A 是矩阵, 则下列三种运算称为对矩阵A 的行初等变换.
(1) 交换A 的两行;
(2) 用非零常数k 乘以A 的一行;
(3) 将A 的一行的k 倍加到另一行上去.
定义 3.5 如果通过行初等变换, 可以将矩阵A 变成矩阵B , 则称矩阵A 与B 行等价. 记作B A r
?→?
. 仿照定理3.1的证明, 可以得到下面的结果.
性质3.1 行等价是一种等价关系, 即具有下述性质. (1) 反身性: A A r ?→?
; (2) 对称性: 如果B A r ?→?
, 则A B r ?→?; (3) 传递性: 如果B A r ?→?
,C B r ?→?, 则C A r ?→?. 当一类对象具有多种不同的等价关系时，要用不同的符号予以区别. 矩阵的相等是一种等价
关系, 已经用等号表示为B A =. 作为矩阵的另一种等价关系, 行等价使用符号B A r ?→?
. 用矩阵的行等价的概念, 可以将定理3.1写作:
定理3.2 如果两个线性方程组的增广矩阵行等价，则这两个线性方程组同解.
通过初等变换, 可以从线性方程组产生一个阶梯形方程组. 换成矩阵的语言, 通过行初等变换, 可以从矩阵产生下面的具有特殊结构的矩阵.
如果矩阵中某行中所有元素都是0, 则称为零行, 否则称为非零行.
定义3.6 具有下面的性质的矩阵称为行阶梯形阵.
(1) 非零行在上, 零行在下;
(2) 每个非零行的第一个非零元素(首元素)在上面的非零行的首元素的右下方.
例3.2 用行初等变换化简矩阵????
? ??-=521451121312A .
解 做行初等变换, 得
????? ??-=521451121312A ????? ??---?→?343042201312r ????
? ??----?→?310042201312r .
经过消元, 得到的已经是行阶梯形阵. 继续消元, 得
????? ??----?→?310042201312r A ????? ??----?→?3100100208012r ????
? ??---?→?3100100203002r .
最后, 每行除以其首元素, 得
????? ??---?→?3100100203002r A ????
? ??-?→?310050102/3001r .
定义3.7 具有下列性质的行阶梯形阵称为行最简阵.
(1) 每个非零行的首元素等于1;
(2) 包含首元素的列的其它元素都是0.
在例3.2中, 最后得到的是行最简阵. 由以上的讨论, 可得下面的定理.
定理3.3 对于任意矩阵A , 存在一个行最简阵R , 使得A 与R 行等价.
如果矩阵A 与行阶梯形阵R 行等价，则称R 是A 的行阶梯形阵. 如果A 与行最简阵R 行等价, 则称R 为矩阵A 的行等价标准形.
其实, 例3.2中的矩阵就是例3.1中线性方程组的增广矩阵. 而矩阵的行初等变换的过程与线性方程组的初等变换的过程完全一样. 唯一的区别在于这里只有系数和常数, 没有未知数和等号. 由于增广矩阵与线性方程组可以互相唯一确定, 缺少未知数和等号完全不影响问题的解决.
习题3-1
1. 写出线性方程组???????=+++-=----=+-+=+++011232532242543214321
43214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的系数矩阵与增广矩阵, 并用消元法求解.
2. 设线性方程组的增广矩阵为???
?
? ??------168135542
2351312, 写出该线性方程组, 并用消元法求解.
3. 求下列矩阵的行等价标准形.
（1）102120313043-?? ?
? ?-??; (2) 0
2310
3430471-??
?- ? ?--?
?
; (3) 11343335412232033421--?? ?--
? ?
-- ? ?---??; (4) 2
31371
2
2432830237
43--??
?
--
?
?- ? ?-?
?
. 4. 求t 的值, 使得矩阵???
?
?
??-----t 22122351311321的行等价标准形恰有两个非零行.
第二节 矩阵的秩
一 矩阵的秩的定义
定义 3.8 设矩阵n m ij a A ?=)(, 从A 中任意选取k 行,k 列(},min{n m k ≤), 位于这些行与列的交叉点上的2
k 个元素按照原来的相对位置构成的k 阶行列式称为A 的一个k 阶子式.
例如, 位于矩阵???
?
? ??---=312097
10243
1A 的第一,三行, 第二，四列的二阶子式为133
22
3-=-.
一个n m ?矩阵有k
n k
m C C 个k 阶子式. 矩阵的每个元素都是它的一个一阶子式. 而n 阶方阵的行列式是它的唯一的n 阶子式.
定义3.9 如果矩阵n m ij a A ?=)(中有一个r 阶子式不等于零, 而所有1+r 阶子式都等于零, 则称矩阵A 的秩等于r . 记作r A =)rank(.
如果矩阵的所有1+r 阶子式都等于零, 根据行列式按照一行展开, 可以证明所有更高阶的子式也都等于零. 因此, 矩阵的秩等于它的不等于零的子式的最高阶数.
约定 对于零矩阵O , 约定0)rank(=O . 由矩阵的秩的定义, 可以得到下面简单事实: (1) 设A 是非零矩阵, 则1)rank(≥A ;
(2) 设A 是n m ?矩阵, 则},min{)rank(n m A ≤;
(3) n 阶方阵A 可逆的充分必要条件为n A =)rank(. 于是, 可逆阵又称为满秩阵.
例3.3 设????
? ??=064212100321A , 求它的秩.
解 左上角的二阶子式不等于零. 而所有四个三阶子式都等于零. 于是, 2)rank(=A . 例3.4 求对角阵),,,diag(21n a a a A =的秩.
解 由不等于0的主对角元素所在的行与列确定的子式不等于0. 而阶数高于这个子式的子式必然有零行. 因此对角阵的秩等于其不等于0的主对角线元素的个数.
例3.5 设矩阵A 的秩等于0>r , 从A 删除一行得到矩阵B , 问B 的秩可能取哪些值? 如果给A 添加一行呢?
解 因为矩阵B 的子式也是矩阵A 的子式, 所以B 的秩不大于A 的秩.
已知r A =)rank(, 不妨设A 的r 阶子式D 不等于0. 如果D 也是B 的子式, 则r B =)rank(. 否则, 根据行列式按照一行展开, 在D 的未被删除的1-r 行中, 至少有一个1-r 阶子式不等于0. 于是1)rank(-≥r B .
仿照上面的证明, 添加一行所得矩阵的秩等于r , 或者1+r .
性质3.2 设A 是矩阵, k 是数, 则
(1) 转置: )rank()rank(A A =';
(2) 数乘: 如果0≠k , 则)rank()rank(A kA =.
证 只证(2).
考虑矩阵A 的一个s 阶子式s D , 根据矩阵的性质2.6, 矩阵kA 的相应的子式等于s s D k .
