圆的证明与计算
《圆的证明与计算》专题讲解
圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。
圆的有关证明
一、圆中的重要定理:
(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.
(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.
(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等.
2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.
二、考题形式分析：
主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。
知识点一：判定切线的方法：
（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。
常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；
（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。
常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；
总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：
方法一：若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.
例1 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.
求证：EF与⊙O相切.
圆的证明与计算
例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.
求证：PA与⊙O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E
∵AE是⊙O的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA.
∴PA与⊙O相切.
证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE. ∵AD是∠BAC的平分线， ⌒， ⌒ ∴BE=CE
∴OE⊥BC.
∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ∴∠1+∠PAD=900
即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切
说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用
.
圆的证明与计算
例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.
例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.
求证：DC是⊙O的切线
例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP. 求证：PC是⊙O的切线.
圆的证明与计算
例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F. 求证：CE与△CFG的外接圆相切.
分析：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.
证明：取FG中点O，连结OC.
∵ABCD是正方形，
∴BC⊥CD，△CFG是Rt△ ∵O是FG的中点， ∴O是Rt△CFG的外心. ∵OC=OG， ∴∠3=∠G， ∵AD∥BC， ∴∠G=∠4.
∵AD=CD，DE=DE，
∠ADE=∠CDE=450， ∴△ADE≌△CDE（SAS）
∵∠2+∠3=900, ∴∠1+∠2=900.
即CE⊥OC.
∴∠4=∠1，∠1=∠3.
∴CE与△CFG的外接圆相切
方法二：若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”(一般用于函数与几何综合题）
例1：如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点. 求证：AC与⊙D相切.
分析：说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.
圆的证明与计算
例2： 已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900. 求证：CD是⊙O的切线.
证明一：连结OA，OB，作OE⊥CD，E为垂足.
∵AC，BD与⊙O相切， ∴AC⊥OA，BD⊥OB. ∵AC∥BD，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800. ∵∠COD=900，
∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900. ∵∠4+∠5=900. ∴∠1=∠5.
∴Rt△AOC∽Rt△BDO. ∴
ACOC
. OBODACOC
. OAOD
∵OA=OB， ∴
又∵∠CAO=∠COD=900， ∴△AOC∽△ODC，
∴∠1=∠2.
又∵OA⊥AC，OE⊥CD, ∴OE=OA. ∴E点在⊙O上. ∴CD是⊙O的切线.
证明二：连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于F.
∵AC，BD与⊙O相切， ∴AC⊥OA，BD⊥OB. ∵AC∥BD， ∴∠F=∠BDO. 又∵OA=OB，
∴△AOF≌△BOD（AAS）
圆的证明与计算
∴OF=OD. ∵∠COD=900， ∴CF=CD，∠1=∠2. 又∵OA⊥AC，OE⊥CD， ∴OE=OA. ∴E点在⊙O上. ∴CD是⊙O的切线.
证明三：连结AO并延长，作OE⊥CD于E，取CD中点F，连结OF.
∵AC与⊙O相切， ∴AC⊥AO. ∵AC∥BD， ∴AO⊥BD.
∵BD与⊙O相切于B， ∴AO的延长线必经过点B. ∴AB是⊙O的直径.
∵AC∥BD，OA=OB，CF=DF， ∴OF∥AC， ∴∠1=∠COF.
∵∠COD=900，CF=DF， ∴OF
1
CD CF. 2
∴∠2=∠COF. ∴∠1=∠2.
∵OA⊥AC，OE⊥CD， ∴OE=OA. ∴E点在⊙O上. ∴CD是⊙O的切线
说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A、O、B三点共线.
圆的证明与计算
课后练习：
（1）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，AD∥OC交⊙O于D点，求证：CD为⊙O
的切线；
A
（2）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于D，点E为BC的中点，连结DE，求证：DE是⊙O的切线.
（3）如图，以等腰△ABC的一腰为直径作⊙O，交底边BC于D，交另一腰于F，若DE⊥AC于E（或E为CF中点），求证：DE是⊙O的切线.
（4）如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，求证：CD是⊙O的切线.
圆的证明与计算
知识点二：与圆有关的计算
计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有： （1）构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；
射影定理： 所谓射影，就是正投影。 其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影。
由三角形相似的性质：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:：(1)(AD)2;=BD·DC, (2)(AB)2;=BD·BC , (3)(AC)2;=CD·BC 。 等积式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明
)
③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径； ④构造勾股定理模型（已知线段长度）； ⑤构造三角函数(已知有角度的情况）; 6找不到，找相似 ○
（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。
（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。
典型基本图型：
图形1：如图1：AB是⊙O的直径，点E、C是⊙O上的两点，基本结论有：
（1）在“AC平分∠BAE”；“AD⊥CD”；“DC是⊙O的切线”三个论断中，知二推一。 （2）如图2、3，DE等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距OF（或弓形BCE的半弦EF）。
A
AAA
图1
图2图3图4
圆的证明与计算
（3）如图（4）：若CK⊥AB于K，则：
①CK=CD；BK=DE；CK=
A
1
BE=DC；AE+AB=2BK=2AD; 2
②⊿ADC∽⊿ACB AC2=AD AB
（4）在(1)中的条件①、②、③中任选两个条件，当BG⊥CD
于E时（如图5），则：
①DE=GB；②DC=CG；③AD+BG=AB；④AD BG=
1
DG2=DC2 4
图5
图形2：如图：Rt⊿ABC中，∠ACB=90°。点O是AC上一点，以OC为半径作⊙O交AC
于点E，基本结论有：
C
图2图1
（1）在“BO平分∠CBA”;“BO∥DE”;“AB是⊙O的切线”;“BD=BC”。四个论断中，
知一推三。
（2）①G是⊿BCD的内心；②
CG=GD ；③⊿BCO∽⊿CDE BO DE=CO CE=（3）在图（1）中的线段BC、CE、AE、AD中，知二求四。 （4）如图（3），若①BC=CE，则：②
1
CE2； 2
AE1
==tan∠ADE；③BC：AC：AB=3：4：5 ；（在AD2
①、②、③中知一推二）④设BE、CD交于点H，,则BH=2EH
图形3：如图：Rt⊿ABC中，∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC于D，基本结论有：
如右图：（1）DE切⊙O E是BC的中点； （2）若DE切⊙O，则：①DE=BE=CE；
②D、O、B、E四点共圆 ∠CED=2∠A
③CD·CA=4BE2, DE CD BC
R
BD
BA
图形特殊化：在（1）的条件下
如图1：DE∥AB ⊿ABC、⊿CDE是等腰直角三角形；
如图2：若DE的延长线交AB的延长线于点F，若AB=BF，则：
BE1DE1
;② ① EF3R2
图2
圆的证明与计算
图形4：如图，⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点F，
基本结论有：
（1）DE⊥AC DE切⊙O；
（2）在DE⊥AC或DE
切⊙O下，有：①⊿DFC是等腰三角形；
②EF=EC；③D是 BF
的中点。④与基本图形1的结论重合。 ⑤连AD，产生母子三角形。
图形5：：以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于Ｅ，
基本结论有：
图3图2图1
（1）如图1：①AD+BC＝CD； ②∠COD
=∠AEB=90°； ③OD平分∠ADC（或OC平分∠BCD）；（注：在①、②、③及④“CD是⊙O的切线”四个论断中，知一推三）
1
AB2=R2； 4
（2）如图2，连AE、CO，则有：CO∥AE，CO AE=2R2(与基本图形2重合)
④AD·BC＝
（3）如图3，若EF⊥AB于F，交AC于G，则：EG=FG.
图形6：如图：直线PR⊥⊙O的半径OB于E，PQ切⊙O于Q，BQ交直线PQ于R。 基本结论有：
（1）PQ=PR (⊿PQR是等腰三角形)； （2）在“PR⊥OB”、“PQ切⊙O”、“PQ=PR”中，知二推一 （3）2PR·RE=BR·RQ=BE·2R=AB2
图形7：如图，⊿ABC内接于⊙O，I为△ABC的内心。基本结论有：
（1）如图1，①BD=CD=ID；②DI2＝DE·DA；
1
③∠AIB=90°+∠ACB;
2
（2）如图2，若∠BAC=60°，则：BD+CE=BC.
图1
图2
圆的证明与计算
图形8：已知，AB是⊙O的直径，C是 中点，CD⊥AB于D。BG交CD、AC
于E、F。基本结论有：
1
（1）CD=BG；BE=EF=CE；GF=2DE
2
1
(反之，由CD=BG或BE=EF可得：C
是
BG
中点)
21
（2）OE=AF，OE∥AC；⊿ODE
∽⊿AGF
2
A
（3）BE·BG=BD·BA
（4）若D是OB的中点，则：①⊿CEF是等边三角形；② BC=CG=AG
范例讲解：
例题1：△ABP中，∠ABP=90°，以AB为直径作⊙O交AP于C点，弧CF=CB，过C作AF的垂线，垂足为M，MC的延长线交BP于D. （1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）连BF交AP于E，若BE=6，EF=2，求
EF
的值。 AF
例题2：直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AB=AD+BC，AB为直径的圆交BC于E，连OC、BD交于F.
⑴求证：CD为⊙O的切线 ⑵若
BFBE3
，求的值
DFAB5
D
例题3：如图，AB为直径，PB为切线，点C在⊙O上，AC∥OP。 （1）求证：PC为⊙O的切线。
（2）过D点作DE⊥AB，E为垂足，连AD交BC于G，CG=3，DE=4，求
DG
的值。 DB
圆的证明与计算
例题4（2009调考）：如图，已知△ABC中，以边BC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为
的中点，AF为△ABC的角平分线，且AF⊥EC。
（1）求证：AC与⊙O相切； （2）若AC＝6，BC＝8，求EC的长
家庭练习：
1．如图，Rt△ABC，以AB为直径作⊙O交AC于点D
，过D作AE的垂线，F为垂足.
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若DF=3，⊙O的半径为5，求tan BAC的值.
A
2．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙OAD=DC ，过D作直线BC的垂线交直线AB于点E，F为垂足.
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若AC=6，BD=5，求sinE的值.
B
圆的证明与计算
3．如图，AB为⊙O的直径，半径OC⊥AB，D为AB延长线上一点，过D作⊙O的切线，E为切点，连结CE交AB于点F.
（1）求证：DE=DF；
（2）连结AE，若OF=1，BF=3，求tan A的值.
4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，以AB上一点O为圆心过B、D两点作⊙O，⊙O交AB于点一点E，EF⊥AC于点F.
（1）求证：⊙O与AC相切； （2）若EF=3，BC=4，求tan A的值.
5．如图，等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，DE⊥AC于E. （1）求证：DE为⊙O的切线；
（
2）若BC=，AE=1，求cos AEO的值.
A
C
圆的证明与计算
6．如图，BD为⊙O的直径，A为
BC 的中点，AD交BC于点E，F为BC
延长线上一点，且FD=FE.
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若AE=2，DE=4，△
BDF的面积为tan EDF的值.
7、如图，AB是⊙O的直径，M是线段OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF=∠E．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为1，且AC=CE AM的长．
8、如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，过点C作⊙O的切线CE，点D是CE延长线上一点，连结AD，且AD+BC=CD.
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）设OE交AC于F，若OF=3，EF=2，求线段BC的长.
圆的证明与计算
9、如图，△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，且CD=BD. （1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知点M、N分别是AD、CD的中点，BM延长线交⊙O于E，EF∥AC，分别交BD、BN的延长线于H、F，若DH=2，求EF的长.
⌒的中点，OE交弦BC于点D，过点C作交10、如图，AB是半⊙O上的直径，E是 BC（1）求证：CF为⊙O的⊙O切线；
（2）求sin∠BAD 的值.
F
B A
11、如图，⊿ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB相交于点E，点F是BE的中点．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若AE＝14，BC＝12，求BF的长
B
AD的平行线交OE的延长线于点F. ∠ADO=∠B.
