高中数学解题思想方法技巧
值得拥有的资料
是来自平时学习积累总结的
有问题的地方肯定有的
还请大家批评指正！
第34计 参数开门 宾主谦恭
●计名释义
参数
顾名思义
是种"参考数".供谁参考
供主变量参考.因此
参数对于主元
是种宾主关系
他为主元服务
受主元重用.
在数学解题的过程中
反客为主
由参数唱主角戏的场景也异常精彩.
有趣的是
"参数何在
选谁作参"的问题又成了解题破门的首要问题.此时
你有两种选择
一是参数就立足在面前
由你认定；二是参数根本不在
要你"无中生有".
●典例示范
【例1】 P、Q、M、N四点都在椭圆x2+=1上
F为椭圆在y轴正半轴上的焦点
已知与共线
与共线
且·＝0
求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.
【分析】 四边形"没有"面积公式
因此难以用某边长为参数
建立面积函数式.
幸好
它有两条互相垂直的对角线PQ和MN
使得四边形面积可用它们的乘积来表示
然而
它们要与已知椭圆找到关系
还需要一个参数k
并找到PQ
MN对k的依赖式.这就要"无中生有"了.
【解答】 如图
由条件知MN和PQ
是椭圆的两条弦
相交于焦点F（0
1）
且PQ⊥MN
直线PQ、NM中至少有一条
存在斜率
不妨设PQ的斜率为k.
【插语】 题设中没有这个k
因此是"无中生有"式的参数.
我们其所以看中它
是认定它
不仅能表示|PQ|= f1(k)
还能表示|MN|= f2(k). 例1题解图
【续解】 又PQ过点F（0
1）
故PQ方程为y=kx+1
将此式代入椭圆方程得（2+k2)x2+2kx-1=0
设P、Q两点的坐标分别为（x1
y1)
(x2
y2)
则
x1=
从而｜PQ｜2＝(x1-x2)2+(y1-y2)2=, 亦即|PQ|=.
【插语】 无论在椭圆方程中
还是P
Q
M
N的坐标中
x,y是当之无愧的主元.而这是新的函数关系|PQ|=f1(k)=标志着主宾易位
问题已经发生了转程.
【续解】 (ⅰ)当k≠0时
MN的斜率为-
同上可推得
｜MN｜=,
故四边形S＝|PQ|·|MN|=.
令u=k2+
得S=.
因为u=k2+≥2
当k=±1时
u=2
S=
且S是以u为自变量的增函数
所以
≤S<2.
【插语】 以上为本题解答的主干
以下k=0时情况
只是一个小小的补充
以显完善之美.其实
以"不失一般性"为由
设"k≠0"为代表解答亦可.这时
可省去下边的话.
【续解】 (ⅱ)当k=0时
MN为椭圆长轴
｜MN｜＝2
|PQ|=
S=|PQ|·|MN|=2.
综合(ⅰ)(ⅱ)知
四边形PMQN面积的最大值为2
最小值
为.
【点评】 参数k将F(x
y)=0的方程转化为关于k的函数
达到"宾主融融"的和谐境界.参数成为解题化归中的一个重要的角色
有时在"反客为主"中成为主角.
【例2】 对于a∈［-1,1］,求使不等式恒成立的x的取值范围
